人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结)

人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结

✧ 相关概念及定义

➢ 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项

系数0a ≠，而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数． ➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数2．

⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换

➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2

的形式，其

中a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；

②k ax y +=2；③()2

h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2.

✧ 二次函数解析式的表示方法

➢ 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； ➢ 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

➢ 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐

标）. ➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的

二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

✧ 二次函数2y ax bx c =++图象的画法

➢ 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式

2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，

()20x ，

（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. ➢ 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

✧ 二次函数2ax y =的性质

✧二次函数2

=+的性质

y ax c

y a x h

=-的性质：

=-+的性质

y a x h k

=++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

y ax bx c

➢a的符号决定抛物线的开口方向：当0

a时，

>

<

a时，开口向上；当0开口向下；

a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

➢ 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b

x a

=-

.特别地，y 轴记作直线0=x .

➢ 顶点坐标：），（a

b a

c a b 4422

--

➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，

那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 ➢ 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；

⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a

的大小决定开口的大小．

➢ 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a -

<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b

a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；

当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．

总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

➢ 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法

➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=++=，∴顶点是

），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b x 2-=.

➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形

式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以

对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式

➢ 一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择

一般式.

➢ 顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ➢ 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：

()()21x x x x a y --=.

✧ 直线与抛物线的交点

➢ y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).

➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点

(h ,c bh ah ++2).

➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点

的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.

➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标

相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.

➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的

图像G 的交点，由方程组 2

y kx n

y ax bx c

=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点. ➢ 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点

为()()0021，，，

x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a

c

x x a b x x =

⋅-=+2121,()

()

a a ac

b a

c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭

⎫

⎝⎛-=--=

-=

-=44422

212

212

2121