不等式的性质
不等式的性质
【解】 (1)∵a>b，c>0.∴ac>bc， ∴－ac<－bc.∵f<e，∴f－ac<e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0. ∴ab≤dc， ∴ab＋1≤dc＋1. ∴a＋b b≤c＋d d.
变式练习 3 已知 a>b>0，c<d<0，e<0.求证：a－e c>b－e d.
证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. ∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴0<a－1 c<b－1 d. 又∵e<0，∴a－e c>b－e d.
要点三 利用不等式性质求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一 类常见的问题，对于这类问题要注意：同向(异向)不等式的 两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题 过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所 以我们在解题时务必小心谨慎．
整体法：
先建立待求范围的整体与范围的整体的等量关系，最后利 用一次不等式的性质进展运算，求得待求的范围，这是防止犯错 误的一条有效途径．
例 4 已知 12<a<60,15<b<36，则 a－b 的取值范 围为________，ba的取值范围为________．
【解析】 ∵15<b<36⇒ －36<－b<－15⇒－24<a
1≤a－b≤2， ① 2≤a＋b≤4. ② 两式相加得32≤a≤3，又－2≤b－a≤1. ③
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的定义与性质
不等式的定义与性质不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数、变量或数与变量之间的大小关系。
在代数学和几何学中，不等式具有重要的作用，而理解不等式的定义与性质对于解决各种数学问题至关重要。
一、不等式的定义在数学中，不等式是指通过不等号（<，>，≤，≥）来表示两个数或表达式之间的大小关系。
一个基本的不等式方程形式为：a > b，其中a和b是两个数或表达式。
不等式的表示方式可以分为两种形式：严格不等式和非严格不等式。
严格不等式使用大于号（>）或小于号（<）来表示，表示不等式两边的值不相等；非严格不等式使用大于等于号（≥）或小于等于号（≤）来表示，表示不等式两边的值可以相等。
二、不等式的性质1. 反身性质：对于任意实数a，a≥a或a≤a是成立的，即任何数与自身相等或小于等于自身。
2. 传递性质：如果a>b且b>c，则a>c。
也就是说，如果一个数大于另一个数，而这个数又大于另一个数，那么第一个数一定大于最后一个数。
3. 相加性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b，则a+c>b+c。
也就是说，对不等式两边同时加上相同的数，不等式的大小关系保持不变。
4. 相乘性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc。
也就是说，如果一个数大于另一个数，而且还与一个正数相乘，那么乘积的大小关系保持不变。
以上性质在解决不等式问题时经常会使用，可以帮助我们推导和证明不等式的结果。
三、解不等式的方法解不等式是求解满足给定条件的变量范围。
常用的解不等式的方法包括移项法、分段法和因式法等。
1. 移项法：将含有未知数的项移到一边，常用于解一元一次不等式。
例如，对于不等式3x+5>7，我们可以通过将5移到不等式的右边，得到3x>2，再将不等式两边同时除以3，得到x>2/3。
2. 分段法：将不等式根据不同的条件范围进行分段，进而分别求解不等式。
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
不等式的基本性质
不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。
在学习不等式的过程中，了解不等式的基本性质是非常重要的。
本文将介绍不等式的基本概念、用于解不等式的基本性质以及不等式的图像表示方法。
1. 不等式的基本概念不等式是表示数或者代数式之间大小关系的数学符号。
常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
例如，对于实数a和b，a>b表示a大于b，a<b表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。
在不等式中，等号“=”可以出现，表示两个数或者代数式相等。
2. 不等式的基本性质（1）加法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b，则a+c>b+c。
同样地，如果a<b，则a+c<b+c。
也就是说，不等式两边同时加上同一个数，不等式的方向不变。
（2）减法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b，则a-c>b-c。
同样地，如果a<b，则a-c<b-c。
也就是说，不等式两边同时减去同一个数，不等式的方向不变。
（3）乘法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc。
如果a<b且c<0，则ac>bc。
也就是说，不等式两边同时乘以同一个正数，不等式的方向不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等式的方向改变。
（4）除法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且c>0，则a/c>b/c。
如果a<b且c<0，则a/c<b/c。
也就是说，不等式两边同时除以同一个正数，不等式的方向不变；不等式两边同时除以同一个负数，不等式的方向改变。
（5）取反性质：对于任意实数a和b，有a>b当且仅当-b<-a。
也就是说，不等式的两边取反，不等号的方向改变。
（6）传递性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且b>c，则a>c。
不等式及其基本性质
不等式及其基本性质不等式的基本性质：1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b ，那么a ±c>b ±c．2、不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变，用式子表示：如果a > b ，c>0，那么ac > bc 或 a c > b c． 3、不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，用式子表示：a>b ，c<0，那么，ac < bc 或a c < b c． 一、填空1．在式子①224>+x ②412≤-x ③43<x ④0162≥-x ⑤32-x ⑥33<+b a 中属于不等式的有 .（只填序号）2．如果0,<>c b a ，那么ac bc .3.若b a <，用“＜”“＞”填空.⑴ 6-a 6-b ⑵ a 5- b 5-⑶ k a 3- k b 3- ⑷ c a + c b +⑸5+-c a c b -+5二、选择4．x 的3倍减5的差不大于1，那么列出不等式正确的是（ ）A ． 153≤-x B.153≥-xC ．153<-x D.153>-x5.已知b a >，则下列不等式正确的是（ ）A ．b a 33->- B.33b a ->- C.b a ->-33 D.33->-b a三、解答题6.用不等式表示下列句子的含义.⑴ 2x 是非负数.⑵ 老师的年龄x 比赵刚的年龄y 的2倍还大.⑶ x 的相反数是正数.⑷y 的3倍与8的差不小于4.7.用不等式表示下列关系.⑴x 与3的和的2倍不大于-5.⑵a 除以2的商加上4至多为6.⑶a 与b 两数的平方和为非负数.8、解方程（1）（x-1）—（3x+2）= —（x-1）． （2）3y-2=5y-2（3）--23x 514+x =1x 3- （4）20328x y x y -=⎧⎨+=⎩9．一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1．5倍，求山下到山顶的路程．。
不等式的基本性质
(a b)( a b ) ( a b )( a b )2 ab ab 2 1 2 1 a 2 b 2 （定号） 0 ( ) ( ) a b b a
三、例题分析：
a b 例4:已知a 0, b 0，比较 ( ) ( ) b a 与 a b 的大小。
变式练习
已知 3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求 4a
＋2b 的取值范围．
解：方法 1：(方程组思想) 1 1 x＝ a＋ b a＝3x＋6y 令 ，则 y＝ 4a－ 2b b＝2x－ 1y 3 6
.
1 1 2 1 8 1 ∴ 4a＋2b＝4( x＋ y)＋ 2( x－ y)＝ x＋ y， 3 6 3 6 3 3 8 32 3≤ x≤ 4 8≤3x≤ 3 又 ⇒ 1≤ y≤ 2 1≤1y≤2 3 3 3 25 8 1 34 ⇒ ≤ x＋ y≤ ， 3 3 3 3
1 2 2 a, b, , 2ab, a b 从小到大的顺序是 2
1 2 2 a 2ab a b b ______________________ 2 1 3 特殊值法: 取 a , b 4 4
三、例题分析：
2 2 2 x 4 y 1 x y 例2:(2)已知 ，比较
方法 2：(待定系数法)设 f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)． 5 λ ＝－ 3 9＝λ＋4μ ∴ ，解得 －1＝－λ－μ μ＝8. 3 5 8 ∴f(3)＝－ f(1)＋ f(2)．下同方法 1，略． 3 3
• 【方法总结】 本题把所求的问题用已 知不等式表示，然后利用同向不等式性 质解决．本题常用待定系数法解决，设 出方程，求出待定系数即可．
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
不等式的基本性质
不等式的基本性质【知识要点】1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 3.不等式的解与解集：4.一元一次不等式：一元一次不等式的标准形式：)0(≠><a b ax b ax 或一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项变号；④合并同类项；⑤系数化为1. 【典型例题】例1 指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质.（1）由5a ＞4,得a ＞54; （2）由a +3＞0,得a ＞－3; （3）由－2a ＜1,得a ＞－21; （4）由3a ＞2a +1,得a ＞1.例2 用“＜”“=”“＞”号填空.（1）如果a ＞b ，那么a －b __________0;（2）如果a =b ，那么a －b __________0;（3）如果a ＜b ，那么a －b __________0.例3 指出下列各题中不等式变形的依据.(1)由21a ＞3，得a ＞6.(2)由a －5＞0，得a ＞5.(3)由－3a ＜2，得a ＞－32.例4 根据不等式性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式.(1)x +7＞9(2)6x ＜5x －3 (3)51x ＜52(4)－32x ＞－1例5 如果a ＞ab ，且a 是负数，那么b 的取值范围是什么？* 例6 已知m ＜0，－1＜n ＜0，试将m ，mn ，mn 2从小到大依次排列.【大展身手】1．填空：（1）若3x>4，两边都除以3，得__________，依据是____________．（2）若x+6≤5，两边都减6，得__________，依据是_____________．（3）若－4y≥1，两边都除以－4，得__________，依据是____________．（4）若－23y<－2，两边都乘－32，得___________，依据是____________． 2．若a<b ，用不等号填空： （1）a －5_______b －5；（2）a+m_______b+m ； （3）－2a ______－2b ； （4）6－a_______6－b ；（5）－1+2a_______－1+2b ；（6）ac 2_______bc 2．3．（1）已知a<b ，b<c ，则a_______c ；（2）已知a<b ，则b________a ．4.若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.5.若－35x ＞5，则x ________－3. 6.若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc .7.若ba b a --||=－1，则a －b ________0. 8.若ax ＞b ，ac 2＜0，则x ________ab . 9.若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( )A.－55b a -<B.－2a <－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b )10.若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( )A.ac ＞bcB.c b c a <C.a －c ＜b －cD.a +c ＜b +c11.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )A.b －a ＞0B.ab ＞0C.c －b ＜c －aD.a b 11>图112.已知4＞3，则下列结论正确的是( )①4a ＞3a ②4+a ＞3+a ③4－a ＞3－aA.①②B.①③C.②③D.①②③13.下列判断中，正确的个数为( )①若－a ＞b ＞0，则ab ＜0②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则－a －c ＜－b －cA.2B.3C.4D.5 14．已知x>y ，则下列不等中不成立的是（ ）A ．x －4>y －4B ．－2x>－2yC ．33x y >D ．－13x<－13y 15．下列不等式的变形中，正确的是（ ）A ．∵－3x>4，∴x>－43B ．∵－3x>4，∴x>－34C ．∵－3x>4，∴x<－43D ．∵－3x>4，∴x<－3416．已知x<y ，要使mx>my 成立，则（ ）A ．m>0B ．m<0C ．m=0D ．m 是任意实数17．如果x<3，则下列不等式错误．．的是（ ） A ．x －3<0 B ．2x<6 C ．－x>－3 D ．x+2008>018.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 19.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ）A.4B.5C.6D.无数个 20.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1 B.0 C.－1 D.不存在21.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－622．用不等式的基本性质，试将下列不等式化为x>a或x<a的形式：（1）x－1>3；（2）4x<6；（3）－2x>8．23．如果a<b，则下列不等式必定成立的是（）A．am>bm B．am<bm C．am2<bm2D．am2≤bm2 24．如果a<0，则不等式ax>2可化为（）A．x<2aB．x>2aC．x<－2aD．x>－2a25．已知关于x的不等式x>32a，表示在数轴上知图，则a的值为（）A．1 B．2 C．－1 D．－226．已知a>b，比较12－3a与12－3b的大小．27．试比较a与2a的大小．。
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
如证明y=x3为单增函数，设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2，f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[(x1+)2 +x22]再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。
2．不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：(1) a>b b<a (对称性)(2) a>b, b>c a>c (传递性)(3) a>b a+c>b+c (c∈R)(4) c>0时，a>b ac>bcc<0时，a>b ac<bc。
运算性质有：(1) a>b, c>d a+c>b+d。
(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。
(3) a>b>0a n>b n (n∈N, n>1)。
(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
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9.2.1 不等式的性质（2）教学设计一、内容和内容解析1.内容利用不等式的性质解不等式，并将解集在数轴上表示.2.内容解析本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册（以下统称为“教材”）第九章“不等式与不等式组”的第一节“不等式”的第2小节第2课时，主要在学生学习了不等式的性质，知道不等式的性质是解不等式的重要依据的基础上，利用不等式的性质将不等式进行变形.利用不等式的性质解不等式，巩固学生对不等式性质的理解，体会不等式的性质在解不等式中的运用.由于例1是解不等式的开始，所以教材在对不等式的解集除用式子表示外，再用数轴表示.一方面可以加深学生对不等式的解集以及解不等式的理解，另一方面也为学生后面学习不等式时用数轴确定不等式组的解集作了准备.基于以上分析，本节课的教学重点为：掌握不等式的基本性质并能用它们将不等式进行变形.二、目标和目标解析1.目标（1）能用不等式的性质将不等式进行变形.（2）会把不等式化为x>a或x<a的形式，求不等式的解集，并能在数轴上表示其解集.2.目标解析达到目标（1）的标志：学生通过观察，会利用不等式的性质进行变形，逐步把不等式转化为x>a或x<a的形式.达到目标（2）的标志：能够将不等式变形为x>a或x<a的形式，求出不等式的解集，并将解集表示在数轴上.三、教学问题诊断分析在七年级上学期，学生已学习解方程，知道利用等式的性质解方程，具备一定的步骤书写以及解答能力，知道利用不等式性质进行解不等式.书写过程比较容易出错的地方在于对含有未知数的x进行系数化为1时，两边乘以系数的倒数时，倒数为负数时容易忽视对不等号的方向进行改变，所以在教学过程中要指出加以改正.有些学生对解不等式的核心思想—划归思想的认识不到位，也是造成学习困难的原因，所以教师应继续加以引导，让学生深入理解解不等式的本质，掌握解不等式就是逐步向“x>a”或“x<a”转化.基于以上分析，本节课的教学难点为：不等式进行变形，求不等式的解集.四、教学过程设计1.复习引入教师提问：不等式的性质有哪些？分别用文字语言与符号语言表示出来.师生活动：学生通过回忆回答老师的提问，教师通过PPT将性质文字语言与符合语言逐一呈现出来.不等式性质文字语言符号语言性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.如果a>b,那么a±c > b±c.性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,c>0,那么ac > bc(或a b c c >).性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,c<0,那么ac < bc(或a b c c <).设计意图：复习不等式的性质，为下面使用做准备.2.例题讲解例1 利用不等式的性质解下列不等式:（1）x -7>26； （2）3x <2x +1；（3）2503x >； （4）-4x >3. 分析:解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x >a 或x <a （a 为常数）的形式.解:(1)利用不等式的性质1，不等式两边加7，不等号方向不变，所以x -7+7>26+7,x >33.(2)利用不等式的性质1，不等式两边减2x ，不等号方向不变，所以3x -2x <2x -2x +1,x <1.(3)利用不等式的性质2，不等式两边乘32，不等号方向不变，所以 32350,232x ⨯>⨯ x >75.(4)利用不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号方向改变，所以43,44x -<-- 3.4x <-设计意图：这些不等式比较简单，可以利用不等式的性质直接求解，从而巩固对不等式性质的理解，体会这些性质在解不等式中的作用，使学生认识到解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x >a 或x <a （a 为常数）的形式，渗透化归的思想.教师书写时示范解题书写过程，让学生进行模仿学习.师生活动：由于实数与数轴上的点是一一对应的，所以例1中：（1）不等式x -7>26的解集x >33也可以在数轴上表示，如图所示. （2）不等式3x <2x +1的解集x <1在数轴上的表示如图所示.（3）不等式2503x >的解集 x >75在数轴上的表示如图所示.（4）不等式-4x >3的解集34x <-在数轴上的表示如图所示.教师对（1）（2）进行示范，讲清楚在数轴上表示不等式的解集时要注意的几点：表示出数轴的三要素（方向、原点、单位长度），表示的端点不包含在数轴上画空心圆圈，解集为x<a（a为常数）的形式表示包含的折线方向向左，解集为x>a（a为常数）的形式表示包含的折线方向向右.(3)(4)由学生自己画，班上集体讨论，师生共同完成.设计意图：对不等式的解集除用式子表示外，还用数轴表示.一方面可以加深学生对不等式的解集以及解不等式的理解，另一方面也为学生后面学习不等式时用数轴确定不等式组的解集作了准备.3.巩固练习练习1 用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集:（1）x+5>-1；（2）4x<3x-5；（3）1677x>；（4）-8x>10.师生活动：此练习学生自己解决，让四名学生进行板演，然后让学生相互纠错.让学生自己发现问题，给学生纠错的机会，而不是教师讲解.此处注意两点：一是第（4）题，利用不等式的性质3进行变形，不等号的方向改变，二是在用数轴表示不等式解集的时候，注意表示的端点不包含在数轴上画空心圆圈，解集为x<a（a为常数）的形式表示包含的折线方向向左，解集为x>a（a为常数）的形式表示包含的折线方向向右.设计意图：巩固利用不等式性质解不等式的化归思想，暴露学生可能出现的错误及时进行修正.4.概念感知提问：回看例1的四个不等式解集在数轴上表示，如果分别在（1）（2）中将数轴上表示数33的点与表示数1的点处的空心圆圈改画成实心圆点，那么此时又该怎么表示不等式的解集呢？（1）（2）师生活动：将数轴上表示数的点由空心圆圈改画成实心圆点，表示不等式的解集不包含这个数变成了包含这个数，所以（1）表示的不等式为x >33或x=33，合并为：x≥33，“≥”读作“大于或等于”,也可以说是“不小于”.（2）表示的不等式为x < 1或x=1，合并为：x≤1，“≤”读作“小于或等于”,也可以说是“不大于”.（3）（4）中表示数75的点与表示数34-的点处的空心圆圈改画成实心圆点，则让学生练习书写表达.由此获得一般性的概念：像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系.“≥”读作“大于或等于”,也可以说是“不小于”.“≤”读作“小于或等于”,也可以说是“不大于”.如：为了表示2011年9月1日北京的最低气温是19℃，最高气温是28℃，我们可以用t表示这天的气温，t是随时间变化的，但是它有一定的变化范围，即t≥19℃并且t≤28℃.a≥b或a≤b形式的式子，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质.设计意图：通过PPT动画演示数轴上表示某数的点画空心圆圈与画实心圆，即点不包含与包含的区别，对应着不等式解集表示的不同，让学生明确“>”与“≥”，“<”与“≤”符号之间的关系与区别.而a≥b或a≤b形式的式子，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质，这里不详细的说明，直接给出即可，以后直接运用.例2 用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集:（1）x的3倍大于或等于1；（2）x与3的和不小于6；（3）y与1的差不大于0；（4）y的14小于或等于-2.分析：（1）找出表示不等关系的关键词；（2）表达出不等式两边的式子.解:(1)语句用不等式表示为3x≥1，解集为x≥1 3 .解集在数轴上的表示如图所示.师生活动：教师示范第（1）题的解题过程，学生自己解决后三个问题，让三名学生进行板演，然后让学生相互纠错.教师要让学生自己发现问题，而不是教师讲解，给学生纠错的机会.此处注意几点：一是不等式的表示，注意“大于或等于”“小于或等于”“不小于”“不大于”等词的符号表达；二是求不等式的解集，刚开始解不等式可以把详写步骤；三是解集在数轴上的表示，注意数轴上点画空心圆圈与实心圆点的区别，表示范围的折线方向.设计意图：锻炼文字语言与符号语言的相互能力，巩固利用不等式的性质解不等式的运用，进一步掌握用数轴表示解集的方法，为解不等式组做准备.5.解决问题例3某长方体形状的容器长5 cm,宽3 cm,高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm,现准备向它继续注水.用V（单位：cm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围.分析：本题基本数量关系，容器中液体的体积（新注入水的体积V+原有水的体积）≤容器的容积.解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即V+3×5×3≤3×5×10，V≤105.又由于新注入水的体积V不能是负数，因此，V的取值范围是V≥0并且V≤105.在数轴上表示V的取值范围如图所示.设计意图：提出这个实际问题，一是让学生体会“≥”“≤”这两个符号的的意义，而它的解集在数轴上对应的是包含两端点的区间（闭区间），这里并没有把解集写成连写的形式（0≤V≤105），为后面学习一元一次不等式的解集分散难点.6.梳理反思，归纳总结本节课你学到了哪些知识？有什么收获？你还有什么质疑？设计意图：师生共同归纳本节课所学内容，明确简单的一元一次不等式的解法，体会生活中的许多实际问题都可以用不等式的知识去解决.7.布置作业巩固性作业（必做）：教科书P120习题5,7.拓展性作业（希望大家都做）：练习册P34.研究性作业：比较解不等式与解方程的过程，从依据与结果谈谈两者之间的相同点与不同点.设计意图：分层设计作业，使得不同的层次学生都有不同的收获.六、板书设计9.1.2 不等式的性质（第2课时）不等式性质文字语言符号语言如果a>b,那么a±c > b±c.性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,c>0,那么ac > bc(或a b c c >).性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,c<0,那么ac < bc(或a b c c <).3.用不等式来解决实际问题时，对解集的取值范围还需要考虑实际意义.七、教学反思本节课教学过程贯穿了“尝试—引导—示范—归纳—练习—点评”等一系列环节，旨在改变学生的学习方式，将被动的、接受式的学习方式转变为动手实践、自主探索和合作交流等方式.教师的组织者、引导者与合作者的角色在这节课得到了充分的体现.教师尊重学生的个体差异，满足多样化学习的要求.对学习确实有困难的学生，及时给予关系和帮助，鼓励它们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，勇于发表自己的观点.。