椭圆面积公式的推导

椭圆面积公式的推导

韩贞焱 （贵州省遵义四中 563000）

椭圆面积公式S=πab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导，供读者参考.

定理1. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比 .

注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略.

方法一：设椭圆C 的方程为122

22=+b

y a x （a>b>0）,辅助圆C '的方程为x 2+y 2=b 2,

且一直线L ：y = m （b m b ≤≤-）与两曲线相交,交点分别为M （x 1 , m ）、 N （x 2 , m ）及P （x 3 , m ）、Q(x 4, m)，如图1.

由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1222

2b y a x m

y 解得 x 2

1、=22m b b a -±， 此时，21x x - =

22

2m b b

a -； 由⎩⎨⎧=+=2

22b

y x m y 解得x 4,3=±22m b -, （图1） 此时， 43x x -=222m b -.

01、当22m b =,即b=|m|时，交点为（0，b ）或（0，-b ）；

02、当22m b ≠，即b ≠|m|时，有

b

a

x x x x =

--4

321 . 显然01是一种特殊情况，即直线L 与两曲线C 、C ' 交于一点，此时与求椭圆C 的面积无影响，故可忽略；在情况02下，即椭圆C 的弦长|MN|与圆C '的弦长|PQ|比恒为定值

b a 时，则当设椭圆C 与圆C '的面积分别为S 、S '时，由定理1得'S S =b

a ，又圆C '的面积S '=π

b 2，故有 S =

b a S '=b

a

πb 2=πab . 所以椭圆C 的面积公式为S =πab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.

注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线

的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积.

定理2.若一平面图形M '是另一凸平面图形M 的射影，且凸平面图形M 与射

影平面图形M '所成角为α, 则射影平面图形M '的面积与凸平面图形M 的面积比为cos α.

证明：设平面图形M '是平面图形M 的射影 .10当平面图形M 是凸曲边行时，如图2，将平面图形M 的边缘进行n+1等分， 设分点分别为A 1、A 2、A 3、…、A i 、A 1+i 、

…、A n 、A 1+n ，它们分别在平

面图形M '上的射影为A '

1、A '2

…、A 'i 、A '1+i 、…、A 'n 、A '1+n ,

则分别连结点A 1、A 2、A 3、… 、A i 、A 1+i 、…、A n 、A 1+n ，然 后再将点A 1分别与点 A 2、A 3、

…、A i 、A 1+i 、…、A n 、A 1+n (图2)

连结得△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4、…△A 1A i A 1+i 、…、△A 1A n A 1+n .显然它们在平

面图形M ' 上的射影分别是对应的△A '1A '2A '3、△A '1A '

3A '4、…、△A '1A 'i A '1+i 、…、△A '1A 'n A '1+n 由于平面M 与平面M '所成角为α，则△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4、…、△A 1A i A 1+i 、…、△A 1A n A 1+n 所在平面与△A '1A '2A '3、△A '1A '3A '4、…、△A '1A 'i A '1+i 、…、△A '1A 'n A '1+n 所在平面所成角均为α，现分别记△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4、…、△A 1A i A 1+i 、…、△A 1A n A 1+n 及△A '1A '2A '3、△A '1A '3A '4、…、△A '1A 'i A '1+i 、…、△A '1A 'n A '1+n 的面积为S 1 、S 2、…、S i 、…、S n 及 S '1、S '2、…、S 'i 、…、S 'n . 则有S '1= S 1con α 、S '2 = S 2 con α、…、 S 'i = S i con α、…、S 'n =

S n cos α .

当分点无限增加时, 则S 1 、S 2、…、S i 、…、S n 及S '1、S '2、…、S 'i 、…、

S 'n 的和就分别无限地接近凸曲边形M 的面积和射影平面图形M '的面积， 故有

S '=∞

→n lim ( S '1 +S '2 +…+S 'i +…+S 'n )

=∞

→n lim ( S 1cos α + S 2 cos α+…S i +cos α+…+S n cos α)

=∞

→n lim ( S 1 +S 2+…+S i +…+S n ) cos α

=S cos α.

20当平面图形M 是凸多边形时，则在凸多边形M 内取适当的点连结出不重叠的

三角形，仿上易证，故略 .

方法二：我们知道，在一

圆柱上作一斜截面可得一椭圆面， 如图3. 设圆柱oo 1的底面直径 A B '=2 b, 斜截面椭圆的长轴长 A B =2a, 椭圆面M '与圆柱底面 M 所成角为α，将椭圆周n+1等

分，设其分点分别为P '

1、P '

2、…

、P 'i 、P '1+i 、…、P 'n 、P '1+n , 在底 （图3）

面圆周上的 射影分别为P 1、P 2、…、P i 、P 1+i 、…、P n 、P 1+n ,分别连结点A 、P '1、

P '2；A 、 P '2、P '3；、…；A 、P 'i 、P '1+i ；…;A 、 P 'n 、P '1+n 及点A 、P 1、P 2；A 、

P 2、P 3；…；A 、P i 、P 1+i ；…; A 、P n 、 P 1+n 。设椭圆面的面积及圆柱底面面积分别为 S '、S ，因为圆柱底面面积S '=πb 2.且b =a cos α,则仿定理2可证 S=

α

cos '

S =π b 2b a =πab . 故椭圆的面积公式为 S=πab . （其中a 、b 分别是椭圆的

长半轴、短半轴的长）.

注：此法还适应于可展为平面图形的曲面图形与其射影平面图形间，当已知一

曲面图形形成的侧面母线与其射影平面图形所成定角的大小时，则可利用定理2由一已知图形面积求另一图形面积（如圆锥、圆台的侧面面积亦可由底面面积求得）.