(2020年整理)江苏省专转本统一考试高等数学复习资料总纲(简略版).doc

高等数学复习提纲

一、 极限 （一）极限七大题型 1. 题型一

()

lim

()

m x

n P x P x （,m n 分别表示多项式的幂次）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大”。 2. 题型二

()lim

x a a 有限分子

分母

将a 带入分母 3. 题型三（进入考场的主要战场）

()

lim v x x

a

u x

注：应首先识别类型是否为为“1”型！

公式：1

lim(1)e 口诀：得1得+得内框，内框一翻就是e 。

（三步曲） 4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：0→）

（1）

A:同阶无穷小：lim

0()x

f f

g 是g 的同阶；

B:等价无穷小：lim

1(g )x

f f

g 和等价；

C:高阶无穷小：lim

0(g )x

f f g

是的高阶.注意：f g 和的顺序

ln(1)~+

cos ~

2

12 -n

特别补充：21

sec 1~2

-

（3）等价替换的的性质：

1）自反性：~;αα

2）对称性：~~αββα若，则；

3）传递性：~~~.αββγαγ若，，则 （4）替换原则：

A:非0常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换 （5）另外经常使用：ln M M e 进行等价替换

题型五

lim ()()

0(()0,())x a

x

f x

g x f x g x 不存在但有界

有界：,|()|M g x M

有界 （sin ,cos ,arcsin ,arccot ,x x x x 均有界）

识别不存在但有界的函数：sin

,cos

,,2e

5. 题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则

6. 题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分

7. 题型三&题型四的综合 （二）极限的应用 1、单侧极限

（1）极限存在条件 0

lim ()

(0)

(0)x

x f x A

f x f x A 左左右右

（2）极限的连续性 0

00lim ()

()()x

x f x f x f x x

x 即在连续

0(0)

(0)

()f x f x f x

（3）间断点及分类（★难点）

把握两个问题：第一，如何找间断点 ；第二，间断点分类（难）。 A:间断点：定义域不能取值的内点 B:间断点分类

lim ()x x f x 二、 导数（坚守的阵地） （一） 导数定义 定义一 1、“陡”、“平”的形象叙述;

2、00()

'()df x f x dx

唯一切线斜率（）; A,Ⅰ类可去

,Ⅱ类 不存在，不能分类，求左右极限

000)(0)f x 有限

00(0)(0)f x f x

3、0

0()()

tan

f x x f x y x

x

;

4、0000()()'()lim x f x x f x f x x

. 拓展

：0

000()

()

lim

'()f x f x A

f x

注意：1）分段点求导，永远用定义！ 2）有连续性条件时可直接带入 定义二

0000()()

'()lim ()x f x x f x f x x

（左导）左支

0000()()

'()lim ()x f x x f x f x x

（右导）右支

000'()'()'()f x f x f x 存在

1、乘法运算：()'

''uv u v

uv ()'

'''uvw u vw uv w uvw

2、除法运算：2

''

()'u u v uv v v

（四） 复合函数求导（核心内容★★★） 1、层次分析（如右“九字诀”,由外向内，“遇则则止”）

所谓的“则”是＋、-、×、÷ 2、几点性质：

（1）公式()ln x '=1

x

，推广为：11(ln ||)'

||

x x

x （2）形如：()()v x u x 利用公式ln M M e 等价替换

（3）奇偶性: ①()'

y f x y

奇偶②()'

y f x y

偶奇

1、基本知识'

dy y dx注意求的时候要加“d x”. 2、参数方程求导（考试重点）

参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分

()

x t

=

()

y y t

=

公式：

'

'

t

t

y

dy

dx x

2

2

()'

'

t

t

dy

d y dx

dx x

3、符号型求导""f层抽象符号层

4、隐函数求导（必考）

(),

y f x

=一元显函数(,),

u f x y

=二元显函数(),

y y x

=一元隐函数题目一般形式是:(,)(,),

f x y

g x y

=

2

2

d d

,.

d d

y y

x x

求

5、对数法求导

巧用对数的性质，变形式子

（七）导数的应用

1、切线与法线

切线斜率就是在该点的导数值法线斜率×切线斜率=-1；

2、洛必达法则（极限题型六）（★）

t为中间变量