【高中数学选修2-3课件】1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
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选修2-3第一章1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
增减性：当 k＜ n ＋1 时，二项式系数是逐渐增大的；当 k＞ 2
增减性与 最大值
n＋1 时， 二项式系数是逐渐减小的． 最大值： 当 n 为偶数时， 2
n
中间一项的二项式系数 Cn2最大，当 n 为奇数时，中间两项
n－1 n＋1
的二项式系数 Cn
2
，Cn
2
相等，且同时取得最大值
各二项式 系数的和
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
自学导引
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系 相等 ； 数 _____ (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上” r－1 r r C ＋ C 和 n n． 两个数的 ___，即 Cn＋1＝ _________
想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同 吗？ 提示 不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三
角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行
与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．
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二项式系数的性质 2．
对称性
“等距离” 在(a＋b)n 展开式中， 与首末两端 _________的两个二 － n m C n 项式系数相等，即 Cm ＝ ______ n
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【课标要求】
了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题． 1．
了解二项式系数的性质并能简单应用． 2． 掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．
【核心扫描】
1． 杨辉三角的特点．(难点) 2． 二项式系数性质的应用．(重点) “赋值法”的应用．(易错点) 3．
课前探究学习
课堂讲练互动
增减性与 最大值
n＋1 时， 二项式系数是逐渐减小的． 最大值： 当 n 为偶数时， 2
n
中间一项的二项式系数 Cn2最大，当 n 为奇数时，中间两项
n－1 n＋1
的二项式系数 Cn
2
，Cn
2
相等，且同时取得最大值
各二项式 系数的和
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自学导引
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系 相等 ； 数 _____ (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上” r－1 r r C ＋ C 和 n n． 两个数的 ___，即 Cn＋1＝ _________
想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同 吗？ 提示 不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三
角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行
与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．
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二项式系数的性质 2．
对称性
“等距离” 在(a＋b)n 展开式中， 与首末两端 _________的两个二 － n m C n 项式系数相等，即 Cm ＝ ______ n
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【课标要求】
了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题． 1．
了解二项式系数的性质并能简单应用． 2． 掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．
【核心扫描】
1． 杨辉三角的特点．(难点) 2． 二项式系数性质的应用．(重点) “赋值法”的应用．(易错点) 3．
课前探究学习
课堂讲练互动
人教A版高中数学选修2-3课件《1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(二)》
3 100
•
2 8 ( x 2) 例2、在的展开式中， x 1）系数的绝对值最大的项是第几项？
2）求二项式系数最大的项； 3）求系数最大的项； 4）求系数最小的项。
练习： 7 (1)求（x+2y） 展开式中系数最大的项；
7 (2)求（x-2y） 展开式中系数最大的项。 •
例3、求证： 3
2n2
C 7 C 0 99 1 （ 7 C100 7 C ） 余数是1， 所以是星期六
•
•
•
5.求值：
(1)1 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
1 5 2 2 5 4 3 5 7 6 4 5 8 5 5
10
(2)3 3 C 3 C 3 C 3 Cห้องสมุดไป่ตู้ 3 C
10 9 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5
5 10
3 C 3 C 3 C 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
9 10
•
8n 9(n N )能被64整除。
*
例4、今天是星期五，那么天后的这一天是 8 1000 那么3 天后 星期几？ 是星期几？ 100 100
100
8
（7 1）
C 7
0 100 100
C 7 C 7
1 100 99
99 1 100 100 100 99 100
r 100 r 100
（ 4）
0 n 1 n
C
•
n 1 2 n
n n
C
n 1 2 n
n
C C C 2
( x+ ) 例1、若展开式中前三项系数成等差 2 x
•
2 8 ( x 2) 例2、在的展开式中， x 1）系数的绝对值最大的项是第几项？
2）求二项式系数最大的项； 3）求系数最大的项； 4）求系数最小的项。
练习： 7 (1)求（x+2y） 展开式中系数最大的项；
7 (2)求（x-2y） 展开式中系数最大的项。 •
例3、求证： 3
2n2
C 7 C 0 99 1 （ 7 C100 7 C ） 余数是1， 所以是星期六
•
•
•
5.求值：
(1)1 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
1 5 2 2 5 4 3 5 7 6 4 5 8 5 5
10
(2)3 3 C 3 C 3 C 3 Cห้องสมุดไป่ตู้ 3 C
10 9 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5
5 10
3 C 3 C 3 C 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
9 10
•
8n 9(n N )能被64整除。
*
例4、今天是星期五，那么天后的这一天是 8 1000 那么3 天后 星期几？ 是星期几？ 100 100
100
8
（7 1）
C 7
0 100 100
C 7 C 7
1 100 99
99 1 100 100 100 99 100
r 100 r 100
（ 4）
0 n 1 n
C
•
n 1 2 n
n n
C
n 1 2 n
n
C C C 2
( x+ ) 例1、若展开式中前三项系数成等差 2 x
高中数学选修2-3课件1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
2.在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数 相同的项是 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数 相同的项是
A. 第n-k项
B. 第n-k-1项
C. 第n-k+1项 C. 第n-k+2项
观察杨辉三角
(a b)1
1.增减性？
(a b)2
C
1 n
x1
C
2 n
x
2
Cnk x k
C
n n
x
n
问题1：此展开式二项式系数之和
_______________________________.
问题2：此展开式系数之和 赋值法求 _____________________________系__数. 和
（a+x)n的二项式展开各项的系数和求 法：只要令自变量为1即可。
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n
C2n
C3n
C
n n
2n
1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（2）
左增右减
(a b)3 (a b)4
2.在何处取得最大值？(a b)5
11 12 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1
性质2：
当n是偶数时，展开式有n+1项（ n+1是奇数），中间项
2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数 相同的项是
A. 第n-k项
B. 第n-k-1项
C. 第n-k+1项 C. 第n-k+2项
观察杨辉三角
(a b)1
1.增减性？
(a b)2
C
1 n
x1
C
2 n
x
2
Cnk x k
C
n n
x
n
问题1：此展开式二项式系数之和
_______________________________.
问题2：此展开式系数之和 赋值法求 _____________________________系__数. 和
（a+x)n的二项式展开各项的系数和求 法：只要令自变量为1即可。
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n
C2n
C3n
C
n n
2n
1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（2）
左增右减
(a b)3 (a b)4
2.在何处取得最大值？(a b)5
11 12 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1
性质2：
当n是偶数时，展开式有n+1项（ n+1是奇数），中间项
推荐-高中数学人教A版选修2-3课件1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(1)
题型三
Hale Waihona Puke 反思解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
典例透析
题型一
题型二
题型三
典例透析
【变式训练 1】 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,
第
行中从左至右第 14 个与第 15 个数的比为 2∶3.
典例透析
题型一
题型二
题型三
求展开式中各项系数的和
【例2】 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|. 分析:所求结果与各项系数有关,可以考虑用“赋值法”解题.
知识梳理
知识梳理
名师点拨求二项式系数的最大最小值时,一定要搞清楚n是奇数还 是偶数.
知识梳理
知识梳理
知识梳理
名师点拨第一个式子由二项式定理,令a=1,b=1得到,第二个式子由 二项式定理,令a=1,b=-1及第一个式子得到. 名师点拨由二项式定理,令a=1,b=x可得上式,这是赋值法在二项式 中的应用.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
-1-
目标导航
1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数. 2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用.
知识梳理
1.杨辉三角 (a+b)n 展开式的二项式系数在当 n 取正整数时可以表示成如下 形式:
上面的二项式系数表称为杨辉三角. 归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行两 端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
1.3
1.3.2
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
最新高中数学人教A版选修2-3课件：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
-3-
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形 式:
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”. 特点:(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系 数相等. (2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 ������ ������-1 ������ 的和,即 C������ +1 = C������ + C������ .
-8-
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
探究一 探究二 探究三 规范解答
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X 新知导学 D答疑解惑
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探究一与杨辉三角有关的问题 【例1】 导学号78430028如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方 箭头所指的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列 的前n项和为Sn,求S19.
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做一做2 在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为 在(a+b)9的展开式中,二项式式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大, 4 4 4 该项为C8 a b =70a4b4. (a+b)9的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大, 4 5 4 5 4 5 这两项分别为C9 a b =126a5b4,C9 a b =126a4b5. 答案：70a4b4 126a5b4与126a4b5
人教A版数学选修2-3配套课件：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2
问题导学
“杨辉三角”与二项式系数的性质
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
5 6 解:T6=C������ (2x)5,T7=C������ (2x)6,依题意有 5 5 6 6 C������ 2 =C������ 2 ⇒ n=8.
1.3.2
问题导学
“杨辉三角”与二项式系数的性质
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
二、二项式系数的性质
活动与探究 问题:根据杨辉三角的第 1 个规律,同一行中与两个 1 等距离的项的 系数相等,你可以得到二项式系数的
B.第三项 D.第五项和第七项
C.第三项和第六项
解析:由二项式定理可知,展开式中,二项式系数与对应的项的系数 的绝对值相等. 由于二项式系数的最大项为 T6,且 而
4 T5=C10 ·x6· 5 5 T6=C10 x
1 5 5 =-C10 中的二项式 ������
6 = C10 ·x-2,且
0 ������ 1 ������ 系数相等,即C������ = C������ , C������ = C������ ,…,C������ = C������ . ������ -1 ������ -������
(2)增减性与最大值:当 k<
������+1 时,二项式系数是逐渐增大的,由对称 2
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
例3
1 设(3������ 3
+
「精品」人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-精品课件
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 与杨辉三角有关的问题
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 下列是杨辉三角的一部分.
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗? (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律?
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)杨辉三角的两条腰都是由数字 1 组成的,其余的数都等于它肩上 的两个数之和.
∴第四项 T4=C63·(2 3 ������)3·(-1)3=-160x.
答案:-160x
12345
5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
等式组 AAkk++11≥≥AAkk+,2确定 k 的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:T6=������n5·(2x)5,T7=������n6·(2x)6,依题意有������n5·25=������n6·26⇒ n=8.
∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=������84·(2x)4=1 120x4. 设第 k+1 项系数最大,则有 ������8k ·2������ ≥ ������8k-1·2������-1, ������8k ·2������ ≥ ������8k+1·2������+1, 解得 5≤k≤6.∴k=5 或 k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).
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2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数
C
2取得最大值；
n
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
n1
Cn2
、
Cn2 相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（2）
Cnm
C m1 n
Cm n1
（3）当 r 当r
n 1 n21
2
时， 时，
C nr Cnr
1
C r1 n
Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
C50C51C52C53C54C55
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
Cn0Cn1Cn2
r
n
C 1 n n
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
课堂练习：
1）已知 C155
a, C195
b
，那么
C10 16
=
；
2） (a b)9的展开式中，二项式系数的最大值 是；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一
项的二项式系数最大，则n=
；
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
图象的对称轴：r n 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于： C kn
n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
nk 1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
决定．
k
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由：n k 1 1 k n 1
1.3.2“杨辉三角” 与二项式系数的性
质
一、新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
C
r n
a
nr
br
C
n n
bn
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 (律a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1
11
C10C11
(a b)2 (a b)3
121 13 31
C20C21C22
C30C31C32C33
(a b)4
14 6 41
C40C41C42C43C44
(a b)5
1 5 10 10 5 1
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cmn
Cnm n
得到．