高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解
2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形
一、选择题
1.【2018全国二卷6】在中,
,,则 A.
B.?
D.
2.【2018全国二卷10】若在是减函数,则的最大值是
A. ???B .
?C .
? ?D. 3.【2018全国三卷4】若,则 A.
?B.?
?C. ?? D.
4.【2018全国三卷9】的内角的对边分别为,,,若的面积为,
则 A.
? ?B.? ?C. D.
5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中,记d 为点P(cosθ,si nθ)到直线20x my --=的距离,当θ,m变化时,d 的最大值为 A. 1
B . 2 C. 3? D.4
6.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10
π
个单位长度,所得图象对应的函数
A 在区间35[,]44
ππ
上单调递增 ? B在区间3[
,]4
π
π上单调递减 C 在区间53[
,]42ππ上单调递增 ?? D在区间3[,2]2
π
π上单调递减 7.【2018浙江卷5】函数y=||2x s in2x 的图象可能是
ABC △cos 2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4
π2
3π
4
π1
sin 3
α=cos2α=89
79
79-89
-ABC △A B C ,,a b c ABC △222
4
a b c +-C =π2π3π
4
π
6
A . ??
B .?
C.? ? D .
二、填空题
1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+,则()f x 的最小值是_________. 2.【2018全国二卷15】已知,,则__________.
3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________.
4.【2018北京卷11】设函数f(x )=πcos()(0)6x ωω->,若π()()4
f x f ≤对任意的实数x 都成立,则ω
的最小值为__________.
5.【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3
x π
=
对称,则?的值是 .
6.【2018江苏卷13】在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=?,ABC ∠的平分线交
AC 于点D,且1BD =,则4a c +的最小值为 .
7.【2018浙江卷13】在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a ,b,c .若
,A =60°,则
sin B=___________,c=___________.
sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ?
?=+ ??
?
[]0π,
三.解答题
1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,5BD =.
(1)求cos ADB ∠;?
??(2(若22DC =,求BC .
2.【2018北京卷15】在△ABC 中,a=7,b=8,cosB =–17
. (△)求∠A ; (△(求AC边上的高.
3.【2018天津卷15】在ABC △中,内角A,B,C 所对的边分别为a ,b,c.已知sin cos()6
b A a B π
=-.
(I )求角B 的大小; (I I(设a =2,c=3,求b 和sin(2)A B -的值.
4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角,4
tan 3α=,5cos()αβ+= (1(求cos2α的值; (2(求tan()αβ-的值.
5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点(和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求,A B 均在线段
MN 上,,C D 均在圆弧上.设OC与M N所成的角为θ.
(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围;
(2(若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
43∶.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(345
5
-,-(.
(Ⅰ)求s in (α+π)的值; (Ⅱ(若角β满足si n(α+β(=5
13
,求c osβ的值.
7.【2018上海卷18】设常数a R ∈,函数f x ()
=x x a 2cos 22sin + (1(若f x ()为偶函数,求a 的值;(2(若4f π
〔
〕1=
,求方程1f x =()ππ-[,]上的解.
参考答案
一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D
二、填空题 1.
2. 3 ?. 3 4.23 5.π
6- 6. 9 7.
37
21; 三.解答题 1.解:(1(在ABD △中,由正弦定理得
sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠. 由题设知,
52
sin 45sin ADB
=
?∠
,所以sin ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠
,所以cos 5
ADB ∠==. 12-
(2)由题设及(1(知,cos sin BDC ADB ∠=∠=
在BCD △中,由余弦定理得
2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠258255
=+-??25=. 所以5BC =.
2.解:(Ⅰ)在△ABC 中,∵cosB=–17
,∴B ∈(π2
,π),∴s in B.
由正弦定理得sin sin a b A B =?7sin A ,∴s i.∵B∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴∠A=π
3
.
(Ⅱ)在△AB C中,∵s inC=sin (A+B )=si nAcosB+sinB co 11()72-+.
如图所示,在△ABC 中,∵si nC=
h BC ,∴h=sin BC C ?=7=,
∴AC 边上的高为
33
.
3.解:在△A BC 中,由正弦定理
sin sin a b
A B
=
,可得sin sin b A a B =, 又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6
a B a B =-,
即πsin cos()6
B B =-,可得tan B .又因为(0π)B ∈,,可得B=π3
.
(Ⅱ)解:在△A BC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3
,
有2222cos 7b a c ac B =+-=,故.由πsin cos()6
b A a B =-,可得sin A =
.
因为a A = .因此43sin 22sin cos A A A == ,21 cos22cos 17 A A =-=. 所以,sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=4311333 27?-?=. 4.解:(1(因为,,所以. 因为,所以,因此,. (2)因为为锐角,所以. 又因为,所以,因此. 因为,所以, 因此,. 5.解:(1(连结PO 并延长交MN 于H,则PH ⊥MN,所以OH =10. 过O作OE ⊥B C于E ,则OE ∥MN,所以∠COE =θ, 故OE =40c osθ,E C=40sinθ,则矩形ABCD 的面积为2×40c osθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+co sθ(, △C DP的面积为12 ×2×40cosθ(40–40sinθ(=1600(cosθ–sinθco sθ(. 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ,则GK=KN=10. 令∠GOK =θ0,则sinθ0=14 ,θ0∈(0,π6 (. 当θ∈[θ0,π2 (时,才能作出满足条件的矩形ABCD , 所以sinθ的取值范围是[1 4 ,1(. 答:矩形ABCD 的面积为800(4sinθco sθ+cosθ(平方米,△C DP 的面积为 4 tan 3 α=sin tan cos α αα = 4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α= 27 cos22cos 125 αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()αβ+=- 225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4 tan 3 α=2 2tan 24 tan 21tan 7 ααα= =--tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11 ααβαβααβααβ-+-=-+= =-+ 1600(cosθ–sinθcosθ(,sinθ的取值范围是[14 ,1(. (2(因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3, 设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k >0), 则年总产值为4k×800(4si nθcosθ+co sθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ) =8000k(si nθc osθ+cosθ),θ∈[θ0,π2 (. 设f (θ(=si nθc osθ+cosθ,θ∈[θ0,π2(, 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′ . 令()=0f θ′,得θ=π 6 , 当θ∈(θ0,π6 (时,()>0f θ′,所以f(θ)为增函数; 当θ∈(π6,π2 (时,()<0f θ′,所以f(θ)为减函数, 因此,当θ=π6时,f(θ)取到最大值. 答:当θ=π 6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.[来源:学§科§网] 6.(Ⅰ)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5 α=-, 所以4sin(π)sin 5 αα+=-= . (Ⅱ(由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-, 由5sin()13αβ+= 得12 cos()13 αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=- 或16cos 65 β=-. 7. 解:(1)11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a , 1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a 当)(x f 为偶函数时:)()(x f x f -=,则a a -=,解得0=a 。 (2)4cos 22sin )4(2π ππ+=a f , 由题意131)4 (+=+=a f π ,3=∴a , x x x f 2cos 22sin 3)(+=∴12cos 2sin 3++=x x 1)6 2sin(2++ =π x , 当],[ππ-∈x 时,即]6 13,611[6 2π ππ - ∈+ x , 令21)(-=x f ,则21162sin 2-=+??? ?? +πx , 解得:πππ2413,245,2411-- =x 或π24 19 =x 8. 解:(1)11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a , 1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a 当)(x f 为偶函数时:)()(x f x f -=,则a a -=,解得0=a 。 (2)4 cos 22sin )4(2π ππ+=a f , 由题意131)4 (+=+=a f π ,3=∴a , x x x f 2cos 22sin 3)(+=∴12cos 2sin 3++=x x 1)6 2sin(2++ =π x , 当],[ππ-∈x 时,即]6 13,611[6 2π ππ - ∈+ x , 令21)(-=x f ,则21162sin 2-=+??? ?? +πx , 解得:πππ2413,245,2411-- =x 或π24 19 =x