高一数学教案：苏教版高一数学向量的数量积1

2.4向量的数量积（1）

一、课题：向量的数量积（1）

二、教学目标：1 •理解平面向量数量积的概念；

2 .掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,兀];

3 •掌握两向量共线及垂直的充要条件；

4 •掌握向量数量积的性质。

三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。

四、教学过程：

（一）引入：物理课中，，物体所做的功的计算方法：斗

W =| F ||s|cosd （其中二是F与s的夹角）.

（二）新课讲解：

向量的夹角：

已知两个向量

AOB "

当“ -0时，

当V -180

时，.a与b反向；

当v -90时，a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作a _ b . 向量数量积的定义：* 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为二，则数量| a| | b | co^叫做a与b的数量

4 -J 4 4

（或内积），记作a b，即a b =|a | |b| cos^ .

说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；

②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实

数与向量的积是一个向量；

③规定，零向量与任一向量的数量积是0.

3•数量积的几何意义：

（1）投影的概念：彳斗如图，OA =a ,,过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1 =|b | cos日.

|b|cos^叫做向量b在a方向上的投影，当二为锐角时，它是正值；当二为钝角时，它

d

R

.

,

,

*

,

b El

e

B4

o

a 和

b （如图2）,作OA / , fB = b ,

（f：吁乞180°）叫做向量a与b的夹角。

a与b同向；

4 4

2.

O O

是一负值；当v -90：时，它是0 ;当v - 0时，它是|b.| ；当二-180时，它是_|b| .

(2) a b 的几何意义：数量积a b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos, 的乘积。 【练习】：①已知 |a|=5, ②已知 |b| = 4, |a|=5, (3 )数量积的性质： 设a 、b 都是非零向量，二是a 与b 的夹角，则 a b ① COST

& Ja||b| ② 当a 与b 同向时， ③已知 活|=4 , 1 与 b 的夹角 v -120：

，则一 10 ； 1 a 在b 上的投影是—|b|，贝y a b = 8 ； 2

_ |b|=4 , a b - -3,. 2，则 a 与 b 的夹角 v - 135 .

4 4 ^4 4 ■+ 4 a b =|a ||b |；当 a 与b 反向时，a b = - |a ||b | ；

特别地：a a =| a |2

或|a 卜a a ； ③

|a b ' ③ |a 电吗a | bJ ； ④ a_b 亍 a b=0 ； 若e 是与b 方向相同的单位向量，则 ⑤ e a a e =| a | cos v . 4 •例题分析： — 例1已知正ABC 的边长为2 ,设BC 解：如图，a 与b 、、b 与c 、a 与$夹角 •原式=|a | |b| cos120「|b | |c | cos120 ■ |a| |c| cos120:

1

=2 2 ( - )

3 = .-6 2 ,

I

1

i

! 11 11 1

I

=a , CA = b , AB = c ，求 a b b c c a . 为

120 , 」 A _ , |b \= 3, | c | = 2 J3，且 a b c 0 ,求 a b b c c a . BC" - C

例2已知］a | - J3 解：作AB 『

C , ••• jb c =J 耳 CA.^b ，斗 2 2 2 •••||a|-|b|卜:|c 卜：|a| |b| 且 |c|2=|a|2 |b|2

,

A

••• ABC 中，C =90〃,二 tan ，二 A =30“ , - B =60” , 呻呻 片* 呻彳 _

3

所以，ab be ca=3 2、.3cos150； r3 2.3 cos120；

=-9-3 =-12 . 六、课堂小结： 1.向量数量积的概念；

2 .向量数量积的几何意义；

五、课后练习： 补充：1•若非零向量a 与b 满足|a ，

b|=|a-b|，则a b 二0

3．向量数量积的性质。

七、作业：