2012年1月18日枫杨数学真题详解
2012高考福建理科数学精彩试题及问题详解(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是( )A ．x 0∈R ，0e 0x≤ B ．x ∈R ，2x＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．2111x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A ．14 B ．15 C ．16 D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )AB．．3 D ．59．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2 10．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1］上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11． (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________． 13．已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为________．14．数列{a n }的通项公式πcos12n n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________． 15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°． (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1．(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．19．如图，椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，π32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，圆C的参数方程为22c o s,2s i nxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123ma b c++=，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1． A 由z i＝1－i，得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----．2． B ∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3． D ∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1⇒ab＞1．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．5． C ∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．6． C∵由图象知阴影部分的面积是3122121211)d()32326x x x x=⋅-=-=⎰，∴所求概率为11616=．7． C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数， ∴D (x )不是周期函数是错误的．8． A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =2y x =±20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d == 9． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．10． D ①如图1，图1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x2－2|＝222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩P (如图3)．故②错．图2图3③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］， 1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］． 又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1， ∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1． ∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确．11．答案：2 解析：∵T r ＋1＝4C ra r x4－r，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a＝2．12．答案：－3解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3．13．答案：4-解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，2a ，故最大角的余弦值是2222cos 4θ===-． 14．答案：3 018 解析：∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝50311+1=503++个…；a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝503(12009)2--＝－503×1 005；a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝50311+1=503++个…；a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1009；故S 2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009 ＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018．15．答案：，0)解析：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0， 于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是314x =．故123(14m x x x =．设h (m )＝m (1，∵h ′(m )＝(1＋［m()］＝10<，∴函数h (m )单调递减． 故x 1x 2x 3的取值范围为，0)． 16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ， 则231()5010P A +==． (2)依题意得，X 1X 2的分布列为(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34． 方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2ααα－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2a，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a，1,0)．∵1AD ·1B E ＝2a-×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE ．此时DP ＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2a-，－a )． 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有2a－az 0＝0，解得012z =．又DP 平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ． ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD ＝(0,1,1)．设1AD 与n 所成的角为θ，则11·cos ||||a aAD AD θ--==n n ．∵二面角A －B1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos303a =， 解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2． 又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1． 所以b故椭圆E 的方程是22143x y +=． (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(14k x m --，3m)，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )， 由0MP MQ ⋅=，得211141612430kx k k x x m m m-+-+++=，整理，得(4x 1－4)k m＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1．故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m =此时P (0)，Q (4)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3m)，MQ ＝(3,4k ＋m )， 从而1212330k kMP MQ m m⋅=--++=， 故恒有MP MQ ⊥，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，所以a ＝0，即f (x )＝e x－e x ．此时f ′(x )＝e x－e ，由f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(－∞，1)时，有f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )＞0． 所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－e x0＋2a(x－x0)．(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0．故g(x)只有唯一零点x＝x0．由P的任意性，a≥0不合题意．(2)若a＜0，令h(x)＝e x－e x0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x＋2a．令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x′＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0，知g(x)在R上单调递增．所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*．②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0．又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝e x＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＜e x1＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，其中b＝－［e＋f′(x0)］，c＝e x1－f(x0)＋x0f′(x0)．由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax22＋bx2＋c＜0．所以g(x2)＜0．故g(x)在(x2，x1)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点．③若x0＜x*，仿②并利用3e6xx>，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由1x ay b'⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x axy bx y⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x axy bx y'=⎧⎨'=+⎩又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．依题意得222,22,a bb⎧+=⎨=⎩解得1,1,ab=⎧⎨=⎩或1,1,ab=-⎧⎨=⎩因为a＞0，所以1,1. ab=⎧⎨=⎩②由①知，1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A，21 0 1 0 1 01 1 1 12 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A，所以|A2|＝1，(A2)－1＝1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．(2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，3)，故直线OP 的平面直角坐标方程为3y x =．②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)，所以直线l 30y +-=．又圆C 的圆心坐标为(2，)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离32d r ==<，故直线l 与圆C 相交． (3)选修4－5：不等式选讲解：①因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m ＝1． ②由①知111123a b c++=，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(11123a b c++)≥29＝．。
2012考研数学真题(数一)(1)
1 a 0 0
1
设 A 0 0
1 0
a 1
0 , a
1
0
a
0
0
1
0
（I）计算行列式 A ； （II）当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解.
（21）（本题满分 11 分）
1 0 1
C1
ห้องสมุดไป่ตู้
C2
C3
C4
下列向量组线性相关的为（ ）
（A）1,2 ,3
（B） 1,2 ,4 （C）1,3 ,4
1
（D）2 ,3 ,4
新东方在线 [ ]考研数学网络课堂电子教材系列
考研数学
1 0 0
（6）设
A
为
3
阶矩阵，P
为
3
阶可逆矩阵，且
p1 AP
0
1
0
.若
P=（ 1 , 2
,3
），
0 0 2
Q (1 2, 2, 3 ) ，则 Q1AQ （ ）
1 0 0
（A）
0
2
0
0 0 1
1 0 0
（B）
0
1
0
0 0 2
（D）(1)n n!
（3）如果函数 f (x, y) 在 (0, 0) 处连续,那么下列命题正确的是（ ）
（A） 若极限 lim f (x, y) 存在,则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微 x0 x y
y0
（B）
若极限 lim x0
2012年陕西省数学中考试卷及答案（解析版）
2012陕西省中考数学试题及解析第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1．如果零上5 ℃记做+5 ℃，那么零下7 ℃可记作（℃可记作（ ）A ．-7 ℃B ．+7 ℃C ．+12 ℃D ．-12 ℃ 2．如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（．如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（ ）3．计算23)5(a -的结果是（的结果是（ ）A ．510a -B ．610aC ．525a -D ．625a4．某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（分）如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（ ）分数（分）分数（分）89 92 95 96 97 评委（位）评委（位） 1 2 2 1 1 A ．92分B ．93分C ．94分D ．95分5．如图，在BE AD ABC ,中，D 是两条中线，则=D D ABC ED EDC C S S :（ ）A ．1∶2 B ．2∶3 C ．1∶3 D ．1∶4 6．下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（．下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（ ）A ．（2．-3），（-4，6）B ．（-2，3），（4，6）C ．（-2，-3），（4，-6）D ．（2，3），（-4，6） 7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE AB ^，垂足为E ，若=130A D C а，则AOE Ð的大小为（的大小为（ ）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50° 8．在同一平面直角坐标系中，若一次函数533-=+-=x y x y 与图象交于点M ，则点M 的坐标为（的坐标为（ ）A ．（-1，4）B ．（-1，2）C ．（2，-1）D ．（2，1）9．如图，在半径为5的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB =CD =8，则OP 的长为（的长为（ ）A ．3 B ．4 C ．32D ．2410．在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（的最小值为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11．计算：()02cos 45-38+1-2=° ．12．分解因式：3223-2+=x y x y xy ．13．请从以下两个小题中任选一个．．．．作答，若多选，则按所选的第一题计分．分．A ．在平面内，将长度为4的线段AB 绕它的中点M ，按逆时针方向旋转30°，则线段AB 扫过的面积为扫过的面积为 ．B ．用科学计算器计算：7sin 69°» （精确到0.01）．14．小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买宏最多能买 瓶甲饮料．瓶甲饮料． 15．在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数=-2+6y x 的图象无．公共点，则这个反比例函数的表达式是这个反比例函数的表达式是 （只写出符合条件的一个即可）． 16．如图，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为路径的长为 ．三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程） 17．（本题满分5分）分）化简：22a b b a b a b a b a b --æö¸ç÷+-+èø-．18．（本题满分6分）分）如图，在ABCD 中，ABC Ð的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ． （1）求证：AB AF =； （2）当35AB BC ==，时，求AEAC的值．的值．某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如下图．从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如下图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题：请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图和扇形统计图；）补全条形统计图和扇形统计图； （2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？）该校学生最喜欢借阅哪类图书？（3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应地确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？20．（本题满分8分）分） 如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45°方向（点A B C 、、在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：sin 250.4226cos 250.9063tan 250.4663sin 650.9063°»°»°»°»，，，， cos 650.4226tan 65 2.1445°»°»，）科学研究发现，空气含氧量y （克/立方米）与海拔高度x （米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．立方米． （1）求出y 与x 的函数表达式；的函数表达式； （2）已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？22．（本题满分8分）分）小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局．，点数和大的获胜；点数和相同为平局． 依据上述规则，解答下列问题：依据上述规则，解答下列问题：（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；的概率；（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．个小圆点的立方块．点数和：点数和：两枚骰子朝上的点数之和．）23．（本题满分8分）分）如图，PA PB 、分别与O 相切于点A B 、，点M 在PB上，且//OM AP ，MN AP ^，垂足为N ． （1）求证：=OM AN ；（2）若O 的半径=3R ，=9PA ，求OM 的长．的长．24．（本题满分10分）分） 如果一条抛物线()2=++0y ax bx c a ¹与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是一定是 三角形；三角形； （2）若抛物线()2=-+>0y x bx b 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；的值；（3）如图，△OAB 是抛物线()2=-+''>0y x bxb 的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O C D 、、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．25．（本题满分12分）分）如图，正三角形ABC 的边长为3+3．（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E F 、在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''E F P N ，且使正方形''''E F P N 的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形''''E F P N 的边长；的边长； （3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE EF 、在边AB 上，点P N 、分别在边CB CA 、上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．参考答案参考答案1、【答案】A 【解析】通过题意我们可以联想到数轴，零摄氏度即原点，大于零摄氏度为正方向，数值为正数，【解析】通过题意我们可以联想到数轴，零摄氏度即原点，大于零摄氏度为正方向，数值为正数，小于零摄氏度为负数．故选A ．2、【答案】Ｃ【答案】Ｃ【解析】三视图主要考查学生们的空间想象能力，是近几年中考的必考点，从图中我们可以知道正【解析】三视图主要考查学生们的空间想象能力，是近几年中考的必考点，从图中我们可以知道正 面为三个正方形，（下面两个，上面一个），左视图即从左边观看，上边有一个正方形，下，左视图即从左边观看，上边有一个正方形，下 面两个正方体重叠，从而看到一个正方形，故选C ． 3、【答案】Ｄ【答案】Ｄ 【解析】本题主要考查了数的乘方以及幂的乘方，从整体看，外边是个平方，那么这个数肯定是正【解析】本题主要考查了数的乘方以及幂的乘方，从整体看，外边是个平方，那么这个数肯定是正数，排除A ，C ，然后看到5的平方，是25，3a 的平方是6a ，积为625a ，选D ．4、【答案】C 【解析】统计题目也是年年的必考题，注重学生们的实际应用能力，根据题目规则，去掉一个最高【解析】统计题目也是年年的必考题，注重学生们的实际应用能力，根据题目规则，去掉一个最高 分和一个最低分，也就是不算89分和97分，然后把其余数求平均数，得到94分．其实这分．其实这 种计算有个小技巧，我们看到都是90多分，所以我们只需计算其个位数的平均数，然后再多分，所以我们只需计算其个位数的平均数，然后再 加上90就可以快速算出结果．就可以快速算出结果．个位数平均数为个位数平均数为45)62522(=¸+´+´，所以其余这些数所以其余这些数 的平均数为94分．故选C ． 5、【答案】D 【解析】本题主要考查了三角形的中位线的性质，由题意可知，ED 为ABC D 的中位线，则面积比的中位线，则面积比 =D D ABCED EDCC SS:4:1)21()(22==AB ED，故选D ． 6、【答案】A 【解析】本题考查了一次函数的图象性质以及应用，本题考查了一次函数的图象性质以及应用，若干点在同一个正比例函数图像上，若干点在同一个正比例函数图像上，若干点在同一个正比例函数图像上，由由kx y =， 可知，y 与x 的比值是相等的，代进去求解，可知，A 为正确解．选A ． 7、【答案】B 【解析】本题考查了菱形的性质，本题考查了菱形的性质，我们知道菱形的对角线互相平分且垂直，我们知道菱形的对角线互相平分且垂直，我们知道菱形的对角线互相平分且垂直，外加外加OE AB ^，即可得即可得 出°=°´=д=Ð=Ð651302121ABC OBE AOE ．选B ．8、【答案】D 【解析】一次函数交点问题可以转化为二元一次方程组求解问题，解得x=2，y=1．选D ． 9、【答案】C 【解析】本题考查圆的弦与半径之间的边角关系，连接OB ，OD ，过O 作OH AB ^，交AB 于点H ．在OBH Rt D 中，由勾股定理可知，OH =3，同理可作AB OE ^，OE =3，且易证，且易证 O P H O P E D @D ，所以OP =23，选C ． 10、【答案】B 【解析】本题考查了抛物线的平移以及其图像的性质，由)2)(3(62+-=--=x x x x y ，可知其与，可知其与x 轴有两个交点，分别为()()30-20，，，．画图，数形结合，我们得到将抛物线向右平移2 个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．选B ． 11、【答案】-52+1 【解析】原式2=2-322+1=-52+12´´12、【答案】()2-xy x y【解析】()()2322322-2-2-x y x y xy xy x xy y xy x y +=+=13、A 【答案】23p 【解析】将长度为4的线段AB 绕它的中点M ，按逆时针方向旋转30°，则线段AB 扫过部分的形扫过部分的形状为半径为2，圆心角度数为30°的两个扇形，所以其面积为230222=3603p p ´´．B 【答案】2.47 14、【答案】3 【解析】设小宏能买x 瓶甲饮料，则买乙饮料()10-x 瓶．根据题意，得瓶．根据题意，得 ()7+410-50x x£ 解得133x £所以小宏最多能买3瓶甲饮料．瓶甲饮料．15、【答案】18=y x （只要=k y x 中的k 满足9>2k 即可）即可） 【解析】设这个反比例函数的表达式是=k y x()0k ¹．由==-2+6ky x y x ìïíïî，，得22-6+=0x x k ． 因为这个反比例函数与一次函数的图象没有交点，所以方程22-6+=0x x k 无解．无解．所以()2=-6-42=36-8<0k k D ´，解得9>2k ．16、【答案】41【解析】方法一：设这一束光与x 轴交与点C ，过点C 作x 轴的垂线CD ， 过点B 作BE x ^轴于点E ．根据反射的性质，知ACO BCE Ð=Ð． 所以Rt ACO Rt BCE D D ．所以=AOBECO CE ．已知=2AO ，=3BE ，+=4OC CE ，则23=4-CE CE． 所以12=5CE ，8=5CO ．由勾股定理，得2=415AC ，3=415BC ，所以=+=41AB AC BC ． 方法二：设设这一束光与x 轴交与点C ，作点B 关于x 轴的对称点'B ，过'B 作'B D y ^轴 于点D ．由反射的性质，知'A C B ，，这三点在同一条直线上．这三点在同一条直线上．再由对称的性质，知'=B C BC ． 则=+=''AB AC CB AC CB AB +=．由题意易知=5AD ，'=4B D ，由勾股定理，得'=41AB ．所以='=41AB AB ．17、【答案】解：原式=(2)()()()()2a b a b b a b a ba b a b a b ---++×+--=22222()(2)a ab ab b ab ba b a b --+---- =224()(2)a ab a b a b ---=2(2)()(2)a a b a b a b ---=2aa b-． 18、【答案】解：（1）如图，在ABCD 中，//AD BC ， ∴23Ð=Ð．∵BF 是ABC Ð的平分线，的平分线， ∴12Ð=Ð． ∴13Ð=Ð． ∴AB AF =．（2）23AEF CEB Ð=ÐÐ=Ð ，， ∴△AEF ∽△C E B ，∴35AE AF EC BC ==，∴38AE AC =． 19、【答案】解：（1）如图所示）如图所示一周内该校学生从图书馆借出各类图书数量情况统计图一周内该校学生从图书馆借出各类图书数量情况统计图（2）该学校学生最喜欢借阅漫画类图书．）该学校学生最喜欢借阅漫画类图书．（3）漫画类：600×600×40%=24040%=240（本），科普类：600×600×35%=21035%=210（本）， 文学类：600×600×10%=6010%=60（本），其它类：600×600×15%=9015%=90（本）．20、【答案】解：如图，作CD AB ^交AB 的延长线于点D ，则4565BCD ACD Ð=°Ð=°，．在Rt △ACD 和Rt △BCD 中，中， 设AC x =，则sin 65AD x =°， c o s 65B D C D x ==°． ∴100cos65sin 65x x +°=°． ∴∴100207sin 65cos 65x =»°-°（米）．∴湖心岛上的迎宾槐C 处与凉亭A 处之间距离约为207米．米．21、【答案】解：（1）设+y kx b =，则有299,2000235.b k b =ìí+=î解之，得4125299.k b ì=-ïíï=î， ∴4299125y x =-+． （2）当1200x =时，41200299260.6125y =-´+=（克/立方米）．∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米．立方米．22、【答案】解：（1）随机掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果如右表：）随机掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果如右表：右表中共有36种等可能结果，其中点数和种等可能结果，其中点数和 为2的结果只有一种．的结果只有一种． ∴P （点数和为2）= 136．（2）由右表可以看出，点数和大于7的结果的结果 有15种．种． ∴P （小轩胜小峰）= 1536=512． 23、【答案】解：（1）证明：如图，连接OA ，则OA AP ^． ∵MN AP ^， ∴//MN OA ．∵//OM AP ， ∴四边形ANMO 是矩形．是矩形． ∴=OM AN ．（2）连接OB ，则OB BP ^． ∵=OA MN ，=OA OB ，//OM AP ， ∴=OB MN ，=OMB NPM ÐÐ． ∴Rt OBM Rt MNP D @D ． ∴=OM MP ．设=OM x ，则=9-NP x ． 在Rt MNP D 中，有()222=3+9-x x ．∴=5x ．即=5OM ．24、【答案】解：（1）等腰）等腰（2）∵抛物线()2=-+>0y x bx b 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，∴该抛物线的顶点224b b æöç÷èø，满足2=24b b ()>0b ． ∴=2b ．（3）存在．）存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称，中心对称， 则四边形ABCD 为平行四边形．为平行四边形．当=OA OB 时，平行四边形ABCD 为矩形．为矩形． 又∵=AO AB ， ∴△O A B 为等边三角形．为等边三角形． 作AE OB ^，垂足为E ． ∴=AE 3OE ．∴()2''=3'>042b b b ×．骰子2 骰子1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴'=23b ．∴()33A ，，()230B ，．∴()-3-3C ，，()-230D ，．设过点O C D 、、三点的抛物线2=+y mx nx ，则，则12-23=03-3=-3.m n m n ìïíïî， 解之，得=1=2 3.m n ìïíïî，∴所求抛物线的表达式为2=+23y x x ．25、【答案】解：（1）如图①，正方形''''E F P N 即为所求．即为所求． （2）设正方形''''E F P N 的边长为x ．∵△ABC 为正三角形，为正三角形，∴3'='=3AE BF x ．∴23+=3+33x x ．∴9+33=23+3x ，即=33-3x ．（没有分母有理化也对，2.20x »也正确）也正确）（3）如图②，连接NE EP PN ，，，则=90NEP а． 设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m n 、()m n ³，它们的面积和为S ，则=2NE m ，=2PE n ． ∴()2222222=+=2+2=2+PN NE PE m n m n ． ∴2221=2S m n PN =+．延长PH 交ND 于点G ，则PG ND ^． 在Rt PGN D 中，()()22222=+=++-PN PG GN m n m n ．∵33+++=3+333m m n n ，即+=3m n．∴ⅰ）当()2-=0m n 时，即=m n 时，S 最小．最小． ∴219=3=22S ´最小． ⅱ）当()2-m n 最大时，S 最大．最大．即当m 最大且n 最小时，S 最大．最大．∵+=3m n ，由（2）知，=33-3m最大．∴()=3-=3-33-3=6-33n m最小最大． ∴()21=9+-2S m n éùëû最大最大最小()21=9+33-3-6+33=99-5432éùêúëû．。
2012年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2012年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．x=0是函数的A．可去问断点B．连续点C．无穷间断点D．跳跃间断点正确答案：A解析：因为即f(x)在x=0处极限存在但f(x)在x=0处无定义，所以x=0为可去间断点，所以选A。
2．设∫f(x)dx=ex+C，则不定积分∫f(x)exdx=A．2ex+CB．C．D．2e2x+C正确答案：C解析：由∫(x)dx=ex+C两边同时对x求导得f(x)=ex，把f(x)=ex代入∫f(x)exdx有，所以选C。
3．函数在点x=1处A．可导且f’(1)=2B．不可导C．不连续D．不能判定是否可导正确答案：A解析：由原式可得由此可知在x=1处f’(1)=2，所以选A。
4．设级数收敛于S，则级数收敛于A．SB．2SC．2S+u1D．2S一u1正确答案：D解析：设的前n项和为Tn，则Tn=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2(u1+u2+u3+…+un)一u1+un+1=2Sn一u1+un+15．微分方程的通解为A．ey+ex=CB．ey一ex=CC．e-y+ex=CD．e-y一ex=C正确答案：B解析：即ey 一ex=c，所以选B。
填空题6．设函数在x=0处连续，则a的值为_________．正确答案：一1解析：由连续充要条件得．即有；0=1+a 解得a=一17．设函数f(x)在点x0处可导，且f’(x0)=2，则的值为__________.正确答案：4解析：8．设函数f(x，y，z)=x2+y2+z2，则函数f(x，y，z)在点(1，1，一1)处的梯度gradf(1，1，一1)为___________．正确答案：2(i+j一k)解析：gradf(1，1，一1)={fx’(1，1，一1),fy’(1，1，一1)，fz’(1，1，一1)}={2，2，一2}或写成2(i+j一k)．9．设方程∫0xsintdt+∫0ye-tdt=xy确定函数y=y(x)，则=_________．正确答案：解析：公式法求：10．曲面z=x2+2y2一1在点(1，1，2)处的切平面方程为__________．正确答案：2x+4y—z一4=0解析：由题知法向量为n={zx’(1，1，2)，zy’(1，1，2)，一1)，即n={2，4，一1)，故在点(1，1，2)处法平面方程为：2(x一1)+4(y一1)一(2—2)=0，即2x+4y —z一4=0．综合题11．求极限正确答案：12．设参数方程正确答案：13．求函的单调区间和极值．正确答案：当时，f’(x)＞0，故函数f(x)在(一∞，0]和内单调增加，在内单调减少,函数f(x)在x=0取得极大值f(0)=0，在处取得极小值14．设函数，其中f具有二阶连续偏导数，求正确答案：15．计算定积分正确答案：16．计算二重积分，其中D是由圆与直线y=x及y轴所围成第一象限的区域．正确答案：17．将函数展开为(x一1)的幂级数，指出展开式成立的区间，并求级数正确答案：18．设函数，求函数f(x，y，z)的偏导数及在点(1,1，1)处的全微分df(1，1,1)正确答案：19．设L为取正向的圆周x2+y2=4，计算曲线积分正确答案：20．求微分方程y’’一y=3e2x满足初始条件y｜x=0=1，y’｜x=04的特解?正确答案：特征方程r2一1=0，r1,2=±1对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e-x，求出其一个特解为y*=e2x其通解为：y=C1ex+C2e-x+e2x解出C1=1，C2=一1满足初始条件的特解为y=ex一e-x+e2x证明题21．设曲线方程为y=1一x2，(1)求该曲线及其在点(1，0)和点(-1，0)处的法线所围成的平面图形的面积；(2)求上述平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．正确答案：y’=一2x由线在点(1，0)处的法线方程为曲线在点(一1，0)处的法线方程为(1)所求面积为(2)所求体积为22．设函数f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，证明：在(0，1)内至少存在点ξ，使得正确答案：令F(x)=x∫0xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0由Rolle定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=ξf(ξ)+∫0tf(t)dt=0即ξf(ξ)+｜f(x)dx=0。
2012年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷-答案
黑龙江省哈尔滨市2012年初中升学考试347=，故本选项错误；a a，故本选项正确；在△【解析】ABC【提示】根据锐角三角函数的定义得出【解析】圆心角⊥，OP AC，则O的半径为利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的【解析】平行四边形【解析】四边形∥AD BC∴∠=AGE∠=AED△在Rt ABE【提示】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得222(1)122x x x x x x x x x +++==+++31313cos30322222x ==⨯+=+=∴原式2=【解析】（1）如图①②，画一个即可；（2）如图③④，画一个即可.【解析】ABC∠+ABC ABD和△）12 a=-< 2bxa=-=-（2）根据题意知，喜欢C种套餐的学生有20090504020---=（名），补全图形如图所示；）全校有a ）2y x =+四边形ABCO 是平行四边形，如图，（2）如图，∠tan BAO=-+y xtan ODN∴∠3）如图，四边形BP=-4以OG为直径的圆经过点M，∠=BH BO BFH2OP=，∴=HO BO）BA AM ⊥MAN MAN =∠ANM PQ AB ⊥90ANM =︒，AQ MN =AN PQ ∴=，APM BPC ∠=∠AMB ∠+∠BC PQ PC ∴=，（角平分线的性质））2NP =，3PC =，∴AQ M N ==PAQ AMN ∠=∠tan ABC ∴∠，tan ABC ∠NE KC PEN PKC ENP KCP ∴∠=∠∠=∠∥，，又，PNE ∴△:2:3CK CF =，设2CK k =，则3CK k =(0)k ≠，2NE k ∴过N 作NT4，EF PM ⊥，EF NT NTC ∴∠=∠∥2，故CT PKC ∠+tan BDK ∴∠，tan BDK ∠37n n +==AB AC =DQ BQ ∴=。
2012版中考数学精品课件(含10 11真题)第18讲全等三角形(83张)
2012版中考数学复习指导
【解析】选B.A项中的条件可以利用SAS证明△ABD≌△ACD;
C项中的条件可以利用AAS证明△ABD≌△ACD;D项中的条件 可以利用ASA证明△ABD≌△ACD.
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全等三角形性质的应用
全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、 对应中线、对应高、对应角的平分线、周长、面积等之间的 等量关系. 全等三角形的性质常常对证明线段与线段、角与角的相等或 倍数关系起着“桥梁”的作用. 全等三角形的性质往往结合三角形全等的判定及四边形、圆 等图形的性质综合应用.
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探索三角形全等的条件
1.对三角形全等的判定条件的考查是近几年中考的热点和重
点，对一般的三角形的全等主要依据“SAS”、“ASA”、
“AAS”、“SSS”,其中直角三角形的判定条件除具备以上依
据以外还有特殊的判定条件,即“HL”定理.
2.在判定三角形全等时，首先分析相关图形的特点，再寻找 使其全等的对应边或对应角，最后根据对应相等的条件确定 全等依据：
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【思路点拨】
【自主解答】(1)BD=DC(或点D是线段BC的中点)， FD=ED，CF=BE中，任选一个即可. (2)证明:∵CF∥BE， ∴∠FCD=∠EBD.
又∵BD=DC，∠FDC=∠EDB，
∴△BDE≌△CDF.
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1.(2010·温州中考)如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过 点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形 共有( )
等三角形中最大边、最小边分别为对应边.
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奥数特训升学数学真题详解
枫杨外国语数学考试卷一、填空（每题4分，共40分）1、273用循环小数表示，小数点后第2012位上的数字是 。
2、有一个数，被3除余2，被4除余1，那么这个数除以12余 。
3、一个真分数的分子和分母相差102，若这个分数的分子和分母都加上23，所得的新分数约分后得41，这个真分数是 。
4、4时10分，时针和分针的夹角是 度。
5、从1开始2012个连续自然数的积的末尾有 个连续的零。
6、有两筐苹果，甲筐占总数的2011，如果从甲筐取出7.5千克放入乙筐，这时乙筐占总数的53，甲筐原来有 千克苹果。
7、一个三角形的三个内角之比为1：2：3，则这个三角形是 三角形。
8、蕾蕾读一本252页的书，已读的页数等于没读页数的221倍，蕾蕾读过 页。
9、2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球，买排球、足球、网球各1个的价钱可以买1个篮球，那么，买1个篮球的价钱可以买 个网球。
10、某班有60人，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子，其中有12人穿白色上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有 人？二、计算题（每题5分，共20分）1、0.125×7.37+81×3.63－12.5×0.12、1174×（232－43）＋1211÷21173、7131314268161674⎛⎫-+÷⨯ ⎪⎝⎭ 4、345345345345246123123123123⨯ 三、应用题（每题8分，共40分） 1、果果和妈妈一起去超市，买洗漱用品花了总钱数的51多100元，买小食品花了余下的31少20元，又买了一个600元的饮水机，正好花完所带的钱，果果的妈妈一共带了多少钱？2、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山的速度是各自上山速度的1.5倍。
而且甲比乙速度快，甲到达山顶时，乙离山顶180米，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰，那么山脚到山顶多少米？3、一项工作，甲、乙两人合作8天完成，乙、丙两人合作9天完成，丙、甲两人合作18天完成。
2012版中考数学精品教学课件(含10 11真题)第18讲全等三角形(83张)
【例2】(2011·内江中考)在 Rt△ABC中，∠CAB=90°， AC=2AB,点D是AC的中点，将一 块锐角是45°的直角三角板AED 如图放置，使三角形斜边的两个端点分别与A、D重合，连接 BE、EC.猜想BE与EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.
【思路点拨】
【自主解答】BE=EC,BE⊥EC.理由如下： ∵∠BAC=90°,∠EAD=45°,∴∠EAB=135°, 又∠EDA=45°,∴∠EDC=∠EAB=135°. 又∵AD=DCA, B 1 A,∴CAB=DC,
2
又∵AE=DE,∴△EAB≌△EDC, ∴BE=EC,∠AEB=∠DEC, ∴∠AEB+∠BED=∠DEC+∠BED=90°, 即BE⊥EC.
5.(2010·铜仁中考)如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则 DE的长是( )
(A)5
(B)4
(C)3
(D)2
【解析】选A.因为BE=4，AE=1，所以AB=5,又因为
【解析】选D.要证明△ABD≌△ACD，就要用到三角形全等的 判定方法，其中AD=AD是隐含条件，有条件A时，可用SSS 证两三角形全等；有条件B时，可用SAS证两三角形全等；有 条件C时，可用AAS证两三角形全等；而条件D不能判定两三 角形全等.
3.(2010·凉山中考)如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C， AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；ห้องสมุดไป่ตู้④△ACN≌△ABM.其中正确的有( )
AC DF
在△ABC与△DEF中， A D ，
A B D E
∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF.
角的平分线的性质的应用
河北省2012年中考数学真题试题(带解析)
2012年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试题解析本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共30分）2．计算3ab的结果是（）()A．3abＢ．3a bＣ．33a bＤ．3ab[答案] C[考点] 幂的相关运算：积的乘方[解析] 幂的运算法则中：()n n nab a b==，依此得333()ab a b解：333=，故选C.()ab a b3．图1中几何体的主视图是（）[答案[考点] 简单几何体的三视图：正视图[解析] 正视图是从正面看所得到的图形，从正面看所得到的图形. 解：正视看所得到的图形是A ，故选A. 4．下列各数中，为不等式组23040x x ->⎧⎨-<⎩解的是（ ）A ．1- Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．4 [答案] C[考点] 不等式：一元一次不等式组的解，[解析] 一元一次不等式组解，是使得不等式组中每一个不等式都成立的x 的值. 解：验证：1x =时，230x ->不成立，淘汰A ； 0x =时，230x ->不成立，淘汰B ； 4x =时，40x -<不成立，淘汰D ，故选C.5．如图2，CD 是O ⊙的直径，A B 是弦（不是直径），A B C D ⊥于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．AE BE > Ｂ．AD BC = B ．Ｃ．12D AEC =∠∠ Ｄ．A DE C B E △∽△[答案] D[考点] 圆：圆周角定理、垂径定理、同弧上圆周角与圆心角的关系；相似三角形的判定.[解析] 本题逐一排查费时，容易证明A D E C B E △∽△，直接证明即可. 解：在ADE CBE △和△中A CD B ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩（圆内同弧所对的圆周角相等）A D E CB E ∴△∽△（两个角对应相等的两个三角形相似），故选D. 6．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）Ａ．每2次必有1次正面向上 B ．可能有5次正面向上 C ．必有5次正面向上 D ．不可能有10次正面向上 [答案] B[考点] 概率：随机事件[解析] 掷一枚质地均匀的硬币是随机事件，因此A 、C 、D 都错误，故选D.7．如图3，点C 在AOB ∠的OB 边上，用尺规作出了C N O A ∥，作图痕迹中， FG 是（ ） A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧Ｂ．以点C 为圆心，D M 为半径弧 Ｃ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 Ｄ．以点E 为圆心，D M 为半径的弧 [答案] D[考点] 几何作图；全等三角形；平行线的性质.[解析] 如图作图痕迹 F G 使得E N D M =（以点E 为圆心，D M 为半径画弧），从而M O D N O E ∆≅∆，于是O N C E ∠=∠，保证了C N O A ∥，故选D.8．用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是（ ）A ．2(2)3x += Ｂ．2(2)3x -= Ｃ．2(2)5x -= Ｄ．2(2)5x += [答案] A[考点] 一元二次方程的解法[解析] 一元二次方程的解法有：直接开方法，配方法，因式分解法，公式法，本题要求使用配方法，但作为选择题，还可以把各选项整理还原对比得出正确的选项. 解：观察符号对比，排除B 、C ，在A 、D 对比常数项可知道正确选项是A.9．如图4，在A B C D 中，70A ∠=︒，将ABC D 折叠，使点D C 、分别落在点F 、E处（点,F E 都在A B 所在的直线上），折痕为MN ，则A M F ∠等于（ ）A ．70Ｂ．40Ｃ．30Ｄ．20[答案] B[考点] 平行四边形的性质，折叠对称，平行线性质，平角的意义 [解析] 依题意，图中有A B C D F E M N ∥∥∥， 所以70A D M N F M N ∠=∠=∠=︒，再由平角意义得：18027040A M F =︒-⨯︒=︒∠， 故选B. 10．化简22111x x ÷--的结果是（ ）A ．21x - Ｂ．321x - Ｃ．21x + Ｄ．2(1)x +[答案] C[考点] 分式的运算，平方差公式 [解析]22122(1)11(1)(1)1x x x x x x ÷=⋅-=--+-+，故选C.11．如图5，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a ，b ()a b >，则()a b -等于（ ）A ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．4 [答案] A[考点] 正方形面积[解析] 考虑到用C 表示非阴影部分的面积，于是有：169a c b c +=⎧⎨+=⎩，两式相减就得()7a b -=，故选A. 12．如图6，抛物线21(2)3y a x =+-与221(3)12y x =-+交于点(13)A ，，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B C ，．则以下结论： ①无论x 取何值，2y 的值总是正数． ②1a =．③当0x =时，214y y -=． ④23A B A C =． 其中正确结论是（ ）A ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④ [答案] D[考点] 二次函数：图象的性质，点的坐标与方程的关系[解析] 本题勿须逐一对所给出的命题讨论其正确性，注意运用选择题的结构特点，用排除法容易得出正确选项. 解：221(3)12y x =-+ 开口向上，且与x 轴无交点，所以无论x 取何值，2y 的值总是正数，即①是正确的，从而排除B 、C.又，点()13A ，是1y 、2y 的交点，即点()13A ，在21(2)3y a x =+-上223(12)313a a ∴=+-⇒=≠，从而排除A ，故选D.卷Ⅱ（非选择题，共9 0分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13．5-的相反数是 ． [答案] 5[考点] 有理数的意义：相反数[解析] 求一个数或代数式的相反数的方法：在这个数或代数式的前面添上“-”化简即可. 解：(5)5--= ，5- 的相反数是5.14．如图7，AB C D ，相交于点O ，A C C D ⊥于点C ，若B O D∠=38，则A ∠等于 ．[答案] 52︒[考点] 对顶角相等，直角三角形两锐角互余[解析] 观察图形得知B O D ∠与A O C ∠是对顶角，A O CB O D ∴∠︒=∠=38，又在Rt AC O ∆中，两锐角互余，52A ∴∠︒︒=︒=90-3815．已知1y x =-，则2()()1x y y x -+-+的值为 ． [答案] 1[考点] 代数化简求值，整体代入思想[解析] 观察两式共有()x y -，将其看为一个整体，本题可轻松得解.解：11y x x y =-⇒-=，22()()1()()1111x y y x x y x y ∴-+-+=---+=-+ 16．在12⨯的正方形网格格点上放三枚棋子，按图8所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 ． [答案] 34[考点] 概率：用概率公式计算简单事件发生的概率[解析] 12⨯的正方形网格格点共有六个，已经放置好两枚棋子，第三枚棋子所在的格点可以有4个，能使这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的格点可以有3个，根据概率公式可得所求概率为：34.17．某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报1(1)1+，第2位同学报1(1)2+，第3位同学报1(1)3+…这样得到的20个数的积为 ．[答案] 21[考点] 分类归纳：数字规律，分数运算[解析] 把每位同学依次报的数相加后规律呈现，运算得出结果. 解：111123421(1)(1)(1)(1)211232012320++++=⨯⨯⨯⨯=18．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图91-，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图92-，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 ．[答案] 6[考点] 正n 边形内角和定理：(2)180n -⨯︒，周角定义. [解析] 观察到相邻的两个正多边形有一条公共边，围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角与外面正多边形的两个内角必形成一个周角，不难求得n 的值为6. 解：验证图9-1，正八边形的一个内角821801358-=⨯︒=︒，围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角360213590=︒-⨯︒=︒，2180904n n n-⨯︒=︒⇒=，所以用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形.由此可得：正六边形的一个内角621801206-=⨯︒=︒，围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角3602120120=︒-⨯︒=︒，21801206n n n-⨯︒=︒⇒=，所以用6个全等的正六边形按这种方式拼接，围成一圈后中间形成一个正六边形.三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分8分）计算：021153)6()(1)32--+⨯-+-．[答案] 4[考点] 实数混合运算：绝对值；零指数幂；运算分配律；幂的乘方[解析] 分别计算：负数的绝对值是它的相反数5(5)5⇒-=--=；任何非零数的零次方都等于103)1⇒=；运用乘法分配律11116()662313232⇒⨯-=⨯-⨯=-=-；负数的偶数次方为正数；1的任何数次方都为122(1)11⇒-==，再把各结果合并即可. 解：原式51(23)14=-+-+=20．（本小题满分8分）如图10，某市A B ，两地之间有两条公路，一条是市区公路A B ，另一条是外环公路A D D C C B --.这两条公路转成等腰梯形ABCD ，其中D C AB AB AD D C ∥，::=10:5:2.（1） 求外环公路总长和市区公路长的比；（2） 某人驾车从A 地出发，沿市区公路去B 地，平均速度是40km/h ，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h ，结果比去时少用了110h ，求市区公路的长.[答案]（1）65∶；（2）10km . [考点] 等腰梯形及周长，行程运用题.[解析]（1）由105AB AD DC =::::2，可设10A B x =、则5A D x =、2D C x =，又，等腰梯形A B C D ，D C AB ∥，所以，外环公路总长和市区公路长的比是：()(525)1065AD DC CB AB x x x x ++=++=∶∶∶（2）由（1）可设外环公路总长为6s ，则市区公路长为5s ，依题意得方程：6124080105s s s-=⇒=，所以，市区公路长为510()s km =21．（本小题满分8分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．（1）a =___________,x 乙=__________； （2）请完成图11中表示乙成绩变化情况的折线；（3）①观察图11，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）.参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断.②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．[答案] （1）4，6（2）略（3）①乙，26S =乙②乙.[考点] 统计：折线统计图，算术平均数，方差 [解析] 用统计表分析数据；比较数据：从平均成绩分析，可得谁的成绩好些，分析数据的方差，可得谁的成绩稳定些解：（1）由统计表得甲、乙的总成绩分别是：30、26a +，因为两人的总成绩相同，4a ∴=，3065x ==乙；（2）完成乙的折线统计图，如图所示；（3）①观察图11，可看出 乙 的成绩比较稳定；参照小宇的计算方法，得：2222221[(76)(56)(76)(46)(76)]5s =-+-+-+-+-乙 18(11141) 1.655=++++==②6x x == 乙甲，所以甲乙的平均水平一样，但由于22S S <乙甲，所以乙的成绩稳定，上述判断正确，乙将被选中.22．（本小题满分8分）如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)m y x x=>的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点.（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ；（3）对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. [答案]（1）2(0)y x x=>；（2）略；（3）233P x <<.[考点] 平行四边形的性质；反比例函数；一次函数；点的坐标与函数解析式的关系. [解析] （1）求反比例函数的解析式，只需确定图象上一个点的坐；（2）图象一定过点即点的坐标是解析式的解；（3）一次函数y 随x 的增大而增大，即0k >. 解：（1） 四边形A B C D 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，， 2A D B C ∴=∥，且B C x ⊥轴， A D x ∴⊥轴，(1,2)D ∴且在(0)122m y x m xy x=>⇒==⨯=上∴反比例函数的解析式为2(0)y x x=>（2）33(0)y kx k k =+-≠ 在中，当3x =时，3333(0)y k k k =⋅+-=≠ ∴一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C（3） 一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y 随x 的增大而增大时，0k >，如图，只有P 在2y x=的 EF时满足条件，P ∴横坐标的取值范围是：233P x <<.23．（本小题满分9分）如图131-，点E 是线段BC 的中点，分别以B C ，为直角顶点的EAB EDC △和△均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．（1）AE ED 和的数量关系为___________，AE ED 和的位置关系为___________；（2）在图131-中，以点E 为位似中心，作E G F △与EAB△位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接G H H D ，，分别得到了图132-和图133-；①在图132-中，点F 在B E 上，EGF EAB △与△的相似比是1:2，H 是EC 的中点. 求证：.G H H D G H H D =⊥，②在图133-中，点F 在B E 的延长线上，EGF EAB △与△的相似比是k :1，若2BC =，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH HD GH HD =⊥且（用含k 的代数式表示）． [答案]（1）AE ED =、A E E D ⊥；（2）①略；②C H k =.[考点] 三角形：等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定的性质，相似三角形的性质. [解析]（1）如图131-， 点E 是线段B C 的中点，B E C E ∴=，又EAB EDC △和△均是等腰直角三角形，45A E B D E C ∴∠=∠=︒，B C R t ∴∠=∠=∠，于是()E A B E D CA SA ≅△△，AE ED ∴=、A E E D ⊥；（2）①在图132-中，通过证明()G FH H C DSAS ≅△△，即可得G H H D G H H D =⊥，；②在图133-中，E GF △与E A B △的相似比是k :1，又2B C =，1AB BE ∴==，E FG F CH k ∴===时，恰好使得GH HD GH HD =⊥且.24．（本小题满分9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm ）在5~50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：2cm ）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据．（1） 求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2） 已知出厂一张边长为40cm 的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价-成本价）.① 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式； ② 当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24()24bac ba a--，.解：依题意，设2y ax =成本价，(550)y kx b x =+<<出厂价，则y y y =-利润出厂价成本价 （1）在(550)y kx b x =+<<出厂价中，20x =时，50y =；30x =时，70y =20502307010k b k k b b +==⎧⎧∴⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩210(550)y x x =+<<出厂价 （2）y y y =+利润出厂价成本价2210x ax =+-，且40x =时，26y =2124010402625125a a a ∴⨯+-⋅=⇒=⇒=2121025y x x ∴=-++利润（3）在2121025y x x =-++利润中，由参考公式，1252252()x =-=⨯-，且52550<<所以，出厂一张边长为25cm 的薄板获得的利润最大，最大利润是 2125225102550103525y =-⨯+⨯+=-++=最大利润（元）.25．（本小题满分10分）如图14，(50)(30).A B --，，，点C 在y 轴的正半轴上，CBO∠=45，C D A B ∥，90CDA = ∠.点P 从点(40)Q ，出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒.（1） 求点C 的坐标；（2） 当15BCP = ∠时，求t 的值；（3） 以点P 为圆心，PC 为半径的P ⊙随点P的运动而变化，当P ⊙与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．[答案]（1）(0,3)C ；（2）4+；（3）1，或4，或5.6.[考点] 直角坐标系，直角三角形性质，特殊角有三角函数值，勾股定理，动点行程问题，圆的切线性质.[解析]（1）如图，C B O ︒ ∠=45，C B O ∴∆是直角三角形，故3C O B O ==，即(0,3)C ；（2）1530B C P P C O =︒⇒=︒∠∠，在PCO ∆中，tan O P O C PC O =⋅∠=41Q O O Pt +∴==+（3） 以点P 为圆心，P C 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，P ⊙与四边形A B C D 的边相切，有三种情况：①P ⊙与B C 边相切时，C 是切点，如图14(3)1-，此时，P C B C ⊥，C BO ︒ ∠=45，3PO BO C O ∴===431QP OQ OP ∴=-=-=，11Q P t ∴==②P ⊙与D C 边相切时，C 是切点，如图14(3)2-，此时，PC OC 与重合，4QP ∴=，41Q P t ∴==③P ⊙与A D 边相切时，A 是切点，如图14(3)3-，此时，P A P C =，设P O x =，则在R t P O C ∆中，由勾股定理得：222PC PO CO -=，22(5)95(52)9 1.6x x x x --=⇒-=⇒=4 1.6 5.6QP QO OP ∴=+=+=， 5.61Q P t ∴==综上所述，满足条件的t 值共有三个，即，1，或4，或5.6.26．（本小题满分12分）如图151-和图152-，在A B C △中，13A B =，514cos .13B C A B C ==，∠探究 如图151-，AH BC ⊥于点H ，则AH =_______，AC =_______， A B C △的面积A B C S △=___________．拓展 如图152-，点D 在AC 上（可与点A C ，重合），分别过点A C ，作直线B D 的垂线，垂足为E F ，.设B D x =，.A E m C F n ==，（当点D 与点A 重合时，我们认为A B C S △=0.（1）用含x m ，或n 的代数式表示ABD S △及C B D S △；（2）求()m n +与x 的函数关系式，并求()m n +的最大值和最小值．（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围.发现 请你确定一条直线，使得A B C ，，三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.[答案] 探究12；15；84.（2）[考点] 解直角三角形，特殊角有三角函数值，三角形面积，动点，勾股定理。
2012年中考数学试题及答案
2012年湖南省张家界市中考数学试卷2012年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）2．（2009•江苏）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）4．（2012•张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）5．（2012•张家界）某农户一年的总收入为50000元，如图是这个农户收入的扇形统计图，则该农户的经济作物收入为（）6．（2012•张家界）实数a、b在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（）8．（2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（2011•随州）分解因式：8a2﹣2=_________．10．（2009•重庆）已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为_________．11．（2012•张家界）一组数据是4、x、5、10、11共有五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是_________．12．（2012•张家界）2012年5月底，三峡电站三十二台机组全部投产发电，三峡工程圆满实现2250万千瓦的设计发电能力．据此，三峡电站每天能发电约540000000度，用科学记数法表示应为_________度．13．（2012•张家界）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=_________．14．（2012•张家界）已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为_________．15．（2012•张家界）已知，则x+y=_________．16．（2012•张家界）已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_________．三、解答题（共9小题，满分72分）17．（2012•张家界）计算：．18．（2012•张家界）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．19．（2012•张家界）先化简：，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．20．（2012•张家界）第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开，设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选中的机会均等．（1）请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；（2）求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；（3）求张家界会展区被选中的概率．21．（2012•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据≈1.414，）（2）求∠ACD的余弦值．22．（2012•张家界）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？23．（2012•张家界）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad﹣bc．例如：=1×4﹣2×3=﹣2，=（﹣2）×5﹣4×3=﹣22．（1）按照这个规定，请你计算的值；（2）按照这个规定，请你计算：当x2﹣4x+4=0时，的值．24．（2012•张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A、C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．25．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．2012年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）2．（2009•江苏）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）4．（2012•张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）5．（2012•张家界）某农户一年的总收入为50000元，如图是这个农户收入的扇形统计图，则该农户的经济作物收入为（）6．（2012•张家界）实数a、b在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（）BDBD HG=8．（2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）y=过二、四象限；二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（2011•随州）分解因式：8a2﹣2=2（2a+1）（2a﹣1）．10．（2009•重庆）已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为2：5．（11．（2012•张家界）一组数据是4、x、5、10、11共有五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是5．12．（2012•张家界）2012年5月底，三峡电站三十二台机组全部投产发电，三峡工程圆满实现2250万千瓦的设计发电能力．据此，三峡电站每天能发电约540000000度，用科学记数法表示应为 5.4×108度．13．（2012•张家界）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=﹣．，n===，=，∴+==故答案为﹣．14．（2012•张家界）已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为50πcm2．=15．（2012•张家界）已知，则x+y=1．解：∵∴，16．（2012•张家界）已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为2．三、解答题（共9小题，满分72分）17．（2012•张家界）计算：．×+18．（2012•张家界）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．19．（2012•张家界）先化简：，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．×+120．（2012•张家界）第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开，设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选中的机会均等．（1）请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；（2）求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；（3）求张家界会展区被选中的概率．；=．21．（2012•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据≈1.414，）（2）求∠ACD的余弦值．AC=15==12=AB+BC+CD+DA=30+3+12≈ACD==…22．（2012•张家界）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？23．（2012•张家界）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad﹣bc．例如：=1×4﹣2×3=﹣2，=（﹣2）×5﹣4×3=﹣22．（1）按照这个规定，请你计算的值；（2）按照这个规定，请你计算：当x2﹣4x+4=0时，的值．）根据符号的意义得到=∴=324．（2012•张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A、C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．的中点，得到两条弧相等，根据OA=OB=OC=AB=2∠25．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．+﹣=2（﹣，222x+22OA=2OD=OA=2点的横坐标为，纵坐标为（y=，∴．AQ=t AQ=2﹣•﹣t﹣）；依题意，得t=2时，有最大值为参与本试卷答题和审题的老师有：sjzx；gsls；ZJX；CJX；zcx；gbl210；sks；lf2-9；137-hui；MMCH；王岑；mmll852；Linaliu。
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2012年1月18号枫杨外国语考试题详解
一、填空（每题4分，共40分）
1、273用循环小数表示，小数点后第2012位上的数字是 。
解析：杂题（周期问题）
因为73=0.428571428571………… 6个一组循环 20126=335……2 第二个数字是2.
答案：2
2、有一个数，被3除余2，被4除余1，那么这个数除以12余 。
解析：数论问题
A3=m……2 等价于A3=（m-1）+5
A4=n……1 等价于 A4=（n-1）+5
所以A的最小值：A=3×4+5=17 1712=1……5
答案：5
3、一个真分数的分子和分母相差102，若这个分数的分子和分母都加上23，所得的新分数约分后得41，
这个真分数是 。
解析：数论问题
由于分子分母都加上23，所以它们的差不变，仍然是102.此时分母是分子的4倍。所以此时分子为102
（4-1）=34 原来分子为：34-23=11 原来分母为：11+102=113
答案：113
4、4时10分，时针和分针的夹角是 度。
解析：行程问题（时钟问题）
这道题考查的是时钟问题。关键在找到时针和分针的速度。
分针速度：36060=6（度/分钟） 时针速度：3601260=0.5（度/分钟）
从四点整开始考虑，分钟和时针都走了10分钟。四点整的时候分针时针相差：
4×30=120（度） 120-(6-0.5) ×10=65(度)
答案：65（度）
5、从1开始2012个连续自然数的积的末尾有 个连续的零。
解析：数论问题
这道题考查数论中的因式分解。关键是考虑0是怎样出现的。因为10=2×5, 也就是说只要有一个2和一
个5就会出现一个0.显然从1开始2012个连续自然数中含因数2的数远多于含因数5数。因此只需要考
虑因数5的个数就可以了。这样我们需要考虑5的倍数，在2012以内，总共有20125=402…2，所以有402
个因数5。但是此时我们仍然需要考虑诸如25=5*5.可以提供2个5.而在2012以内，25的倍数有：
201225=80…12。所以又带来80个5.同样，我们考虑到125=5*5*5其中有3个5.在2102以内有
2012125=16…12.又带来16个5.还有625=5*5*5*5.在2012以内，有2012625=3…137。又带来3个5. 所
以5的个数一共有：402+80+16+3=501（个）
答案：501
6、有两筐苹果，甲筐占总数的2011，如果从甲筐取出7.5千克放入乙筐，这时乙筐占总数的53，甲筐原来
有 千克苹果。
解析：分数应用题 关键在于找不变量。
乙筐原来占总数：1-2011=209 7.5（53-209）=50（千克） 50×2011=27.5（千克）
答案：27.5
7、一个三角形的三个内角之比为1：2：3，则这个三角形是 三角形。
解析：比和比例
180（1+2+3）×3=90(度)
答案：直角
8、蕾蕾读一本252页的书，已读的页数等于还没有读过页数的221倍，蕾蕾读过 页。
解析：分数应用题，和倍问题
没有读过的：252（1+221）=72（页） 读过的：252-72=180（页）
答案：180
9、2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球，买排球、足球、网球各1个的价钱
可以买1个篮球，那么，买1个篮球的价钱可以买 个网球。
解析：应用题
2个篮球=6个排球 3个篮球=6个足球 1个篮球=1个排球+1个足球+1个网球
6个篮球=6个排球+6个足球+6个网球 即：6个篮球=2个篮球+3个篮球+6个网球
所以：1个篮球=6个网球
答案：6
10、某班有60人，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子，其中有12人穿白色上衣蓝裤子，有34
人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有 人？
解析：计数问题（容斥原理）
解法一：有34人穿黑裤子，那么穿蓝裤子的有60-34=26人，有12人穿白上衣蓝裤子，说明还有26-12=14
人是穿黑上衣蓝裤子，有29人穿黑上衣，那么，有29-14=15人穿黑上衣黑裤子。
解法二：34人穿黑裤子中，则穿白色或黑色上衣。29人穿黑上衣，则穿黑色或蓝色裤子。再加上12人穿
白色上衣蓝裤子，则比总人数多加了穿黑上衣黑裤子的人数。所以穿黑上衣黑裤子的人数为：（12+34+29）
-60=15（人）
答案：15
二、计算题（每题5分，共20分）
1、0.125×7.37+81×3.63－12.5×0.1 2、1174×（232－43）＋1211÷2117
0.1257.373.63100.125
276171721)12114338(1721
3、7131314268161674 4、345345345345246123123123123
3913161
26816137416132740.5
345246123690
三、应用题（每题8分，共40分）
1、果果和妈妈一起去超市，买洗漱用品花了总钱数的51多100元，买小食品花了余下的31少20元，又买
了一个600元的饮水机，正好花完所带的钱，果果妈妈一共带了多少钱？
解析：分数应用题
（600-20）)311(=870（元） （870+100）)511(=1212.5（元）
答案：果果妈妈一共带了1212.5元。
2、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山的速度是各自上山速度的
1.5倍。而且甲比乙速度快，甲到达山顶时，乙离山顶180米，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰，那
么山脚到山顶多少米？
解析:行程问题
在乙到达山顶走180米这段时间内，甲恰好下到半山腰，因为甲下山的速度是上山速度的1.5倍，所以
当甲下山走了一半就相当于又向上走了山高的13（在相同的时间内，路程比等于速度比），故当甲走到山
顶的时候，乙走了1803=540米，此时还距离山顶180米，所以从山脚到山顶是540+180=720米.
答案：山脚到山顶一共720米。
3、一项工作，甲、乙两人合作8天完成，乙、丙两人合作9天完成。丙、甲两人合作18天完成，那么丙
一个人来做，完成这项工作需要多少天？
解析：工程问题
设工程总量为'1",
甲功效+乙功效=18，
乙功效+丙功效=19，
丙功效+甲功效=118，
三个式子相加为 甲功效+乙功效+丙功效=748，
故丙的功效为148，所以丙一个人来做，完成这项工作需要48天.
答案：丙单独完成这项工程需要48天。
4、有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖就占25%，那么，这堆果糖中有奶糖多少
块?
解析：分数应用题
原来奶糖：水果糖=45:55=9:11，
现在为奶糖：水果糖=25:75=1:3，
奶糖没有变化，故把份数化为一样，
原来奶糖：水果糖=9:11，
现在为奶糖：水果糖=9:27，
水果糖增加16份，水果糖又是增加16块， 所以1份是一块，
所以奶糖的9块。
答案：这堆果糖中奶糖有9块。
5、如图，求阴影部分的周长是多少厘米？
30厘米
30 度
解析：几何求曲线周长
阴影部分的周长为两个圆弧加上直一条直径，
2152+23030360+30
=20π+30
=92.8
（厘米）
答案：阴影部分的周长是92.8厘米.
附加题（10分） 甲、乙两人同时从A地出发，在直道A、B两地往返跑步，甲每分钟72米，乙每分钟48
米，甲乙第二次迎面相遇与甲第二次从后面追上乙的两地相距80米，求A、B两地相距多少米？
解析：行程问题（多次相遇和追及问题）
第二次甲追上乙的地点第一次相遇地点第二次相遇地点
BA
甲和乙的速度之比为72:48=3:2故相同的时间内甲的路程和乙的路程比试3:2.
如果总路程有5格，第一次迎面相遇，两人加在一起走了2个全程，总共走10格，甲走6格，乙走4格。
第二次迎面相遇两人加在一起一共走了4个全程，一共20格。甲走12格，乙走8格，相遇地点如图所示。
而当甲第一次追上乙，要比乙多走10格，故第一追上乙，甲需要走30格才能追上乙，第二次追上乙还需
要再走30格，第二次追上乙的地点如图所示，故甲乙第二次迎面相遇与甲第二次从后面追上乙的两地相
距为两格，所以1格距离为：802=40米，故A、B两地相距40*5=200米.
答案：200（米）