2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 立体几何

专题10 立体几何

一．基础题组

1. 【2013课标全国Ⅰ，理6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．

A ．

cm 3 B ．cm 3C ．cm 3D ．cm 3

【答案】A

2. 【2012全国，理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(

)

500π3866π31372π32048π

3

A．6 B．9 C．12 D．18

【答案】B

3. 【2011全国新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )

【答案】D

【解析】

4. 【2006全国，理7】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）

（A ）16π （B ）20π （C ）24π （D ）32π 【答案】C 【解析】

5. 【2005全国1，理2】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （ ）

A ．

8 B ．8 C ．4

D

．4

【答案】B 【解析】

6. 【2005全国1，理4】如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为

1的正方形，且

△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】

ππ2ππ2π3

23

3

342

3

7. 【2010新课标，理14】正视图为一个三角形的几何体可以是__________．(写出三种) 【答案】三棱锥、圆锥、四棱锥(答案不唯一)

8. 【2014课标Ⅰ，理19】(本小题满分12分)

如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（Ⅰ）证明：;

（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值

.

111C B A ABC -C C BB 11C B AB 1⊥1AB AC =1AC AB ⊥?

=∠601CBB BC AB =111C B A A --

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

则，，，． ,,．

设是平面的法向量，则即所以可取．

设是平面的法向量，则同理可取． 则．所以二面角的余弦值为．

1

7

3A (1,0,0)B 13B 3(0,C

1AB =

11(1,0,A B AB ==

11(1,B C BC ==- (,,)n x y z = 11AA B 1

110,0,n AB n A B ??=???=??

0,0,

y z x z =??=?

?

(1n =

m 111A B C 11110,0,

m A B m B C ??=???=??

(1,m = 1

cos ,7

n m n m n m ?<>==

111C B A A --17

9. 【2013课标全国Ⅰ，理18】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.

(1)证明：AB ⊥A 1C ；

(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．

(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ， 故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．

以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角

坐标系O －xyz

.

OA OA