1.3.2杨辉三角与二项式定理
原创1 ：1.3.2杨辉三角
计数原理
§1.3.2 杨 辉 三 角
高中数学选修2-3·精品课件
复习提问
1.二项式定理
(a b)n Cn0 an C1nan 1b Crnan r br Cnnbn
2.二项式系数:
0 , 1 , 2 , ⋯ , ⋯
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
C 10
C
1
1
1
1
C 02 C 12 C 22
C 03 C 13
C
C
0
5
0
4
C
C
1
5
1
4
C
C 32 C 33
3
4
C
C
4
5
C 24 C
2
5
1
C
3
5
1
4
4
C
1
5
5
C 06 C 16 C 62 C 36 C 64 C 56 C 66
1
Cn n
Cn 0 Cn 1 Cn 2 … C nr …
C 63 C 64 C 65 C 66
你知道这是什么图表吗？
1
6
1
2
3
4
5
1
3
6
1
4
10 10
15 20 15
1
5
1
6
1
合作探究
1
1
观察：从图中你能得出哪
些性质？
1
1
1
1
6
思考：会证明这些性质吗？
20-21版：1.3.2 杨辉三角（创新设计）
则 Cn13∶C1n4＝2∶3.
∴3C1n3＝2C1n4，
3·n！
2·n！
即
＝
，
13！·n－13！ 14！·n－14！
得：n－313＝124，∴n＝34. 答案 34
5.2 二项式系数的性质
14
题型二 二项展开式的系数和问题
例2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式 的值.
5.2 二项式系数的性质
28
5－5r！！r！×3≥6－r！5！r－1！，
∴
5！
5！
≥
×3.
5－r！r！ 4－r！r＋1！
3r≥6－1 r， ∴5－1 r≥r＋3 1.
5.2 二项式系数的性质
29
∴72≤r≤92，
∵r∈N，
∴r＝4.
26
26
∴展开式中系数最大的项为 T5＝C45·34x 3 ＝405x 3 .
第一章——
1.3 二项式定理 1.3.2 杨辉三角
学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的 各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
自主学习，积淀基础 题型剖析，互动探究 自主反馈，检测成效
课前预习
自主学习，积淀基础
[知识链接] 1.二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？ 答 不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第 一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角 中的第n＋1行对应数值相等.
5.2 二项式系数的性质
4
2.根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项 的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？ 答 对称性，Cmn ＝Cnn－m.
人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
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所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
1.3
1.3.2
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
成才之路 · 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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1.3.2杨辉三角
四、应用举例
普 通 求证：当n为偶数时， S n 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例3.已知
Sn 2 Cn 2
n 1
n 1
Cn 2
2
n2
Cn
n 1
2 1, ( n N )
*
4 n 1 能被64整除
例3.已知
Sn 2 Cn 2
r 2.二项展开式的通项公式 T r 1 C n a n r b r
Liangxiangzhongxue
3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数 及项数的整数性。
Bqr6401@
二、提出问题
b Cn a b 普 (a b ) C n a C n a 通 r n r r n n 高 Cn a b Cn b 中 课 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少 程 标 个？ 准 接下来我们来研究二项式系数有些什么性质？
x
例2.已知 (1 2 x ) a 0 a1 x a 2 x a 7 x 求： (1) a1 a 2 a 7
7 2 7
(2) a1 a 3 a 5 a 7 (3) | a 0 | | a1 | | a 7 | 解：(1)当x=1时，有 (1 2 ) a 0 a1 a 2 a 7
Sn 4n 1
能被64整除。
练习：求(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式 中x3项的系数 答案： C 171 C 141 3 3 0
杨辉三角和二项式定理
杨辉三角和二项式定理杨辉三角和二项式定理是数学中经典的基本概念和定理，被广泛应用于组合数学、数理统计、微积分等领域。
本文将介绍杨辉三角和二项式定理的定义、性质以及应用。
一、杨辉三角杨辉三角是一种数学图形，是由数字排列成三角形的形式，数字排列的规律性很强，主要是由二项式系数的各个项的系数构成的，又称为帕斯卡三角。
杨辉三角的构造方法如下：1.第一行写上数字1；2.从第二行开始，每相邻的两个数字都是上一行数字的相邻两个数字之和；例子：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1二、二项式定理二项式定理是代数学中的基本定理，它阐述了将一个二项式求幂的基本方法。
二项式定理的全称为“任意实数a和b以及非负整数n，有：(a+b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + … + C(n, n)b^n”其中C(n, k)为组合数，在组合数学中有明确的定义，即从n个不同元素中选取k个元素的不同组合数。
组合数用符号C(n, k)表示，其计算公式为：C(n, k) = n! / [k! (n-k)!]这样，我们就得到了二项式定理的定义。
三、杨辉三角和二项式定理的联系和应用二项式定理中的系数C(n, k)可以在杨辉三角中找到，这也是杨辉三角的一个重要应用。
具体来说，杨辉三角的第n行第k个数就是C(n, k)。
另外，杨辉三角还可以用来计算排列组合中的一些问题。
例如，需要在n个元素中选取m个元素的不同组合数，这就可以通过杨辉三角中的组合数来解决。
杨辉三角和二项式定理还可以应用于微积分中的泰勒公式、数理统计中的二项分布等问题。
在统计学中，二项分布是一个离散的概率分布，用来计算在n个独立的是/非试验中成功k次的概率。
杨辉三角和二项式定理在数学中属于基本概念和基本定理，对于理解和应用数学知识是非常重要的。
通过了解杨辉三角和二项式定理的定义和性质，可以更好地应用它们来解决实际问题。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。
结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。
二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。
二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。
发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。
二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。
二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。
每一行的系数具有对称性。
师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。
(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。
师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。
“杨辉三角”与二项式系数的性质
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
杨辉三角与二项式定理
杨辉三⾓与⼆项式定理⾸先杨辉三⾓是啥：利益⽅⾯，把（a + b）^n 展开，将会得到⼀个关于x的多项式： （a + b）^0 = 1 （a + b）^1 = a + b （a + b）^2 = a^2 + 2*a*b + b^2 （a + b）^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 （a + b）^4 = a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4系数正好跟杨辉三⾓⼀致。
⼀般的，有⼆项式定理：所以，（a + b）^n 是n个括号连乘，每个括号⾥任选⼀项乘起来都会对最后的结果有⼀个影响。
如果选择了 k 个 a，就⼀定会选择 n - k个 b,最后的项也就是 a^(n-k)*b^k 。
然⽽从n个a⾥选择k个有多少种⽅法呢？有 C（k ， n）种⽅法，这就是组合数的定义。
给定 n ,如何求出（a + b）^n 中所有项的系数呢？⼀个⽅法是⽤递归，根据杨辉三⾓中不难发现的规律，可以写出程序：1 memset(c,0,sizeofcv));2for(int i = 0;i <= n;i++){3 c[i][0] = 1;4for(int j = 1;j <= i;j++)5 c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];6 }（以上的算法的时间复杂度是O（n^2））另⼀个⽅法是利⽤等式C( k, n) = ( n - k + 1) / ( k ) * C( k-1, n)，从C( 0, n) = 1开始从左往右递推，如下：c[0] = 1;for(int i = 1;i <= n;i++)c[i] = c[i-1]*(n-i+1)/i;可能不明显，却容易⽤组合数公式 C（k , n）= n! /( k! * (n - k)! )。
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n
0 2 1 3 即0 C n Cn C n Cn
n n
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1等来整体得到所求。
作业：
• 1、课本37页 第8题（书上） • 2、练习册26—27页
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数最大的项;
解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则
r r 1 C 20 3 20 r 2 r C 20 319 r 2 r 1 r r 1 C 20 3 20 r 2 r C 20 3 21 r 2 r 1
例题：已知(1 2 x)7 a0 a1 x a2 x 2 a6 x 6 a7 x 7
求： (1)a0
(2)a1 a2 a3 ... a7
7
解 : 设f ( x) (1 2x) （1）令x 0 a0 f (0) 1
（2）令x 1
我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项
式有关问题的一种重要方法——赋值法。
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
2 3 n n C1 C C C 2 1 n n n n
这是组合总数公式．
解 : 设f ( x) (1 2x) (3) f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7 2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1)
7
(4)2(a0 a2 a4 a6 ) f (1) f (1)
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是：0,1,2,, n 当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
r n
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
思考: 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
0 即证：n
C C C C 2
2 n 1 n 3 n
n1
证明：在展开式
C a C a
0 n n
0 n 1 n 2 n
1 n1 n
b C b
3 n n
n n n
中
令a=1，b=－1得
f (1) f (1) 1 37 a1 a3 a5 a7 2 2
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解
思考：
已知(1 2 x) a0 a1 x a2 x a6 x a7 x
7 2 6
7
(1 2 x) 展开式中求a1 a2 a3 ... a7
即
3(r+1)>2(20-r) 2(21-r)>3r
2 2 7 r8 5 5
8 12 8
r=8
所以系数最大的项为：
T9 C 3 2 x y
8 20 12
典型例题
(1 2 x) 的展开式中第6项与第7项的系数相 例 3： 等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的 项。
n
课堂练习：
7
练习：
1.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 ( C) (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
思考:
0 1 2 n n1 C 2 C 3 C n 1 C n 2 2 n 求证： n n n
证明：∵ 2 C 2C 3C n 1 C n C 2C 3C n 1 Cn
0 n 0 n 1 n 1 n 2 n 2 n n n
0 1 n 1 n n 1 C nC 2 C C n n n n
n 2 (C C C C )
n 2 2
0 n
1 n
2 n
n n
n
倒序相加法
思考.在(3x +2y)20的展开式中，求：
f (1) (1 2 1) 1 a0 a1 a2 a7
7
a1 a2 ... a7 (a0 a1 a7 ) a0 f (1) f (0) 1 1 2
例题：已知(1 2 x)7 a0 a1 x a2 x 2 a6 x 6 a7 x 7 求：(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等．
这一性质可直接由公式 m n m 得到． C C
n n
n 图象的对称轴：r 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大的，后 半部分是逐渐减小的，中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律 n (a b) 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 (a b) 2 (a b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a b) 4 (a b) 1 4 6 4 1 5 (a b) 1 5 10 10 5 1 6 (a b) 1 6 15 20 15 6 1
杨 辉 三 角
(a b) 第 0行 1 1 ( a b ) 第 1行 1 1 2 第 2行 1 2 1 6=3+3 (a b) 3 4=1+3 (a b) 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 4 10=6+4 ( a b ) 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 5 ( a b ) 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 (a b)6
0
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n 1 n n …… … … (a b)n
r r 1 r Cn Cn C 1 n 1
n 2 取得最大值； n
n 1 2 、 n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
1）已知 C a, C b ，那么 C =
5 15 9 15
10 16
；
2） (a b) 的展开式中，二项式系数的最大值 是 ；
9
3）若 (a b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ；
n
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1.3.2“杨辉三角”与 二项式系数的性质
一、新课引入 二项定理: 一般地，对于n N*有
0 n 1 n 1 2 n 2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
C a
r n
n r
b C b
r n n
n
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共 有多少个？