邱关源—电路—教学大纲—第十八章

均匀传输线方程
−
∂i ∂ = G0 u + C 0 u ∂x ∂t ∂u ∂ − = R0 i + L0 i ∂t ∂x
（2-1） （2-2）
公式（2-1）和（2-2）是均匀传输线方程，是本章今后学习的基础。
第三节 均匀传输显的正弦稳态解
一、传输线任意一点电压和电流的解
在正弦稳态情况下， 传输线沿线任意一点的电压和电流时时间的正弦函数， 同时由于分布性， 电压和电流又是距离的函数，因此沿线任意一点的电压和电流均可表示为
3-6）
（3-7）
注意在上述两个方程中变量 x 为到传输线首端的距离，是本章后面学习的基础，也是今后 很多涉及分布参数电路应用中的重点，应牢记。
三、
以传输线末端电压和电流表示传输线任意一点的电压和电流
同样利用传输线末端的电压 U 2 和电流 I 2 为已知量， 也可以表示传输线任意一点的电压和电 流的关系式。
（3-8）
（3-9）
将 l − x 用 x 代替，此时 x 表示到传输线末端的距离。
U= I=
上式可以简化为
（3-10）
（3-11）
U = U 2 cosh(γx) + Z C I 2 sinh(γx) I = I 2 cosh(γx) + U2 sinh(γx) ZC
（3-12）
（3-13）
（3-12）和（3-13）与（3-6）和（3-7）同样重要，也是本章后面学习的基础，是今后很多 涉及分布参数电路应用中的重点，应牢记
l = 1500m 。信号沿线传播过程中传输线首末端电压相位相差不多可以忽略。因此可以将传
输线当作集中参数电路处理。 即用一个或几个电阻电感和电容等效传输线， 已进行电路分析。 1.5m 的输电线， f =50MHz， λ =
v 3 × 10 8 λ = = 6m ， l = ，信号沿线传播过程中传 6 f 50 × 10 4
a i
R0dx L0dx + u −
i+
b C0dx c
∂i dx ∂x
G0dx
+ ∂u u + dx − ∂x
d dx
u − (u +
∂u ∂i ∂ ∂i dx) = R0 (i + dx)dx + L0 (i + dx)dx ∂x ∂x ∂t ∂x ∂u ∂ − dx = R0 idx + L0 idx ∂x ∂t ∂u ∂ − = R0 i + L0 i ∂x ∂t
一、
分布参数的概念
当实际电路的尺寸与工作波长相接近时，必须采用分布参数的电路。如：通信线路，远距离 高压输电线路。
+ u1 1500m u2
+ -
图1
传输线
l = 1500m
如图 1 所示。当 f =50 Hz， λ =
λ 1500 v 3 × 10 8 = = 6000 km ， l = λ= ， 3 4000 f 50 6000 × 10
ωt − βx + ψ + = ω (t + ∆t ) − β ( x + ∆x) + ψ +
ω∆t = β∆x
由于 ∆t > 0 ，所以 ∆x > 0 ，这说明在 ∆t > 0 时间内具有相同相位的电压在传输线方向上相 差 ∆x > 0 的距离。即电压是向前行进的，称 u 为入射波、直波或正向行波。 波的传播速度为
上述方程的通解为
U = A1e −γx + A2 e γx I = B1e −γx + B2 e γx
根据方程 −
（3-1） （3-2）
dU = Z0I 得 dx I =− 1 dU 1 =− (− A1γe −γx + A2γe γx ) Z 0 dx Z0
=−
1 − A1 Z 0Y0 e −γx + A2 Z 0Y0 e γx Z0 e −γx − A2 Z0 Y0
2π
β
（3-21）
n=
U − I − U 2 − Z C I 2 − 2 γx ' Z 2 − Z C − 2 γx ' e e = = = Z2 + ZC U + I + U 2 + ZC I 2
（3-22）
n 反映反射波与入射波之间的幅值与相位之间的差异。 终端阻抗与传输线阻抗匹配： Z 2 = Z C ， n = 0 ；不存在反射。 反射系数与传输线终端的距离有关。 x = 0 ，反射系数用 n 2 表示。
（三）教学思路
1、根据电磁波传播理论提出分布参数电路概念。 2、利用分布参数的概念推导传输线方程。 3、应用相量法推导正弦稳态时传输线沿线电压和电流表达式，定义特性阻抗和 传播常数。 4、根据正弦稳态时沿线电压和电流表达式定义正向行波、反向行波和反射系数 等概念。
（四）教学内容和要点
第一节 分布参数电路
与电压性波一样， 只是由于电流的反向行波与电流的参考方向不同， 所以电流性波叠加时相 减。 3 波长、相位常数和相速之间的关系 在同一时间，相位相差 2π 的两点之间的距离称为波长。
ωt − β ( x + λ ) + ψ + = ωt − βx + ψ + − 2π
− βλ = −2π
λ=
4 反射系数
+ −
（3-18）
1 正向行波
u + = 2U 0 e −αx cos(ωt − βx + ψ + )
+
上面电压大小是随时间按指数规律正弦振荡衰减变化。 对于电压来说即有大小又有相位。 如 果 α = 0 ，则电压为沿线负固定的正弦电压。 令时间变化为 ∆t > 0 ，观察具有相同相位的两电压瞬时旨在传输线上的位置
u ( x, t ) = Re[ 2U ( x)e jωt ] i ( x, t ) = Re[ 2 I ( x)e jωt ]
因此均匀传输线方程可以表示为
−
dU = R0 I + jωL0 I = ( R0 + jωL0 )U = Z 0 I dx
−
方程变换
dI = G0U + jωC 0U = (G0 + jωC 0 )U = Y0U dx
−
d 2U dI = Z0 = Z 0 (−Y0U ) 2 dx dx d 2U = Z 0Y0U dx 2 d 2I dU = Y0 = Y0 Z 0 I 2 dx dx
令 α + jβ =
Z 0Y0 =
(R0 + jωL0 )(G0 + jωC 0 )
d 2U = γ 2U dx 2 d 2I = γ 2I 2 dx
(
)
=
A1 Z0 Y0
e γx = B1e −γx + B2 e γx
令 ZC =
Z0 Y0 I= A1 −γx A2 γx e − e = B1e −γx + B2 e γx ZC ZC
（3-3）
方程（3-1） 、 （3-2）和（3-3）是本章讨论均匀传输线正弦激励下稳态相应的基础。
二、
以传输线首端电压和电流表示传输线任意一点的电压和电流
下面以传输线首端电压电流为已知量推导传输线正弦稳态响应的解。 令方程（3-1）和（3-3）中的 x = 0 则
U 1 = A1 + A2
I1 =
解上述两式得
A1 A2 − ZC ZC
1 (U 1 + Z C I 1 ) 2 1 A2 = (U 1 − Z C I 1 ) 2 1 1 U = (U 1 + Z C I 1 )e −γx + (U 1 − Z C I 1 )e γx 2 2 A1 = I=
1 原参数： R0 均匀传输线单位长度电阻，单位为 单位为
Ω / km ； L0 均匀传输线单位长度电感，
H / km ； C 0 均匀传输线单位长度电容，单位为 F / km ； G0 均匀传输线单位长 S / km 。
度电导，单位为
2 均匀传输线：如果沿线元参数处处相等则称均匀传输线。
二、 均匀传输线方程推导过程 ∂i ∂u ∂ ∂u i − (i + dx) = G0 (u + dx)dx + C 0 (u + dx)dx ∂x ∂x ∂t ∂x ∂i ∂ − dx = G0 udx + C 0 udx ∂x ∂t ∂i ∂ − = G0 u + C 0 u ∂x ∂t
第十八章 均匀传输线
第一节 第二节 第三节 （一）教学目标
1．理解分布参数电路的基本概念。 2．掌握传输线方程。 3．掌握传输线沿线正弦稳态电压和电流的解的表达式。 4．掌握行波和反射系数等基本概念。
分布参数电路 均匀传输弦及其方程
均匀传输显的正弦稳态解
（二）教学难点
1、分布参数电路的定义。 2、行波的概念和表示。
U 2 = A1e −γl + A2 e γl
I2 =
A1 −γl A2 γl e − e ZC ZC
1 (U 2 + Z C I 2 )e γx 2 1 A2 = (U 2 − Z C I 2 )e −γx 2 1 1 U = (U 2 + Z C I 2 )e γ (l − x ) + (U 2 − Z C I 2 )e −γ (l − x ) 2 2 A1 = I= 1 U2 1 U ( + I 2 )e γ ( l − x ) − ( 2 − I 2 )e −γ ( l − x ) 2 ZC 2 ZC 1 1 (U 2 + Z C I 2 )e γx + (U 2 − Z C I 2 )e −γx 2 2 1 U2 1 U ( + I 2 )e γx ) − ( 2 − I 2 )e −γx ) 2 ZC 2 ZC