福建省四地六校2012-2013学年高二上学期第一次月考 数学理试题

四地六校联考2012-2013学年上学期第一次月考高二数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．如图所示的程序框图输出的结果是（ ）（A ）43 （B ）54 （C ）65 （D ）762．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级 有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本， 已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应 抽取的人数为( )A ．6B ．8C ．10D ．12 3.将1 010 011(2)化为八进制数为( )A.123(8)B.321(8)C.23(8)D.32(8)4.线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过（ ）ks5u A 、(0，0)点 B 、(x ，0)点 C 、(0，y )点 D 、(x ，y )点5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( )6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为( )A ．90B ．100C ．900D ．1000 7.右图给出的是计算1001...81614121+++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A ．50>i B ．25>i C ．50<i D ．25<i8.其中污染指数50≤T 时，空气质量为优；10050≤<T 时，空气质量为良；150100≤<T 时，空气质量为轻微污染，该城市2010年空气质量达到良或优的概率为 （ ）A.53 B.1801 C. 191 D.65 9. 下列程序执行后输出的结果是 ( )A ．－1B ．0C ．2D ．1 10．某市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x (单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是( ) A ．0.20 B ．0.40 C ．0.60 D ．0.80第Ⅱ卷 (非选择题 共100 分)二、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)11．两个整数490和910的最大公约数是 ．12.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则 甲、乙两人比赛得分的中位数之和是__________．13. 用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(xx x x x xx f ++++-+=在4-=x 时的值时,3V 的值为_____________14． 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为_________________15. _______________________6个大题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. （本小题满分13分）求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.17．（本小题满分13分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天（Ⅰ）试确定,x y 的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）； （Ⅱ）完成相应的频率分布直方图.（Ⅲ）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.18．（本小题满分13分）圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R)．(1)证明：不论m 取什么数，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值．19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点是 15题）都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；ks5u(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．20．(本小题满分14分)如图，平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形， A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为M ，N.(1) 若⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程； (2) 若直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程； (3) 是否存在这样的⊙N ，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距 离为2，若存在，求此时⊙N 的标准方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）对任意函数(),f x x D ∈，可按右图构造一个数列发生器．记由数列发生器产生数列{}n x ． （Ⅰ）若定义函数()421x f x x -=+，且输入04965x =，请写出数列{}n x 的所有项；（Ⅱ）若定义函数()23f x x =+，且输入01x =-，求数列{}n x 的通项公式n x ．(Ⅲ)若定义函数()()sin 02f x x x x π=≤≤，且要产生一个无穷的常数列{}n x ，试求输入的初始数据0x 的值及相应数列{}n x 的通项公式n x ．四地六校联考2012-2013学年上学期第四地六校联考2012-2013学年上学期第一次月考高二数学答题卷（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11.__________________ 12.________________ 13._________________14._____________________ 15._________________三、解答题（本大题共6小题，共80分）四地六校联考2012-2013学年上学期第一次月考高二数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）11. 70 12. 64 13.－5714. 10 15. 499ks5u三、解答题(本大题共6个大题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.（本小题满分13分）解：∵直线的方程为y＝－3x＋1，∴k＝－3，倾斜角α＝120°，由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为3 3.…………………………………4分(1)∵直线经过点(3，－1)，∴所求直线方程为y＋1＝33(x－3)，即3x－3y－6＝0. …………………………………9分(2)∵直线在y轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y＝33x－5，即3x－3y－15＝0. …………………………………13分17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)3.0,4==yx，………………………………………………………2分众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.……………………4分（Ⅱ）其频率分布直方图如图所示：...ks5u (8)分(Ⅲ)样本的平均数为5.401.05.821.05.672.05.522.05.373.05.221.05.7=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯……10分因为355.40>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.……………………………………… 13分18．（本小题满分13分）解：(1)证明：∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R)．∴l 过⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0，的交点M (3,1)．又∵M 到圆心C (1,2)的距离为d ＝－2＋－2＝5<5，∴点M (3,1)在圆内，∴过点M (3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点．…………………………………6分(2)∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径r 构成直角三角形，∴当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.∴弦长AB 的最小值|AB |min ＝4 5.此时，kCM ＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1. ∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34. ∴当m ＝－34时，取到最短弦长为4 5.…………………………………13分19. （本小题满分13分）解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.则以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. …………………………………6分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.① 由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1…………………………………13分20．(本小题满分14分)解： (1) 圆心M(－1.1)．∴ 圆M 方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，∴ 直线CD 方程为x ＋y －a ＝0. ks5u∵ ⊙M 与直线CD 相切，∴ 圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a|2＝2，化简得：a ＝±2(舍去负值)． ∴ 直线CD 的方程为x ＋y －2＝0. ……………………………5分(2) 直线AB 方程为：x －y ＋2＝0，圆心N ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2.∴ 圆心N 到直线AB 距离为⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋22＝ 2. ∵ 直线AB 截⊙N 所得弦长为4，∴ 22＋(2)2＝a 22.∴ a ＝±23(舍去负值)． ∴ ⊙N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6. …………………………………5分(3) 存在．由(2)知，圆心N 到直线AB 距离为2(定值)，且AB ⊥CD 始终成立，∴ 当且仅当圆N 半径a 2＝22，即a ＝4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2 …………………………………14分21. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）函数()421x f x x -=+的定义域()(),11,D =-∞--+∞…1分 把04965x =代入可得11119x =，把11119x =代入可得215x =，把215x =代入可得31x =- 因为31x D =-∉，所以数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===- ………4分 （Ⅱ）()23f x x =+的定义域为R ，ks5u若01x =-，则11x =，则()123n n n x f x x +==+，所以()1323n n x x ++=+，所以数列{}3n x +是首项为4，公比为2的等比数列，所以113422n n n x -++=⋅=，所以123n n x +=-，即数列{}n x 的通项公式123n n x +=-． ………9分 (Ⅲ) 若要产生一个无穷的常数列，则()sin f x x x x ==在[]02,π上有解， 即()sin 10x x -=在[]02,π上有解，则0x =或1sin x =，所以0x =或2x π= 即当0010,sin 2n n n n x x x x x x π+====或时故当00,0n x x ==时；当0,22n x x ππ==时．ks5u …14分。