自主招生北大科学营物理试题及详细答案

2022北大科学营试题与详细答案1、将地面参考系作为惯性系。

蹲在水平地面上的人向上竖直跃起，过程中空气阻力不计。

写出质点系动能定理、质心系动能定理、判断哪些力做正功，哪些力做负功解：质点系动能定理：内力做功和外力做功之和等于系统内各物体的动能变化之和W +W = E内外k质心系动能定理：合外力对质心做功等于质心动能的增量W = E合外c kc内力做功之得为正，外力即重力做功为负。

对质心，地面的支持力做正功，重力做我负功。

2、说大气有重力压强，也说气体有份子热运动压强，那末，大气对地面的压强是否为这两个压强之和？为何？解：不能这样说大气份子受到地球的吸引而具有重力。

那末整个大气有重力。

把大气看成一个整体，大气要受到重力和地面的支持力。

根据牛顿第三定律，大气对地面有压力，这个压力产生的压强就是大气的重力压强。

大气是由大气份子组成的。

根据份子动理论，大气份子在无规则运动中，和地面相碰会对地面产和压力，对单位面积的地面的正压力是大气份子热运动的压强。

这是同一压强的两种不同的说法。

也是从宏观和微观两个不同的角度对大气压强的分析。

如果没有地面的吸引，大气也就不会存在于地球的周围，也不会有大气份子和地面的碰撞，固然不会产生压强。

3 、(1)、是否存在两个彼此分离的静止点电荷，使他们所在空间的静电场中浮现一个电势为0 的球面等势面(2)、是否存在三个彼此分离的静止点电荷，使他们所在空间的静电场中浮现一个电势不为0 的球面等势面解： ( ) 、是。

在接地的、半径为的球面外，与球心距离为的地方放一个静止的点电荷。

此球面的是一个电势为的等势面。

这个电势是由点电荷和感应电荷共同产生的。

根据镜像法可知，感应电荷可以等效为一个点电荷。

可见，由和组成的合电场的空间会浮现一个电势为的球面等势面( ) 、是。

在( )中，先去掉接地，再在球心再放一个静止的点电荷，此球面的电势就是一个电势不为的球面等势面4、设太阳不动，一个行星只受太阳引力，则其相对太阳的运动曲线与该行星的轨道能量(动能加势能) E 对应的关系为椭圆：E<0 、抛物线：E=0、双曲线E>0据此判断，在实验室系中，α 粒子散射轨道曲线是哪种曲线解：双曲线在α粒子散射实验中，大质量的原子核的运动可以忽略，认为是静止的。

α粒子带正电，受到原子核的库仑斥力作用，库仑力和万有引力在数学上是同构的，但由于一个是引力一个是斥力，所以势能的正负号是相反的。

α粒子的轨道能量 ，可见，α粒子散射轨道曲线为双曲线。

5、三个相同的匀质小球放在光滑的水平桌面上，用一根橡皮条把三球约束起来。

三 个小球的质量均为 m ，半径均为 R 。

如图，再将一个质量为 3m 的半径为 R 的匀质小球放 在原三球中间正上方，因受到橡皮条的约束，下面三个球并没分离，不计任何磨擦。

求(1)、放第四个球后，橡皮条张力的增量(2)、剪断橡皮条后，第四个球碰到桌面时的速度解： ( )、如图所示，规定上面的球为 ，下面的三个球分别为 、 、| OO |=| O O |=| O O |=| O O |= 2R1 2 2 3 3 4 4 1cos α =63设球 对下面每一个球的压力大小均为 ，则的3Ncos α = 3mg解得6 N = mg2球 、 、 受到的 的水平分力为 N'=Nsin α =2 mg 3上图中 2Tcos30 0 = N'解得N ' 6T ==mg2cos300 6( )、橡皮筋剪断后，球 开始向下运动，球 、 、 在球 的压力下做水平运动， 球 运动一段时间后与球 、 、 分开，分开的条件是相互作用力 ，球 与三个球分 开后，在重力作用下做匀加速运动sin α =3根据几何关系，有3根据动量守恒和对称性， 可知球 、 、 运动速率相同， 速度方向沿Δ 到各个顶点的连线的延长线方向如图，设 向下事速度为 ， 沿 方向的速度为 ，直角三角形的中心的中的O O O 用θ标记，其初始值θ 应满足，而后θ减小。

1 2假设θ减小到某一值时，球 与其余三个球间的正压力为 向的速度为 ，则彼此分 开，此时随 一起运动的参考系为惯性参考系， 对 的速度为v = v cos 9 + v sin 91 2球 和球 还没有分开，所以 v sin 9 = v cos 91 2当 时，球 相对球 运动的向心力恰好为球 所受到的重力的分力，即3mg sin 9 = 3mv 22R由上得 v 2 = 2gRsin 9 cos 2 9 v 2 = 2gRsin 391 2此时，球 下落的高度为2R(sin 9 sin 9 )根据机械能守恒，有3mg . 2mg(sin 9 sin 9 ) = 3mv 2 + 3 mv 20 2 1 2 22 69从而 v 2 =76 6gR1243球 与下面三个球分开后，做自由落体运动，球 与桌面相遇时的速度 与初速度 间的关系为 u 2 v 2 = 2g . 2R sin 91可得，球 碰到桌面时的速度为876 6gR 276 、(1)、均匀导热棒的串并联两根粗细均匀的金属棒 A 、B 尺寸相同， A 的导热系数是 2k ，B 的导热系数是 k 。

用 他们来导热。

高温端和低温端温度固定。

求 A 、B 并联使用和串联使用的能流之比。

设棒的侧面是绝热的。

能流是单位时间通过金属棒整个截面所传递的能量。

(2)、熵增如图，将与外界绝热的长方体容器用固定的绝热隔板分为体积均为 V 的摆布两室，左室内有定容摩尔热容为 C 1 的 1mol 某种理想气体， 压强为 P 1，右室内有定容摩尔热容为 C 1 的 1mol 的另一种理想气体，压强为 P 2。

现将隔板打开，两种气体混合达到平衡 求平衡态的温度和压强可得 sin 9 =1 1u =取理想气体熵增公式为S = nRln V e + nCln Te ，下标分别表示初、 末态， 为物质V Ti i的量， 定容摩尔热容。

求混合过程中系统的熵增。

解： ( )、傅里叶热传导定律dTdQ = k SdtdldQ dT均匀导热棒的能流为 j == kSdt dl热平衡时，处处相同，一定有= 常量 =dl lS 则有 j = kTlS令均匀导热棒的“导热系数” K = kl则有 j = K T建立类比关系， 与 有 K 1 =K 1串 ii两金属棒尺寸相同， (电容电量)，Δ 与Δ (电容电压) ， 与 (电容)K =K并相同， ii相同，则有S K = k1 1 l根据并联时Δ K = kS 2 2l相同，有j =j +j =(K +K )T = K T并 1 2 1 2 并K =(k +k )S 并 1 2l根据串联时j 相同，有串T=T +T = j 串+ j串=j (K 1 + K 1) = j K 11 2K K 串 串 串1于是j =K T串 串K = (K 1 + K 1) 串2=(k 1+ k 1) = k k 2Sk + k l1 2dT TT (k + k )2所以 并 = 并 = 2T k k串 串 1 2将 k =2k 代入，得( )、根据理想气体状态方程，有PVT = 01PV T = 02根据热力学第一定律，有C P + C 解得 T =C + C根据道尔顿分压定律，有C (T-T ) + C (T-T )=0P VRv RT v RT C P + C PP = 1 + 2 =2V 2V C + C0 0将 平 衡 态 混 合 气 体 按 下 图 所 示 物 质 结 构 方 面 ( 不 是 体 结 构 方 面 ) 分 为 1mol {C ,P * ,2V ,T} 子系统平衡态和 1mol {C ,P * ,2V ,T} 子系统平衡态，其中P * 和P *1 02 0 1 2分别为平衡混合气体中两个子系统的分压子系统 1 的初态为图中左边的平衡态，其熵增为S = R ln 0 + C ln 1 V mV 1T0 1= Rln 2 + C mV1= Rln 2 + C mV 11子系统 2 的初态为图中左边的平衡态，其熵增为2V T2 V mV2 T0 2C P + C PlnC + C R PV 1 0ln( 0 C P + C P V R(C + C )P 并 = 922V T )串S = R ln 0 + C lnE = 4E0 1则有C P + C = Rln 2 + C ln(mV 2 C + C 0 ) R PV2 0= Rln 2 + C lnC P + C PmV 2(C + C )P2系统的熵增为S = S + S = 2Rln 2 + C ln 1 1 2 2 + C ln 1 1 2 21 2 1 (C + C )P 2 (C + C )P1 2 1 1 2 27 、(1)、电场电势、叠加如图 4 个边长相同、 带电量也相同的均匀带正电的绝缘小立方体并排放在一起。

在上 表面 4 个顶点相聚的 O 点处，测得电势和场强大小分别是 U 和 E 。

将图中的前右侧小立 方体改放在后左侧小立方体的正上方。

求此时 O 点的电势和场强。

(2)、磁场力如图，在 Oxy 平面上有场强为 E 的沿 x 方向的匀强电场，还有垂直图平面向里的磁 场，磁感应强度大小仅随 x 变化， 坐标原点 O 处有一个质量为 m 、电量 q>0 的质点 P ，初时刻 P 静止。

将 P 由静止释放后，在图平面上的运动轨迹为抛物线 y =x 2(A > 0)A用运动学知识求抛物线的曲率半径 求解： ( )、每一个小立方体在每一个顶点的电势贡献相同，记为 ，图 中 个 标 题合成 ，图 中 个 标题合成 ，可得 U = 4U = U1 0每一个小立方体在每一个顶点的场强可对称地正交分解成下图所示的 的分量。

个小立方体按图 所示在 点合成，惟独在向上的方向上作非 两个方向上的叠加均得个大小均为 叠加，此外C P + C P C P + C PP V R1 E = 1 4 个小立方体按图 E 0所示的结构在点的合场强如下图所示个朝上的 个朝右的 个朝前的在上图中的 与 个朝下的 合成与 个朝左的 合成与 个朝后的 合成点合场强的大小即为 个向上的 ，即E = 2E上 1个向右的 ，即E = 2E右 1个向前的 ，即E = 2E前 13 E 2 0( )、设x = v t ，则 y =v 2t 20 ，有Av = vx 02v 2 t= 0yAv 2 = v 2 + v 2 = (1+ )v 2x y A 2 0a = 0x则有可得2v 2a = 0yAa = a cos 9 = 0 x = 0 4x 2 1+ 23 π ==a 2A 2nAv n y A v AE = 2 3E = 1 v 2 (A 2 + 4x 2 )22v 2 v 2v 2解得4x 211在( ,)处，根据动能定理，有 qE x = mv 222qE x可得 v 2 = 0m由图可知 F = mv 2= avB qE sin 9 n π 0tan 9 = dy =2xdx Asin 9 =2x则 B = 1 (m v 2+ qE sin 9 )= qv π 0、一块玻璃平板旋转在一个玻璃长方体上，再者之间有一层平行的空气隙，波长在 μ 到 μ 之间的电磁波垂直入射平板玻璃上，经空气隙上、下两界面的反射而 发生干涉，在反射区域中共有三种波长得到极大增强，其中之一为 μ ，求空气隙的 厚度 的所有可能的值 μ 、 μ 、 μ解：相干叠加获得极大增强的条件为 入2d + = k 入 k =1,2,3…2则 入 =2d1k2k =1,2,3…由于 是相同的，入越小， k 越大，设有 个入满足极大增强，他们挨次为入 = 入 < 入 < < 入 = 入 他们对应的 k 罗列为K = k > k > > k = 入A 2 + 4x 2 2mqE x 3A 2 + 4x 2 0q (A 2 + 4x 2 )3/ 2max 1 2... n minmin 1 2 ... n max任意一对入 < 入 的比值满足i j入 1.151 < j <= 2.875入 0.4i又因为所以入 2k 1 j = i入 2k 1i j1 <2k 1i 2k1j< 2.8752k 1i2k 1j(k > k )列表如下i j根据题意应取 ，从表中可以查出，惟独两级解，即， 或者因有所以，， ，入 = 入 = 0.4m1 min入 =11 k12d = (k )入 = (k )0.4m2 1 2 1 2 1 2由此可得 d = 0.7m d = 0.9m9、静长同为 L 的 A 1A 2 杆和 B 1B 2 杆在惯性系 S 中紧挨着 x 轴，分别沿 x 轴正、反方向，以相同的速度大小 v 匀速运动。