苏教版选修2-3二项式系数的性质及应用
新教材高中数学第7章二项式定理：二项式系数的性质及应用pptx课件苏教版选择性必修第二册
变式探究 在本例条件下,求下列各式的值:
（1） ;
解 因为 , .所以 .
（2） ;所以 .
（3） .
解 因为 ,所以两边求导数得 .令 ,得 .
7.4.2 二项式系数的性质及应用
【课标要求】1.能掌握二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.二项式系数表及其数字规律
二项式系数表
规律方法 “杨辉三角”问题解决的一般方法_
跟踪训练1 以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列,在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲,这个表被称为帕斯卡三角形.试问第9行第8个数是____.
36
[解析] 由题意,第0行的数为1,第1行的数为 , ,第2行的数为 , , ,第3行的数为 , , , ,第4行的数为 , , , , ,因此,第 行第 个数为 ,所以第9行第8个数是 .
【题型二】 求二项展开式中系数或二项式系数最大的项
例2 已知 的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解 , ,依题意有 ,解得 , 在 的展开式中,二项式系数最大的项为 .设第 项的系数最大 ,则有 解得 或 . 系数最大的项为 , .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】“杨辉三角”问题
例1 在如图所示的三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为 ,则这一行是第____行（填行数）.
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.5.2 二项式系数的性质及应
1．5.2 二项式系数的性质及应用[对应学生用书P21](a ＋b )n 的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？ 提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n . 问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2,4,6时，中间一项最大，n ＝3,5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质： (1)C m n ＝C n －m n；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ； 当r ＞n －12时，C r ＋1n ＜C rn ； (4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n 2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以Cn －12n和C n ＋12n(两者相等)最大． 3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[对应学生用书P22][例1] 已知0127(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x 合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2＋…－a 7＝37② (1)令x ＝0，则a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7 ＝37＝2 187. [一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．1．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.解析：∵T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r＝(－1)r 26－r C r 6x 6－r，∴a r ＝(－1)r 26－r C r 6.∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ＝[2×(－1)－1]6＝36. 答案：362．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中各项系数的和为________． 解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为⎝⎛⎭⎫12－11n ＝0. 答案：03．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)求a 1＋a 3＋a 5.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.① (2)令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－243.② ∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－243. (3)a 1＋a 2＋a 3＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x )n 的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第r ＋1项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，确定r 的值．[精解详析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6. ∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. [一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________. 解析：∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.答案：85．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ， 而各项的二项式系数的和等于2n ， 根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3()x 3－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9.答案：96．在⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 25的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．解：(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫x 235－r (3x 2)r ＝3r C r5x 10＋4r3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15，∴72≤r ≤92，∴r ＝4.即展开式中第5项系数最大， T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.[例3] [思路点拨] 将2n ＋2·3n ＋5n －4＝4·6n ＋5n －4转化为25的倍数即可证明． [精解详析] 原式＝4·6n ＋5n －4 ＝4·(5＋1)n ＋5n －4＝4·(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋C 2n ·5n －2＋…＋C n n )＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52＋C n －1n ·51)＋4C n n ＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋20n ＋4＋5n －4 ＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋25n . 以上各项均为25的整数倍，故2n ＋2·3n ＋5n －4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除． 证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C 051·4951＋C 151·4950·2＋…＋C 5051·49·250＋C 5151· 251－1.易知除C 5151·251－1以外各项都能被7整除． 又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C 017717＋C 117·716＋…＋C 1617·7＋C 1717－1 ＝7·(C 017·716＋C 117·715＋…＋C 1617)．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n,33n －26n －1可被676整除． 证明：当n ＝0时，原式＝0，可被676整除． 当n ＝1时，原式＝0，也可被676整除． 当n ≥2时，原式＝27n －26n －1＝(26＋1)n －26n －1＝(26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n ·262＋C n －1n ·26＋1)－26n －1 ＝26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n·262. 每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除． 综上所述，对一切非负整数n,33n －26n －1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值． 3．余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．[对应课时跟踪训练(九)]一、填空题1．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________． 解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)， 则⎝⎛⎭⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫12r ，令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝⎛⎭⎫123＝7x 5.答案：7x 52．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：令x ＝1,2n ＝64⇒n ＝6. 由T r ＋1＝C r 6·36－r·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3. 所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________.解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r(－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数．所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：256 二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T5＝C48(－x)4＝70x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.8．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋C n＋1·8n＋1－8n－9n＋1＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．。
2022-2021学年高中数学苏教版选修2-3学业测评：1.5.2 二项式系数的性质及应用
学业分层测评(建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题1．(a －b )7的开放式中，二项式系数最大的项是第________________________ 项，系数最大的项是第________项．【解析】 开放式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项． 【答案】 4或5 52．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的全部二项式的各项系数和是________． 【解析】 令x ＝1，得2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 【答案】 2n ＋1－23．(2021·天津高考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的开放式中，x 2的系数为________．【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 6x6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－14x r＝ C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r x 6－2r. 令6－2r ＝2得r ＝2， ∴x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 【答案】 15164．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝________. 【导学号：29440030】 【解析】 ∵C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，又C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝C 010＋C 210＋C 410＋C 610＋C 810＋C 1010， ∴C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝29.【答案】 295．233除以9的余数是________．【解析】 233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21198－ (1)∴233除以9的余数是8. 【答案】 86．如图1-5-6，在“杨辉三角”中，斜线l 的上方，从1开头按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{a n }，则a 21＝________.图1-5-6【解析】 此数列依次为C 22；C 13，C 23；C 14，C 24；C 15，C 25；…；C 112，C 212；…；a 21＝C 212＝12×112＝66.【答案】 667．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝________.【解析】 512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016522 016－C 12 016522021＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋C 2 0162 016×(－1)2 016＋a .由于52能被13整除，所以只需C 2 0162 016×(－1)2 016＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 128．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-5-7所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会消灭三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1 第1行 1 1 第2行1 2 1第3行 1 3 3 1第4行1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 图1-5-7【解析】 依据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，有C k －1n C k n ＝34且C k n C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会消灭满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 二、解答题9．已知(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值．【解】 令x ＝2，可以得到5100＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100，① 令x ＝0，可以得到1＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 100，② 由①②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12(5100－1)．10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 2n 的开放式中的倒数第三项的系数是45. (1)求含x 3的项； (2)求系数最大的项．【解】 已知开放式中倒数第三项的系数为45，则C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，所以n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(不合题意，舍去)或n ＝10.(1)即求⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210开放式中含x 3的项． 由通项T r ＋1＝C r 10(x －14)10－r (x 23)r ＝C r 10x －10－r 4＋2r 3，得－10－r 4＋2r 3＝3，－30＋3r ＋8r ＝36,11r ＝66，得r ＝6.故含有x 3的项是第7项T 7＝C 610x 3＝210x 3.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210的开放式共有11项，系数最大项是第6项． ∴T 6＝C 510(x －14)5·(x 23)5＝252x 2512.[力量提升]1．设m 是正整数，(x ＋y )2m 开放式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1开放式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.【解析】 由题意可知13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6. 【答案】 62．(2022·杨州高二检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 的开放式的各项系数确定值之和为1 024，则开放式中x项的系数为________．【解析】 由4n＝1 024，得n ＝5.∴T r ＋1＝C r 5(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－3)r C r5x 5－3r 2，令5－3r 2＝1，解得r ＝1，∴T 2＝C 15(－3)1x ＝－15x ，故其系数为－15.【答案】 －153．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________. 【导学号：29440031】【解析】 令x ＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.【答案】 －24．(1)求证：5151－1能被7整除； (2)求1.9975精确到0.001的近似值．【解】 (1)证明：由于5151－1＝(49＋2)51－1＝C 0514951＋C 1514950·2＋…＋C 505149·250＋C 5151·251－1，易知除C5151251－1以外其余各项都能被7整除．又由于251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017717＋C117716＋…＋C16177＋C1717－1＝7(C717716＋C117715＋…＋C1617)明显能被7整除，所以5151－1能被7整除．(2)1.9975＝(2－0.003)5＝C0525－C15×24×0.003＋C25×23×0.0032－C35×22×0.0033＋C45×21×0.0034－C55×20×0.0035≈32－0.24＋0.000 72≈31.761.。
苏教版数学选修2-3：第1章 1.5.2 二项式系数的性质及应用 学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(a －b )7的展开式中，二项式系数最大的项是第________________________ 项，系数最大的项是第________项．【解析】 展开式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项．【答案】 4或5 52．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的所有二项式的各项系数和是________．【解析】 令x ＝1，得2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2.【答案】 2n ＋1－23．(2015·天津高考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝ C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r x 6－2r . 令6－2r ＝2得r ＝2，∴x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 【答案】 15164．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝________. 【导学号：29440030】【解析】 ∵C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，又C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝C 010＋C 210＋C 410＋C 610＋C 810＋C 1010，∴C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝29.【答案】 295．233除以9的余数是________．【解析】 233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21198－ (1)∴233除以9的余数是8.【答案】 86．如图1-5-6，在“杨辉三角”中，斜线l 的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{a n }，则a 21＝________.图1-5-6【解析】 此数列依次为C 22；C 13，C 23；C 14，C 24；C 15，C 25；…；C 112，C 212；…；a 21＝C 212＝12×112＝66.【答案】 667．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝________.【解析】 512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016522 016－C 12 016522015＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋C 2 0162 016×(－1)2 016＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0162 016×(－1)2 016＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 128．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-5-7所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行1 第1行1 1 第2行 12 1第3行1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1。
《二项式系数的性质及应用》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
你能证明二项式系数性质的增减性么？
解：当时，要证明，只要证，即要证，即要证，而是已知条件，故结论得证．同理，当时，也成立．
因为．令，则有．这表明展开式各项的二项式系数的和等于．
的二项展开式中，如果令， 你能得到哪些等式？
令，，则有．因此，．因为，所以，．
已知的展开式所有的二项式系数之和为．（1）求展开式中含的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项．
第七章 计数原理
二项式系数的性质及应用
1.了解二项式系数的4个性质；2.在运用二项式系数的性质解决问题的过程中提升逻辑推理和数学运算素养．
二项式系数的对称性、单调性；合理赋值，巧妙求解．
综合运用展开式、通项、二项式系数的性质解题．
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式的展开式在时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右．
解：(3) 奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为．(4) 令，得， ①令，(或，)得， ②①＋②得，所以奇数项的系数和为；①－②得，所以偶数项的系数和为.(5) 的奇次项系数和为，的偶次项系数和为.
用二项式定理证明：能被整除．
证明：．因为上式的每一项都能被整除，所以能被整除．
已知，求满足下列条件的值．（1）求；（2）求所有项的系数和；（3）求所有奇数项的系数和；（4）求所有偶数项的系数和．
解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，所以，所以．(1) 因为，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，所以，． (2) 设展开式中第项系数最大，则，所以，解得：，所以，即展开式中第项系数最大，．
教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.5.2 二项式系数的性质及应用-缺答案
1．5.2 二项式系数的性质及应用[对应学生用书P21](a ＋b )n 的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？ 提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n . 问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2,4,6时，中间一项最大，n ＝3,5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质： (1)C m n ＝C n －m n；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ； 当r ＞n －12时，C r ＋1n ＜C rn ； (4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n 2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以Cn －12n和C n ＋12n(两者相等)最大． 3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[对应学生用书P22][例1] 已知0127(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x 合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2＋…－a 7＝37② (1)令x ＝0，则a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7 ＝37＝2 187. [一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．1．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.解析：∵T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r＝(－1)r 26－r C r 6x 6－r，∴a r ＝(－1)r 26－r C r 6.∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ＝[2×(－1)－1]6＝36. 答案：362．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中各项系数的和为________． 解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为⎝⎛⎭⎫12－11n ＝0. 答案：03．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)求a 1＋a 3＋a 5.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.① (2)令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－243.② ∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－243. (3)a 1＋a 2＋a 3＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x )n 的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第r ＋1项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，确定r 的值．[精解详析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6. ∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. [一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________. 解析：∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.答案：85．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ， 而各项的二项式系数的和等于2n ， 根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3()x 3－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9.答案：96．在⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 25的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．解：(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫x 235－r (3x 2)r ＝3r C r5x 10＋4r3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15，∴72≤r ≤92，∴r ＝4.即展开式中第5项系数最大， T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.[例3] [思路点拨] 将2n ＋2·3n ＋5n －4＝4·6n ＋5n －4转化为25的倍数即可证明． [精解详析] 原式＝4·6n ＋5n －4 ＝4·(5＋1)n ＋5n －4＝4·(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋C 2n ·5n －2＋…＋C n n )＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52＋C n －1n ·51)＋4C n n ＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋20n ＋4＋5n －4 ＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋25n . 以上各项均为25的整数倍，故2n ＋2·3n ＋5n －4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除． 证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C 051·4951＋C 151·4950·2＋…＋C 5051·49·250＋C 5151· 251－1.易知除C 5151·251－1以外各项都能被7整除． 又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C 017717＋C 117·716＋…＋C 1617·7＋C 1717－1 ＝7·(C 017·716＋C 117·715＋…＋C 1617)．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n,33n －26n －1可被676整除． 证明：当n ＝0时，原式＝0，可被676整除． 当n ＝1时，原式＝0，也可被676整除． 当n ≥2时，原式＝27n －26n －1＝(26＋1)n －26n －1＝(26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n ·262＋C n －1n ·26＋1)－26n －1 ＝26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n·262. 每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除． 综上所述，对一切非负整数n,33n －26n －1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值． 3．余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．[对应课时跟踪训练(九)]一、填空题1．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________． 解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)， 则⎝⎛⎭⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫12r ，令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝⎛⎭⎫123＝7x 5.答案：7x 52．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：令x ＝1,2n ＝64⇒n ＝6. 由T r ＋1＝C r 6·36－r·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3. 所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________.解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r(－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数．所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：256 二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T5＝C48(－x)4＝70x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.8．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋C n＋1·8n＋1－8n－9n＋1＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．。
2018年高中数学 课下能力提升(九)二项式系数的性质及应用 苏教版选修2-3
课下能力提升(九) 二项式系数的性质及应用一、填空题1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________． 2．若⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 3．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________. 4．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．5．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________．二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．答案1．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r， 令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5. 答案：7x 52．解析：令x ＝1，2n ＝64⇒n ＝6.由T r ＋1＝C r 6·36－r ·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3.所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r (－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数． 所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：2566．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，①令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和． 7．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.8．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋n＋1－8n－9C n＋1n＋1·8＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9 ＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．。
高中数学课下能力提升(九)二项式系数的性质及应用苏教版选修2-3(2021年整理)
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课下能力提升(九) 二项式系数的性质及应用一、填空题1．已知错误!错误!的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．2．若错误!错误!的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．3．若错误!错误!展开式中只有第6项的系数最大,则n＝________。
4．已知（1＋x）10＝a0＋a1(1－x)＋a2（1－x）2＋…＋a10（1－x）10，则a8＝________．5．若C错误!＝C错误!(n∈N＊）且（3－x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则a0－a1＋a2－…＋（－1）n a n＝________．二、解答题6．二项式(2x－3y）9的展开式中，求：（1)二项式系数之和;(2）各项系数之和;（3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x)8的展开式中（1)二项式系数最大的项；（2）系数最小的项．8．求证:32n＋2－8n－9能被64整除．答案1．解析：由题设,得C错误!＋错误!×C错误!＝2×错误!×C错误!，即n2－9n＋8＝0,解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去）,则错误!错误!的展开式的通项为T r＝C r8x8－r错误!错误!，＋1令r＋1＝4，得r＝3,则第四项为T4＝C3，8x5错误!错误!＝7x5。
高中数学 课下能力提升(九)二项式系数的性质及应用 苏教版选修23
课下能力提升(九) 二项式系数的性质及应用一、填空题1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________． 2．若⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 3．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________. 4．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．5．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________．二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．答案1．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r， 令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5. 答案：7x 52．解析：令x ＝1，2n ＝64⇒n ＝6.由T r ＋1＝C r 6·36－r ·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3.所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r (－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数． 所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：2566．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，①令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和． 7．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.8．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋n＋1－8n－9C n＋1n＋1·8＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9 ＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．。
高中数学第一章计数原理1.5.2二项式系数的性质及应用(一)学案苏教版选修2-3(2021年整理)
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1.5。
2 二项式系数的性质及应用（一)学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数。
2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律?思考3 二项式系数的最大值有何规律？梳理(1)二项式系数表的特点①在同一行中，每行两端都是________，与这两个1等距离的项的系数________．②每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．（2）二项式系数的性质一般地,（a＋b)n展开式的二项式系数C0，n，C错误!，…，C错误!有如下性质：①C错误!＝________；②C错误!＋C错误!＝________；③当r＜n－12时，C错误!＜________；当r＞错误!时,________＜C错误!；④C0，n＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝________.类型一与二项式系数表有关的问题例1 如图所示,在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3,6，4,10，5，…，记其前n项和为S n,求S16的值．反思与感悟对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来,对数学式进行运算，得出正确结论．跟踪训练1 请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是________．类型二求展开式的系数和例2 设(2－3x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100,求下列各式的值．（1）a0;（2）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3）a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4）(a0＋a2＋…＋a100）2－(a1＋a3＋…＋a99）2；(5)｜a0｜＋｜a1|＋…＋|a100|.反思与感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如（ax＋b）n,（ax2＋bx＋c)m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．（2)一般地，若f(x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f（x)展开式中各项系数之和为f(1）,奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝错误!,偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝错误!。