数值传热学习题解答(汇总版)

习题1－7

解：由于对称性，取半个通道作为求解区域。

常物性不可压缩流体，二维层流、稳态对流换热的控制方程组为： 质量守恒方程

0=∂∂+∂∂y

v x u 动量守恒方程 ()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂22221y u x u x p

y vu x uu νρ ()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂22221y v x v y p y vv x uv νρ 能量守恒方程 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂2222y T x

T a y vT x uT 边界条件：

进口截面 ()0,,===v c T y u u in ； 平板通道上（下）壁面 0,

0=∂∂==y

T

v u ； 中心线上对称条件： 0,

0u T v y y

∂∂===∂∂； 出口截面

0,0,0=∂∂=∂∂=∂∂x

T x v x u ； 或者写：采用数值传热学的处理方法。

图1-10 习题1-7的图示

本题如果采用整个通道作为计算区域，应该扣除0.5 分

2-3.

解：由u x u ∂∂=()x

uu ∂∂21=η22y u ∂∂得： 其守恒形式为：()x

uu ∂∂=2η22y u ∂∂ 对方程两端在t ∆时间间隔内对其控制容积积分得：

()

dxdydt x uu t t t n

s

e

w ⎰⎰

⎰∆+∂∂=⎰⎰⎰∆+∂∂t t t e w n s dydxdt y u 222η

()()[]dxdt y u y u dydt uu uu s n t t t e

w

t

t t w e n s ][2⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=−⎰⎰⎰⎰∆+∆+η 将

()()2

)(P

E e uu uu uu +=, ()()()2

P W w uu uu uu +=

,

()n P

N n y u u y u δ−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，

()s

S

P s y u u y u δ−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂。 y y y s n ∆==)()(δδ 带入，得：

xdt y u u u ydt uu uu t t t S P N t

t t

W E ∆∆+−=∆⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡−⎰⎰

∆+∆+]2[22)()(η t x y

u u u t y uu uu t

S

t P t N t W t E ∆∆∆+−=∆∆−222)()(η

整理得离散方程为：

()()0242

=∆−+−∆−y

u u u x

uu uu t P t S t N t

W

t E η

2—3：

解：由2221()u 2u u u

x x y η∂∂∂===∂∂∂得：

原方程的守恒形式为： 222()2u u

x y

η∂∂=∂∂ 对方程两端在t ∆时间间隔内对其控制容积积分，把可积的部分积出后得：

22()t t

s

n

e w

t

u u dtdy +∆−⎰⎰

= 2t t

e w

t

n s u u dtdx y y η+∆⎡⎤

⎛⎫⎛⎫∂∂−⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦

⎰⎰

选定2u 随y 而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿y 方向不变，则

2222

()=y ()t t

t t

s n

e w

e w t

t

u u dtdy u u dt +∆+∆−∆−⎰⎰

⎰

选定2u 随t 而变化的规律，这里采用阶梯式显式，则

22()t t

e

w

t

y u u dt +∆∆−⎰

= ()()22t t e w u u t y ⎡⎤−∆∆⎢⎥⎣⎦

选定u

y

∂∂随x 而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿x 方向不变，则

22t t

t t e w

t

t n s n s u u u u dtdx x dt y y y y ηη+∆+∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂−=∆−⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦

⎰

⎰

⎰ 选定

u

y

∂∂随t 而变化的规律，这里采用阶梯显式，则 2t t

t

n s u u x dt y y η+∆⎡⎤

⎛⎫⎛⎫∂∂∆−⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰

= 2t t n s u u t x y y η⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂−∆∆⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

进一步选取u 随x,y 分段线性变化，则

22

22

E P

e u u u += ， 222w 2W P u u u +=

()n

t P

t

N t

y u

u y u δ−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂n ， ()s

t

S

t p t

s y u u y u δ−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂。 y y y s n

∆==)()(δδ 带入得：

22t

222t t E W N P S

u u u u u t y t x y

η−−+∆∆=∆∆∆ 整理得离散方程为 ：

22t 2

24()t t E W N P S

u u u u u x y η−−+=∆∆

习题2－4 [解]

1．先用控制容积积分法得出离散方程： 以r 乘式

01=+⎪⎭

⎫

⎝⎛S dr dT rk dr d r ，并对图2-2所示的控制容积P 作积分：