二项式系数性质

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二项式系数的性质

的定义和性质进行证明
利用递推关系进行简化
• 例如，证明二项式定理时，
可以利用递推关系进行证明
05
二项式系数在概率论与数理统计中的应用
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
二项分布的概率质量函数与二项式系数
密切相关
• 其中X表示二项分布的随机变量，n
• 其中P(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的排列数
二项式系数的计算公式
• 二项式系数的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 当k为0或n时，C(n, k)有简化公式
• C(n, 0) = 1
• C(n, n) = 1
• 当n和k较大时，可以使用递推公式计算二项式系数
性质进行证明
性进行简化
• 例如，计算二项分布的概率时，可以
利用奇偶性进行简化
二项式系数的递推关系
二项式系数具
有递推关系，
即C(n, k) =
C(n-1, k-1) +
C(n-1, k)
二项式系数的
递推关系在组
合数学和概率
论中有广泛应
用
01
02
• 证明方法：根据二项式系数
• 例如，计算组合数时，可以
• 可以使用二项式系数计算二项分布的
表示试验次数，p表示成功概率，k表示
概率质量函数
成功次数
• 可以使用二项分布的概率质量函数计
算二项分布的期望和方差
二项分布的期望与方差
二项分布的期望为E(X) = np
• 其中n表示试验次数，p表示成功概率
二项分布的方差为Var(X) = np(1-p)

6.3.2 二项式系数的性质课件【高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册】

C1r5 3r
(r 1≤)！(11,5即 r 1)！≤1,
r
315！
3(15 r 1)
解得r≤12,同理,由 C≥1r531r,解得r≥11,所r！以(15展 r开)！式中系数最大的项对应的
C 3 r1 r1 15
r=11,12,即展开式中系数最大的项是T12=C1115 (3x)11和T13=C1125 (3x)12.
…(+2a101))10 ( 2 1)10
=
=1.
答案:720 1
角度2 展开式中的最大项问题【典例】1.(2020·随州高二检测)在 (x 1 )n 的展开式中,只有第5项的二项
x
式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为( ) A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 2.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求: (1)展开式中二项式系数最大的项. (2)展开式中系数最大的项.(结果可以以组合数形式表示)
4.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=________. 【解析】由题意可知a8是x8的系数,所以a8= C180·22=180. 答案:180
类型一二项式系数性质的应用【典例】1.(2020·重庆高二检测)(mx+ x )n(n∈N+)的展开式中,各二项式系数之和为32,各项系数之和为243,则展开式中x3的系数为( ) A.40 B.30 C.20 D.10 2.已知在 ( x 2 )n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(2)
Cr1 n
,
Crn
,
Crn
1
之间有什么关系?

二项式定理的推论

二项式定理的推论一、二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为二项式系数的形式。

二项式系数的一些重要性质如下：1. 对称性：二项式系数满足对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。

这意味着，在二项式系数中，每个系数与其对称的系数相等。

2. 递推关系：二项式系数之间存在递推关系，即C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。

这意味着，我们可以通过前一行的系数计算出下一行的系数。

这些性质使得二项式系数在组合数学中有广泛的应用。

例如，在排列组合、概率论、图论等领域中，二项式系数经常用于计算和推导。

1. 幂的展开式：二项式定理可以用来展开幂的形式。

例如，对于任意实数a和b，以及正整数n，我们有：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n这个推论可以用于计算复杂的幂，例如高次多项式的展开式。

2. 平方差的展开式：二项式定理还可以用来展开平方差的形式。

例如，对于任意实数a和b，我们有：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这个推论可以用于计算平方差的形式，例如在代数运算中计算平方差的结果。

3. 二项式系数的和：二项式系数有一个重要的性质，即每一行的系数之和等于2的n次方。

换句话说，对于任意正整数n，有：C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n这个推论是二项式系数的一个重要性质，也可以通过二项式定理的展开式来证明。

三、应用举例1. 组合数学：二项式系数的计算在组合数学中有广泛的应用。

例如，在排列组合中，可以使用二项式系数来计算组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。

这在概率论、统计学等领域中都有重要的应用。

2. 二项分布：二项分布是概率论中的一个重要分布，它描述了在n 次独立重复试验中成功的次数的概率分布。

二项式系数的性质课件

总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些组合数学问题，如排列、组合、概率等。在物理中，二项式定理可用于描述量子力学和统计力学的某些现象。在工程中，二项式定理可用于解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及，二项式系数等基础数学知识将更加受到重视，需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广泛的应用，例如在二项分布的概率计算中，二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中，二项式系数用于计算样本比例的置信区间，帮助我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一，它描述了二项式展开后的各项系数规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数的和或差，即 (a+b) 或 (a-b)，它们的展开式中的每一项都可以表示为组合数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)，即从n+1个元素中选取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。

6.3.2二项式系数的性质课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册(23)

则 a4
Cn4 n
(1)n4
,
a5
Cn5 n
(1)n5
，
又 a4
a5
0
，故
Cn4 n
Cn5 n
，即 C4n
C5n ，解得 n
9
.故选
C.
8.若 (x 1)n a0 a1x a2x2 anxn x N* 且 a1 a2 21 ，则在展开式的各项系数中，
最大值等于_________________.
证明：在展开式 (a b)n C0nan C1nan1b C2na b n2 2 Cnnbn 中，
令 a 1， b 1 ，则得 (1 1)n C0n C1n Cn2
(1) k
C
k n
(1)
n
C
n n
.
即 C0n Cn2 Cn4 C1n C3n C5n 0 .
分析：奇数项的二项式系数的和为 C0n C2n C4n ，偶数项的二项式系数的和为 C1n C3n C5n . 由于 (a b)n C0nan C1nan1b C2nan2b2 Cnnbn 中的 a ，b 可以取任意实数，因此我们可以通过对 a，b 适当賦值来得到上述两个系数和.
已知 (1 x)n C0n C1n x Cn2 x2 Cnnxn ，
令 x 1，得 2n C0n C1n C2n
C
n n
.
这就是说， (a b)n 的展开式的各二项式系数的和等于 2n .
例求证：在 (a b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
(3)设第 r 1(r N,r 12) 项的系数最大，
则
CC11r22
212r 212r
Cr 1 12

二项式定理及其系数的性质

03
这些性质在解决某些数学问题时非常有用，如求和、求积等。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系数。
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感谢您的观看
常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项的系数为0，则该项不存在于展开式中。因此，可以通过判断通项公式中组合数或二项式系数的值是否为0来确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$，因此对应的二项式系数也为0。此时，展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.2二项式系数的性质

为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
★(2)如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个
锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.
解由题图知,数列中的第 1 项是C22 ,第 2 项是C21 ,第 3 项是C32 ,第 4 项是C31 ,…,
10
+…+210 =0,
22
(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
两边同时求导得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,
令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.
问题中,并解答.
已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且满足
1
求:(ⅰ)
2
+
2

+…+ 的值;22 Nhomakorabea2
(ⅱ)a1+2a2+…+nan的值.
.
解选①,(ⅰ)只有第6项的二项式系数最大,所以n=10.
由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
上面的二项式系数表称为
杨辉三角
.
名师点睛
1.从杨辉三角可以看出(a+b)n展开后共有n+1项.
2.(a+b)n展开后每项的二项式系数对称出现且先增大后减小.
思考辨析

【课件】二项式系数的性质课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

（5－5k！）！k！×3≥（6－k）！5！（k－1）！， ∴（5－5k！）！k！≥（4－k）！5！（k＋1）！×3，
则3k≥6－1 k， 5－1 k≥k＋3 1，
解之得72≤k≤29.又 k∈N，∴k＝4.
∴展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45x3(3x2)4＝405x 3 .
训练 3 在 x－x228的展开式中， (1)求二项式系数最大的项；
题型二二项展开式的系数的和问题
例2 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值. 解 ∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023， (1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1. (2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
迁移2 若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解分别令x＝－1，x＝1，
得3－2 012＝3＝aa0＋0－aa1＋1＋aa2＋2－aa3＋3＋……＋＋aa2 202022＋2－aa2 202032，3，①②
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
∴a1＋a3＋…＋a2
+
Cnn
2n1
(n是偶数).
• 证明 ∵n为偶数,
：
∴Cn0
Cn2
Cn4
Cnn
Cn1
Cn3
Cn5
C n1 n
.
又∵C
0 n
Cn1

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1 6 15 20 15 6 1
5
C 0 ,C 1 ,C 2 ,,C n
n
n
n
n
f(r) 20 14
6
O 36
令：f
(r )
C
r n
定义域 r {0，1，，n}
当n= 6时, f (r) C6r
其图象是7个孤立点
r
6
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( C ). A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项
变式练习：
已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值 1 (310 1)
2
9
例2
已知
x 4
最大，求第五项。
1 x3
n
例题选讲
展开式中只有第10项系数
数之和
4
性质1：对称性
C C m
nm
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值
先增后减
➢ Cn
当n是偶数时，中间的一项取得最大值；
2
n
n1
C ➢当n是奇数时，中间的两项 2 n n1 C 和 2 相等，且同时取得
最大值。n
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1
C10 C11 C20 C21 C22 C30 C31 C32 C33 C40 C41 C42 C43 C44 C50 C51 C52 C53 C54 C55 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
C
rn1
C
rn1
C
r n
3
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉
1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：
一
一一
一二一
一三三一
一四六四一
一五十十五一
一六十五二十十五六一
杨辉三角: 表中除“1”以外的
每一个数都等于它肩上的两个
嘉善中学
liuhuli
X
1
复习回顾:
二项式定理及展开式:Байду номын сангаас
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn (n N*)
二项式系数
Cnr (r 0,1, , n)
通项
Tr1 Cnr anrbr
2
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
解：（1）中间项有两项： T8 C175a8b7 6435a8b7 T9 C185a7b8 6435a7b8
（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：
C125 , C165 , C1151 , C1152 C1151 C145 ,C1152 C135
又C125 C135 C145 C165
赋值法
121
1 33 1
也就是说, (a+b)n的展开式中
1 4641
的各个二项式系数的和为2n
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
8
例题选讲例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和.
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
n
解：依题意, n 为偶数，且 1 10, n 18,
T5 T41 C148
2
x
184 4
1 x3
4
3060 x4 .
若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
10
例3 已知二项式 ( a + b )15
例题选讲
（1）求二项展开式中的中间项；
（2）比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。
C125 C1152 C1151 C165
11
小结:
对称性（1）二项式系数的三个性质增减性与最大值（2）数学思想：函数思想各二项式系数的和
a 单调性； b 图象； c 最值。（3）数学方法：赋值法、递推法
作业: 书P111习题10.4 8,9,10
12
13
2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是( A ). A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项
在(a＋2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？
7
性质3：各二项式系数的和
(1 x)n Cn0 Cn1x Cnr xr Cnnxn (n N*)
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnr ... Cnn ？2n 1 1