“杨辉三角”与二项式系数的性质
“杨辉三角”与二项式系数的性质
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探 究 ４
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
1，1，2，3，5，8，13，21， 34，．．．此数列{an}满足, a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2 (n≥3) 这就是著名的 斐波那契数列．
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二 卷． 其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日
本等国均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》 一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
二.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子出生的第 个月长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生 一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问 一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
分析:设第 n 行的第 2 个数为 an ,则a2 = 2 ,
an+1 - an =n
n2 n 2 ∴ an = 2 + 2 + 3 +…+ ( n-1)= 2
高考数学总复习 杨辉三角与二项式系数的性质教案
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 杨辉三角与二项式系数的性质教案教学目标：掌握二项式系数的四个性质。
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。
教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。
一，复习1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）课本32页探究： ，。
2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性： ，。
（2）增减性与最大值: , . .（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令 ，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++三，课堂小练（1）20)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。
（2）19)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。
（3）n x )21(+的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项是 。
注意：二项式系数最大的项不一定是系数最大的项。
（4）=++++77372717C C C C 。
三、讲解范例：例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++.展示一，课本38页8题展示二，课本35页练习1。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn2．二项式系数的性质题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别例1、已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项． [解析] 令x ＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ，∴22n2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23 )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2(3x 2)3＝270x 223 . (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(x 23 )5－k (3x 2)k ＝3k C k 5x10+4k3， 得⎩⎨⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23 )(3x 2)4＝405x 263 .例2、(1)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．(2)在(1＋2x )n 的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________． [答案] (1)7·x 35 和7·x 74(2)15360x 7 题型二、求展开式中各项系数之和例3、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7－1－372＝－1 094.(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6－1＋372＝1 093.(4)方法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187.方法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.例4(1)(x ＋a x )·(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40(2)若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．[解析] (1)令x ＝1得，(1＋a )·(2－1)5＝2，∴a ＝1，(2x －1x )5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r C r 5x5－2r. r ＝0、1、2、3、4、5.令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得，r ＝2.∴展开式的常数项为：(－1)3·22C 35＋(－1)2·23C 25＝40. (2)对于(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 令x ＝－1得(3－2)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4， 两式相乘得1＝(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2， 故答案为1.题型三、与杨辉三角有关的问题例5、如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.[解析] 由图知，数列的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第18项是C 110，第19项是C 211，∴S 19＝C 22＋C 12＋C 23＋C 13＋…＋C 210＋C 110＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C 33＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312 ＝54＋12×11×101×2×3＝274.例6、如图所示，满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n (n ≥2)行的第m 个数记作a (n ，m )，则a (100,2)＝________.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6…[解析] 由a (n ，m )的定义知，a (100,2)表示表中第100行第2个数，注意观察可以发现，从第三行开始，每一行的第二个数都等于它的上一行肩上两个数字的和，故a (100,2)＝a (99,1)＋a (99,2)＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (98,2) ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋a (97,2)＝…… ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋…＋a (2,1)＋a (2,2) ＝(99＋98＋97＋…＋2)＋2 ＝98×(99＋2)2＋2＝4951. 题型四、求系数最大的项例7、已知(3x ＋x )2n 的展开式的二项式系数的和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数的和大992.求(2x －1x )2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解析] 由题意22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)(2x －1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝T 5＋1＝C 510·(2x )5·(－1x )5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·(－1x )r＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r，∴⎩⎨⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1. ∴⎩⎨⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110.即⎩⎨⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r . 解得83≤r ≤113.∵0≤r ≤10，且r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，即T 4＝－15360x 4. 例8、已知(1＋2x )n 的展开式所有的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的系数最大项．[解析] (1)由题意知2n ＝128，所以n ＝7.在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.(2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎨⎧ C r 72r ≥C r －172r －1，C r 72r ≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎨⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5. 例9、已知(2x －1)n 的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值.[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16.从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215. ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1.课后作业一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( ) A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项[答案] C[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．若a 为正实数，且(ax －1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为( )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x 2014D ．－4032x2014[答案] D[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案] 1或38[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.6．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 7．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝320178．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.9．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝________； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________. [答案] (1)255 (2)32896 [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.10．在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.11．在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。
结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。
二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。
二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。
发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。
二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。
二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。
每一行的系数具有对称性。
师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。
(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。
师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。
1.5 “杨辉三角”与二项式系数的性质-王后雄学案
张喜林制1.5 “杨辉三角”与二项式系数的性质教材知识检索考点知识清单由“杨辉三角表”可以看出，二项式定理具有下面的性质：(1)表中每行的两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，事实上，设表中任一不为1的数为,1r n C +那么它肩上的两个数分别为 和 ，由组合数的性质，有=+rn C 1+(2)与首末两端“等距离”的两个二项式系数(3)当 时，二项式系数是逐渐增大的；当 时，二项式系数是逐渐减小的，且系数呈对称性．若n 为偶数，则中间的一项 为最大值；若n 为奇数，则中间的两项相等，且同时为最大值.n b a ))(4(+的展开式中的各个二项式系数的和等于=+++=+++ 531420)5(n n n n n n C C C C C C要点核心解读1．二项式系数的推导对于n 是较小的正整数时，可以直接写出展开式中各项的系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算．表中有如下规律：“每行两端都是1，而且除l 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”， 类似这样的表，早在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里就已出现，反映了我国古代数学发展的成就，显示了我国古代劳动人民的智慧和才能，图1-5 -1叫“杨辉三角”，由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数． 2．二项式系数的特点及性质(1)由二项式系数表可以发现：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等……②图中每行两端都是1，而且除l 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（如图1-5 -2）； ③表中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大；④第1行为,210=第2行的两数之和为,21第3行的三数之和为 22第7行的各数之和为62（如图1-5 -2）．(2)-般地，n b a )(+展开式的二项式系数n nn n C C C ,,,10 有如下性质： ;;11mn m n m n m n n m n C C C C C +--=+=②①③当21-<n r 时，;1+<r n r n C C 当21->n r 时，,1rn r n C C <+ .210n nn n n C C C =+++ ④[说明] ①对于二项式系数),,,(10n nn n C C C 有：当n 为偶数时，二项式系数中，以nnC 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以1nn C-和1n n C+（两者相等）最大；②在n b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即有 +++=+++531420n n n n n n C C C C C C性质④的证明用赋值法，这是本节中最常用且很重要的一种数学方法．3．对二项式系数增减性与最大值的理解如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺序是,21)1(,1,1210⋅-===n n C n C C n n n ,321)3)(1(3⋅⋅--=n n n C n,)1(321)2()2)(1(1-⋅⋅+---=-k k n n n n C k n,)1(321)1)(2()2)(1(kk k n k n n n n C k n ⋅-⋅⋅+-+---=.1=n n C其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n ，n-l ，n-2，…），分母是乘以逐次增大1的数（如1，2，3，…）．因为一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当 k 依次取1，2，3，…时，kn C 的值即各项的二项式系数从开始起是逐渐增大．原 因在于此时11>+-k k n （即),21+<n k 而当11≤+-k k n （即≥k )21+n 时，kn C 的值转化为不递增而递减了，因为与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，n+l 是奇数，展开式共有n+l 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为.2n nC当n 为奇数时，n+l 是偶数，展开式共有n+l 项，所以有中间两项，这两项的二项式系数相等并且最大，最大为2121+-=n nn nC C4．二项式系数的有关问题(1)在n b a )(+的展开式中，利用赋值法可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)对形如m n c bx ax b ax )(,)(2+++的式子：①求其展开式各项系数之和，只需令x=l 即可；②求展开式中的常数项，只需令x=0即可．对于n by ax )(+的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l 即可．典例分类剖析考点1 “杨辉三角”的探索命题规律理解定理的发现推导过程；考查学生观察、比较、分析、概括的能力． [例1]下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？[解析]仔细分析每一个数字的特点，从而发现规律．（不必证明）[解] (1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设,,10,6,3,14321 ====a a a a若令,1n n n a a b -=+则,4,3,2321===b b b 所以可得}{n b 是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．[点拨]探索数字排列规律，应遵循从特殊到一般的归纳、猜想与证明的原则．母题迁移 1．如图1-5 -4所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第____行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．考点2 求展开式中系数（或二项式系数）最大的项 命题规律(1)依据二项式系数的性质对nb a )(+的n 进行讨论，直接得出二项式系数最大的项；(2)由通项得出第r+l 项的系数,1+r t 解不等式组⎩⎨⎧≥≥+++,,211r r r r t t t t 即可得到系数最大的项．[例2] 已知n a )221(+的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．[解] 因为,2564n n n C C C =+所以=-+-)6(!6!)!4(!4n n n n ⋅-).5(!5!2n n即 ,098ln 22=+-n 解得.714或=n当n =14时，第8项的二项式系数最大，.)21.(77148C T =.3432)2(77a a =当n=7时，第4项与第5项的二项式系数最大，.70)2()21.(C ,235)2.)21.(4434753344a a T a a C T =⋅==<=ξ[点拨] 本题关键是求出n ，根据条件构造出关于n 的方程，并正确解方程，问题就基本解决了，一般地，二项式n b a )(+的展开式中，当n=2k 时，二项式系数最大的项是中间项，即第k+l 项；n=2k +1时二项式系数最大的项是中间的两项，即第k+l 项和第k+2项．母题迁移 n x )21(2+⋅的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项． [例3](1)求7)21(x +展开式中系数最大的项； (2)求7)21(x -展开式中系数最大的项．[解析] 利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值． [解] (1)设第r+1项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥++--②①,2.2.,2.2.11771177r r r r r r r rC C C C即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-⋅--+≥⋅-⋅+--≥⋅-112.)17()!1(!72)!7(!!7,2)!17()!1(!72)!7(!7r r r r r r r r r r r r ！！⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+≥--≥⇔1271,812r r r r 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅≥≤313,316r r即.5,315314=∴≤≤r r ∴ 系数最大的项为.672255557156x x C T T =⋅⋅==+(2)展开式共有8项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因7)21(x - 括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需要比较5T 和7T 两项系数大小即可，,14)2()2(173766744775>⨯⋅=-⋅-⋅=C C C C T T 系数系数所以系数最大的项是第五项，.560)2(44475x x C T =-=[点拨] (1)本例中第一小题中的解法，是求系数最大的项的一般方法，而第二小题的解法，则通过对问题的分析和推理，使解题过程得到简化，可谓之“巧解”，更值得仔细品味．(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组的方法求解．母题迁移 3．设∈+++=n m x x x f nm ,)1()1()(（),+N 且其展开式中关于x 的一次项的系数的和为11.m 、n 为何值时，含2x 项的系数取最小值？这个最小值是多少？考点3 求展开式的系数和或部分项的系数和命题规律给定二项展开式，利用赋值法求展开式各项的系数和（或部分项的系数和）．[例4] 已知,)21(7722107x a x a x a a x ++++=- 求：;)1(721a a a +++ ;)2(7531a a a a +++;)3(6420a a a a +++.||||||||)4(7210a a a a ++++[解] 令,1=x 则,176543210①-=+++++++a a a a a a a a 令,1-=x 则,3776543210②=-+-+-+-a a a a a a a a(1)因为1070==C a （或令⋅=,0x 得),10=a 所以++++ 321a a a )2(27⋅-=a 由（①一②）÷2得=--=+++23177531a a a a .1094-(3)由(①+②)÷2得=+-=+++23176420a a a a .1093(4)方法一：因为7)21(x -展开式中，6420,,,a a a a 大于零，而7531,,,a a a a 小于零，所以||||||210a a a ++-+++=++)(...64207a a a a a =--=+++)1094(1093)(7531a a a a .2187方法二：|,|||||||7210a a a a ++++ 即7)21(x +展开式中各项的系数和，所以.21873||||||7710==+++a a a [点拨] 求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=l 可得所有项系数之和，令x= -1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x= -1则可得各项系数绝对值之和[例5] 已知,7292222332210=+++++n n n n n n n C C C C C 则nnn n n C C C C ++++ 321等于( )． 63.A 64.B 31.C 32.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 逆用二项式定理得：+++++ 33221222n n n n C C C C ,7293)21(2==+=nnnn nC 所以,6=n 所以++++ 321n n n C C C .631642066=-=-=C C n n故选A ． [答案] A[点拨] 逆用二项式定理，可化简含有组合数的代数式，从而解决问题，但应特别注意二项展开式的规律，当不符合规律时，可适当变形再逆用二项式定理．母题迁移 4．(1)若++++=- 22102010)21(x a x a a x ),(20102010R x x a ∈则+++++++ )()()(302010a a a a a a =+)(20100a a （用数字作答）(2)若多项式++++++=+9910102)1()1(x a x a a xx ,)1(0110+x a 则9a 的值是优化分层测训学业水平测试1．二项式10)1(xx -的展开式中二项式系数最大的项为( )．A ．第6项B ．第5、6项C ．第7项D ．第6、7项 2．设,)2(1010221010x a x a x a a x ++++=+ 则++20a a （-++2104)a a 2931)(a a a +++ 的值是( )．1.A 1.-B 0.C 10)12(-⋅D3．把9)1(-x 按x 降幂排列，系数最大的项是( )．A ．第四项和第五项B ．第五项C ．第五项和第六项D ．第六项 4．若n xx )13(-的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )．540.-A 162.-B 162.C 540.D5．在472)12()1(+-+x x x 的展开式中，奇数项的系数的和为84)1.(6xx +展开式中系数最大的项为7．用杨辉三角展开.)(5b a +8．在20)25(y x -的展开式中，第几项的系数最大？第几项的系数最小？高考能力测试（测试时间：60分钟测试满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．二项式11)1(ba +的展开式中二项式系数最大的项为( )． A ．第6项 B ．第5项 C ．第5、6项 D ．第6、7项n x x )1.(22-展开式的所有二项式系数的和为128，则展开式中二项式系数最大的项是( )．535.x A 235.x B 553535.x x C -和 253535.x x D 和-3．若,)124(2222102n n n x a x a x a a x x ++++=-- 则++20a a n a a 24++ 的值为( )．215.+n A 215.-n B n C 5. 1.D4．（2008年安徽高考题）设,)1(88108x a x a a x +++=+ 则,0a 81,,a a 中奇数的个数为( )．2.A3.B4.C5.D5．（2011年新课标全国高考题）5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )．40.-A 20.-B 20.C 40.D2019.21123.19204321171819202119201.6⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+的值为( )． 172.A 182.B 192.C 202.D7．（2010年湖北黄冈模拟题）,+∈N n 二项式n b a 2)(+的展开式各项系数中的最大系数一定是( )．A ．奇数．B ．偶数C ．不一定是整数D ．是整数，但奇偶与n 的取值有关 8．（2009年陕西高考题）若+++=- x a a x 1020)21(ω),(20092009R x x a ∈则20092009221222a a a +++ 的值为( )．2.A 0.B 1.-C 2.-D二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 9．已知,)2(20202210102x a x a x a a x x ++++=-- 则++20a a =+⋅+204...a a10.设,)31(9922109x a x a x a a x ++++=- 则++||||10a a =++||||92a a11.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数,)1(1rnC n +就得到一个如图1 -5 -5所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出,1)1(1)1(11rn x n r n nc C n C n -=+++其中=x 令,)1(1160130112131221nn n C n nc a +++++++=- 则-n a =21 三、解答题（共45分） 12.（7分）求84)21(xx +展开式中系数最大的项．13．（7分）已知+++=++++++ x a a x x x n 102)1()1()1(.n n x a 若.509121n a a a n -=+++-求自然数n 的值．14.（7分）在杨辉三角中，每一个数值是它上面的两个数之和，这个三角形中开头几行如图l -5 -6.试求：在杨辉三角的某一行中会出现相邻的三个数，它们的比是3:4：5吗？15.（12分）求12)31(x -的展开式中，(1)各项二项式系数和；(2)奇数项二项式系数和；(3)偶数项二项式系数和；(4)各项系数和；(5)各项系数绝对值和；(6)奇数项系数和与偶数项系数和．16.（12分）已知n xx x )1(3+的展开式中前三项的二项式系数之和为37.(1)求菇的整数次幂的项．(2)展开式中的第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数？单元知识整合1．知识网络归纳2．热点透视(1)对于易混淆的知识，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中项的系数等，应着眼于搞清它们之闽的区别和联系．(2)运用两个基本计数原理时，首先要明确需完成的事件是什么，然后再分析用什么方法去完成，如果一次不能完成整个事件，则需要“分步”；如果有几类办法均可完成，则需要“分类”，分类时要做到不重不漏．(3)解决单纯的排列应用题要根据不同题型选择不同方法，即“相邻”问题采用“捆绑”法；“不相邻”问题采用“插空法”；“在与不在”问题常优先考虑有限制条件的元素或位置．(4)要正确区分排列与组合应用题，解决组合问题常用的方法有直接法、间接法、分类法与分步法等．(5)对于排列组合综合应用题，要注意一般先“选”后“排”．(6)用二项式定理解决与“项”有关的问题时，如系数最大的项、常数项等，通常利用二项展开式的通项列方程，求出r ，再求某些特定项．具体计算时，应注意处理好符号及根式计算和指数运算，避免出错．(7)本章内容概念性强 、抽象性强、灵活性强、思维方法独特，因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的学习，认真地研究典型例题，搞深摘透，形成典型问题的思维模式，奠定解其他相关问题的思维依托，着眼于分析问题、解决问题能力的提高．(8)注意分类讨论、等价转换、整体思想、正难则反等数学思想的运用． 3．思想方法总结中学数学中的排列组合是一类思考方式较为独特的问题，它对分析能力要求较高，解法也非常灵活，是高考的难点之一，因此，恰当地选择思想方法，对于解决排列组合问题至关重要．下面结合几个例子谈谈排列组合中常用的几种思想方法．类型1 分类讨论的思想就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干个小问题予以各个击破，这是人们解决问题最常用的策略思想．[例1] 已知集合,,,|),,{(+∈=N c b a c b a S 且≤≤b a S c ,}6≤中共有元素，____个．[解析]根据a 、b 、c 中相等的个数把元素分为四类：第一类61≤==≤c b a 时，有16C 个；第二类 61≤<=≤c b a 时，有26C 个；第三类61≤=<≤c b a 时，有26C 个；第四类61≤<<≤c b a 时，有 36C 个，所以，集合．s 中共有元素562362616=++C C C 个． [方法归纳] 这里S 中的元素可以看成是一个三维坐标，要探索元素个数必须分别看a 、b 、c 的取值情况，而其中a ，b ，c 相等的情况直接影响元素的个数，于是根据这一特点对元素进行分类，考蚕了分类讨论思想的灵活应用，这种数学思想在高考中占有重要的地位，这类题目也会成为高考命题的热点， 类型2 数形结合的思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，从而达到化抽象为具体，化难为易的目的．[例2]（2010年苏州模拟题）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共 有 种．（用数字作答） [解析] 解法一：如图1-1所示，从原点跳5次到达点P(3，O)必须向右跳4次，向左跳一次，才能满足条件，记向右跳一次为1，向左跳一次为-1．所求的不同运动方法就是四个1和一个-1的排列方法，共有5个位置，选好一个位置排-1，即有5种方法，故填5． 解法二：树状图（如图1-2所示）求解．共计5种．故填5．[点拨]本例解法一是通过适当建模（记向右跳一次为1，向左跳一次为-1），把问题转化为排列、组合的模型（问题转化为四个1和一个-1的排列方法），从而使问题顺利地解决；而解法二则是利用树状图的形象直观直接求解．由此可见，解答高考中的排列、组合的应用题关键是在实际问题 中选择恰当的解题切入点，建立有关模型，利用模型来分析解决问题，类型3 转化与化归的思想就是把有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结到所熟悉的规范性问题或已解决的问题中去，从而求得问题的解决．[例3] 方程12=+++d c b a 有多少组正整数解．[解] 不难发现本题可以转化为12个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子至少放一个，有多少种不同的放法？建立隔板模型，将12个小球排成一列，12个小球中间有11个空当，从中任取3个空当，如图l -3．将12个小球分成四堆，每一堆对应a ，b ，c ，d 中的一个，易求得共有165311=C 组．[方法技巧] 由于方程未知数的个数大于方程的个数，不能用常规解法，可以建立模型：并列排着12个1，就是如何将这12个1分成4组，且每组都不空的问题．即用“隔板法”来建立组合模型是求不定方程的正整数解组数的有效途径， 类型4 函数与方程的思想[例4] 一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？[解析] (1)红球的个数要大于或等于白球的个数，当红球取4个时取法是,44C 当红球取3个、白球取一个时取法是,1634C C ⋅当红球取2个、白球取2个时取法是,2624C C ⋅因此取法共有1152624163444=⋅+⋅+C C C C C （种）． (2)可设取红球x 个，取白球y 个，则满足以下关系⎩⎨⎧≥+=+.72,5y x y x 得.2≥x 因此可分三类：第一类红球取2个、白球取3个共有3624C C ⋅种； 第二类红球取3个、白球取2个共有2634C C ⋅种； 第三类红球取4个、白球取1个共有1644C C ⋅种， 因此所有取法共有186164426343624=⋅+⋅+⋅C C C C C C （种）． [方法技巧] 列出不等式，得出红球至少取多少个，再分类求解，注意分类要不重不漏．新典考题分析[例1] (1)（2010年全国高考题）某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种(2)（2010年全国高考题）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )． A.12种移 B.18种 C ．36种 D ．54种(3)（2010年湖北高考题）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )．152.A 126.B 90.C 54.D(4)（2010年湖南高考题）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有O 和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )．10.A 11.B 12.C 15.D[解析] (1)分两类，A 类选修课1门，B 类选修课2门，或者A 类选修课2门，B 类选修课1门，因此，共有.131423C C C +⋅3024=C 种选法．(2)第一步，从3个信封中挑选1个信封放置标号为1，2的卡片，有13C 种不同的方法；第二步，将标号为3，4，5，6的4张卡片放入另外2个信封中，每个信封放2个，有2224C C 种不同的方法，由分步计数原理得，所求的不同的放法数.18222413==C C C N(3)依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，就司机这项工作的实际参与人数进行分类：第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有.241313C C C ⋅⋅10812=C （种）（注：13C 表示从除甲、乙外的3人中任选1人从事司机工作的方法数：2413C C ⋅表示从除司机工作外的其余3项工 作中任选定1项，让该项工作有2人从事的方法数；12C 表示从余下的2人中选1人从事余下的两项工作之一的方法数）；第二类，司机这项工作的实际参与人数恰有2人，满足题意的方法有183323=⋅A C （种）（注：23C 表示从除甲、乙外的3人中任选2人从事司机工作的方法数；33A 表示余下的3人分别从事另外3项不同工作的方法数）．因此，满足题意的方法有108 +18 =126（种）．(4)恰有0个，1个，2个对应位置上的数字相同的信息个数分别为,,,12414C C 故至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1112414=++C C 个，故选B ．[答案]A )1( B )2( B )3(B )4([例2] (1)（2010年江西高考题）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）． (2)（2010年浙江高考题）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有 种（用数字作答）．[解析] (1)由题意知=⨯⨯⨯⨯=⋅=24222615442222122426A A A C C C N .1080 (2)上午的总测试方法有2444=A 种；我们以A 、B 、C 、D 、E 依次代表五个测试项目，若上午测试E的下午测试D ，则上午测试A 的下午只能测试B 、C ，确定上午测试A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E 的同学下午测试A 、B 、C 之一，则上午测试A 、B 、C 中任何一个的下午都可以测试E ，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3x3 =9种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据乘法原理，总的测试方法共有24×11= 264种．[答案] 1080)1( 264)2([例3] (1)（2010年全国高考题）若9)(xa x -的展开式由3x 的系数是- 84，则=a (2)（2010年湖北高考题）在204)3(y x +的展开式中，系数为有理数的项共有 项． (3)（2010年安徽高考题）6)y (xyx -的展开式中，3x 的系数等于(4)（2010年辽宁高考题）62)1)(1(xx x x -++的展开式中的常数项为 [解析] (1)本小题主要考查考生对二项式定理的掌握情况，尤其是对展开式的通项是否能准确掌握以及能否区分项的系数与二项式系数， 对于二项展开式中具体项的问题，．般利用通项法求解．解：通项为,)()(299991r r r r r r r r x C a x a x C T ---+-=-⋅=令,329=-r 得,3=r 故,84)(393-=-C a解得.1=a(2)本小题主要考查二项式定理的应用及其相关知识．解：注意到二项式204)3(y x +的展开式的通项是=+1r T rrr y xC )3(42020⋅⋅-..320420r r r r y x C ⋅⋅=-当,16,12,8,4,0=r 20时，相应的项的系数是有理数，因此204)3(y x +的展开武中，系数是有理数的项共有6项.6))(3(xy yx -的通项为=-=-+r r rr xy yx C T )().(661,)1(3232366---r r r ryx C 令,3236=-r 得,0323,2=-=r r 故3x 的系数为.15)1(226=-C6)1)(4(x x -的展开式的通项=-=-+r r r r xx C T )1(661rr r xC 266)1(--令,026=-r 得,3=r 令,126-=-r 得27=r （舍去），令,226-=-r 得.4=r 所以所求的常数项为： .51520)1()1(464363-=+-=-+-C C[答案] 1)1( 6)2( 15)3( 5)4(-参考答案。
“杨辉三角”与二项式系数的性质(一)
变式: 设1 - 2 x a0 a1 x 1 a2 x 1 a7 x 1 ,
求a1 a3 a5 a7的值.
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课时小结
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
一般地,(a+b)n展开式的二项式系数有 如下性质：
0 1 2 3 4 5 n n [问题拓展] 你能求cn cn cn cn cn cn ........ (1) cn 吗 ?
1 n r n r r n n 由 (a b)n Cn0 a n Cn a b Cn a b Cn b (n N )
n k 1 k
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二项式系数的性质
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
（2）增减性与最大值
当n为偶数时,中间一项的二项式 系数Cn 取得最大值.
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn , Cn 相等, 且同时取得最大值.
n-1 2 n 1 2
n 2
n k 1 k 1 C C 所以 相对于 n 的增减情况由 决定． k
由 n k 1 1 k n 1 k 2 n 1 k 可知，当 时，二项式系数是逐渐 2 增大的，由对称性可知它的后半部分是 逐渐减小的，且中间项取得最大值.
n! (k 1)!(n k 1)!
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问题探究
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
观察:图像增减性与最大值.
n r 2
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“杨辉三角”与二项式系数的性质
“杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn ． 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C nn ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn . (2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n，Cn ＋12n相等，且同时取到最大值．(3)各二项式系数的和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.对二项式性质的理解(1)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到次数等限制条件．(2)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的二项式系数个数相等．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( ) (3)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×在(a ＋b )10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ) A ．第8项 B ．第7项 C ．第9项D ．第10项答案：C在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于( )A．8 B．9C．10 D．11答案：C如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．答案：2n－1探究点1 与杨辉三角有关的问题(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A．144 B．146C．164 D．461【解析】(1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19.所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.【答案】(1)B (2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C01、C11；第2行中的数是C02、C12、C22；第3行中的数是C03、C13、C23、C33；…；第n行中的数是C0n、C1n、C2n、…、C n n.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解之得n＝34.答案：34探究点2 二项式系数和问题已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项T r＋1＝C r5(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35， 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.[变问法]在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解：(1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122.(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数， 所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.1.如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，那么n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选A.因为展开式中各项系数之和为128，所以令x ＝1，得2n＝128，所以n ＝7. 2．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( ) A ．－2 B ．－3 C ．125D ．－131解析：选C.由题意可知a 8＝(－2)7＝－128，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝125.故选C. 探究点3 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项已知二项式(12＋2x )n.(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【解】 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， 所以n 2－21n ＋98＝0， 所以n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×(12)4×23＝352，T 5的系数为C 47×(12)3×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， 所以T 8的系数为C 714×(12)7×27＝3 432.故展开式中二项式系数最大的项的系数为3 432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第(r ＋1)项的系数最大， 由于(12＋2x )12＝(12)12·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，所以9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0，1，2，…，12}，所以r ＝10， 所以系数最大的项为T 11，且T 11＝(12)12·C 1012·(4x )10＝16 896x 10.(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解出r ，即得出系数的最大项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项． 解：(1)由C 4n (－2)4∶C 2n (－2)2＝56∶3， 解得n ＝10，因为通项：T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r＝(－2)r C r10x 5－5r 6，当5－5r 6为整数时，r 可取0，6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440.(2)设第r ＋1项系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r102r≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤223，r ≥193，又因为r ∈{1，2，3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，T 8＝－15 360x －56，又因为当r ＝0时，T 1＝x 5，当r ＝10时，T 11＝(－2)10x －103＝1 024x －103，所以系数绝对值最大的项为T 8＝－15 360x －56.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第6项 B ．第8项 C ．第5，6项D ．第6，7项解析：选D.由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．10C ．20D ．40解析：选B.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，所以令x ＝1得2n＝32，所以n＝5.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的二项展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2，故二项展开式中x 4的系数为C 25＝10.3．已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．212B ．211C ．210D ．29解析：选D.因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.4．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝________．解析：由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝34＝81.知识结构深化拓展释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.[A 基础达标]1．若(x 3＋1x2)n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10解析：选A.由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210. 2．已知(x ＋33x)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C.令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，所以n ＝6.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243D ．1或－243解析：选B.展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r5·a 5－r·x r，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，故(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1. 4．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70D ．80解析：选C.因为(1＋2)5＝C 05(2)0＋C 15(2)1＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， 由已知可得41＋292＝a ＋b 2， 所以a ＋b ＝41＋29＝70.5．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB.3n－12 C ．2n ＋1D.3n＋12解析：选D.令x ＝1得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n .① 令x ＝－1得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n .② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， 所以a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D.6．在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．解析：依题设，得2n＝256，解得n ＝8. 通项C r8·x8－r 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 8(－2)r·x 8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝2.故常数项为C 28(－2)2＝112.答案：1127．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________． 解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，所以 a ＝3. 答案：38．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________． 解析：令x ＝1，得a 0＝－2. 令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2. 答案：29．已知(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解：(1)令f (x )＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 则a 0＝f (0)＝25＝32， 又a 0＋a 1＋…＋a 10＝f (1)＝0， 故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(2)(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝f (1)f (－1)＝0. 10．已知(x ＋m x)n展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 解：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 8x8－r (m x)r ＝C r 8m r x 8－2r， 故8－2r ＝0，即r ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12.(3)易知m >0，设第r ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8m r≥C r －18m r －1C r 8m r ≥C r ＋18mr ＋1， 化简可得8m －1m ＋1≤r ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7.即⎩⎪⎨⎪⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.[B 能力提升]11．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1解析：选D.(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017，令x ＝12，则(1－2×12)2 017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－1.12．(2018·合肥模拟)487被7除的余数为a (0≤a ＜7)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式中x －3的系数为( ) A ．4 320 B ．－4 320 C ．20D ．－20解析：选B.因为487＝(49－1)7＝C 07·497－C 17·496＋…＋C 67·49－1，所以487被7除的余数为6，所以a ＝6.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6x 26的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(－6)r ·x 6－3r，令6－3r ＝－3，得r ＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6x 26的展开式中x －3的系数为C 36·(－6)3＝－4 320.13．已知(x 23＋3x 2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x ＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)n ＝22n，又展开式中二项式系数的和为2n，所以22n－2n＝992，解得n ＝5，所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， 所以T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝C r5(x 23)5－r(3x 2)r ＝3r C r5x10＋4r 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15⇒72≤r ≤92，又r ∈N，所以r ＝4.即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405263.14．(选做题)在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．(1)利用杨辉三角展开(1－x )6；(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5?解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.令a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.(2)设在第n 行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是C k －1n ，C kn ，C k ＋1n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧34＝C k －1nC k n，45＝Ck n Ck ＋1n，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝n ！（k －1）！（n ＋1－k ）！×k ！（n －k ）！n ！，45＝n ！k ！（n －k ）！×（k ＋1）！（n －1－k ）！n ！，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝kn ＋1－k ，45＝k ＋1n －k，即⎩⎪⎨⎪⎧3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝62，k ＝27，即在第62行会出现C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.。
“杨辉三角”与二项式系数的性质课件
[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通 过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使 问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔 行看，从多角度观察．
题型二 二项展开式的系数和问题
【例2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|． [思路探索] 本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析 问题、解决问题的能力．可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x＝0或x＝±1解决问 题．
题型三 求二项展开式中的最大项问题
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的 二项式系数和大 992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
审题指导 (1)
(2)
由1知
―→
通项公式
―→
Tr＋1≥首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C32，第 4 项是 C31，…，第 17 项是 C120，第 18 项是 C110，第 19 项是 C121． ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C41＋C42)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C121)＝2＋120×9 ＋C132＝274．
最大项
[规范解答] (1)令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋
3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n．由题意知，
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C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
1
大
小
二项式系数的性质
②增减性与最大值 n(n 1)(n 2) ( n k 1) k k 1 n k 1 由于： Cn Cn k (k 1)! k
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定 k 由：n k 1 1 k n 1 k 2 n 1 可知，当 k 时， 即二项式系数前半部分 2
例题点评
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
求多项式的展开式中特定的项(系数)
( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) 例2.
2 3 4
5
的展开式中, x 的系数等于___________
+ + + + + + + + + + + + + + +
①对称性： Cnm= Cnn-m ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和
m Cn+1 =
Cn
m
+ Cn
m-1
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行
1
2
（3）杨辉三角的第n行数字的和等于为2
问题探究:
(1)今天是星期五，那么7天后
的这一天是星期几呢? （星期五）
（星期六） (2)如果是15天后的这一天呢？
(3)如果是24天后的这一天呢？ （星期一）
(4)如果是 8100 天后的这一天呢？
(4)今天是星期五，那么 的这一天是星期几？
8
100
天后
8
100
（7 1） 0 100 1 99 r 100 r C1 0 07 C1 0 07 C1 0 07 99 1 100 C1 0 07 C1 0 0 0 99 99 （ 7 C1 0 07 C1 0 0 ） 1
2 2
,
2.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
3 3 3 3 3 3 3 3 析: C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 330
3. 9192除以100的余数是＿＿＿＿. 92 92 0 92 1 91 91 92 分析： 91 (90 1) C92 90 C92 90 C92 90 C92 由此可见，除后两项外均能被100整除 91 92 C92 90 C92 8281 82 100 81 所以 9192除以100的余数是81
0 1 2 n-1 n n Cn +Cn +Cn +…..+C n +Cn =2
n
第 0行
1
第 1行 第 2行
第 3行 第 4行 第 5行
第 6行
各斜线上的数字的和为 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
规律：斜线上各数字的和，从第3条斜 线上数字起，其后各斜线上 的和是前两 条斜线上数字之和，它们构成了著名的 斐波那契数列
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为
C
5 11
5 10
C C
6 11 .
；
2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式 系数最大，并求出其最大的二项式系数
7 8 解: 第8、9项的二项式系数 C15 与C15 最大。 即6435最大。
小结
100
余数是1， 所以是星期六
变式:若将8 除以9，则得到的余数是多少？
100
变式:若将8 除以9，则得到的余数是多少？
100
8
100
C 9 C 9 C 9 C 9 C 9
0 100 1 99 100 100 99 1 100 0 100 100
（9 1）
100
r 20 20 r r r 1 20 20 r 1 r 1
11.6 r 12.6
12 20 8 12
系数最大的项是第 13项 即C 2 3
10 二项式系数最大的项为第11项,即 C20
所以它们的比是
12 8 12 C20 23 5 7 13 2 3 10 C20 11
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的特点？ 对称性 2）上下两行有什么关系吗？ 从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x 的系 0 1 2 2 3 20 数是 C2 (1)C3 ( 1) C4 (1)3 C5
2
2
6 ( x 1) (2 x 1) 例 3:求 的展开式中 x 项
6
5
的系数. 解 ( x 1) 的通项是 C ( x )
6
r 6
6r
r 2s 4 (r 0
r 0 解得 s 2
6, s 0
5)
r 2 s 1
r 4 s 0
x 的系数为: 0 4 0 5 1 2 4 2 0 2 3 C5 C6 (1) 2 C5C6 (1)2 C5 C6 (1) 2
所以 例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算
C x
r 6
6 r 2
(2 x 1) 的通项是
5
C (2 x) (1) C (1) 2 x 5 ( x 1) (2 x 1) 的通项是
s 5 6 s s 5
5 s
s 5 s 5 s
C C (1) 2 x
s 5 r 6
s 5 s
16 r 2 s 2
由题意知 16 r 2 s 6 2
k n
k 1 n
是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐 渐减小的，且中间项取得最大值。
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n 2 n
系数 C 取得最大值； 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C
相等，且同时取得最大值。
n 1 2 n
பைடு நூலகம்
C
n 1 2 n
练习
an-2+an-1=an(n≥2)
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是： 0,1,2,, n 当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
杨 辉
《详解九章算法》中记载的表
杨辉三角
(a + b )0 (a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
1
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
6
640
求展开式中系数最大(小)的项
例4.在(2 x 3) 的展开式中, 求其项的
20
最大系数与最大二项式系数的比.
解: 设 r 1项是系数最大的项,则