2020年同济大学线性代数第六版第五章《相似矩阵及二次型》同步练习与解析

第五章 相似矩阵及二次型

1、设a=(1

0−2),b=(−423

),c 与a 正交，且b=λa+c,求λ和c

2. 试用施密特法把下列向量组正交化，然后再单位化:

(1)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;

解 根据施密特正交化方法,

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==11111a b , ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=-=101]

,[],[1112122b b b a b a b ,

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

(2)⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a .

解 根据施密特正交化方法,

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-==110111a b ,

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ,

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 3. 下列矩阵是不是正交阵:

(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--

-1

21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.

(2)⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛----

--979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.

4. （1）设x 为n 维列向量, x T

x =1, 令H =E -2xx T

, 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为

H T

=(E -2xx T )T

=E -2(xx T )T

=E -2(xx T )T

=E -2(x T )T x T

=E -2xx T

, 所以H 是对称矩阵. 因为

H T

H =HH =(E -2xx T

)(E -2xx T

) =E -2xx T

-2xx T

+(2xx T

)(2xx T

) =E -4xx T

+4x(x T

x)x T

=E -4xx T

+4xx T

=E , 所以H 是正交矩阵.

（2）. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1

=A T

, B -1

=B T

,

(AB)T

(AB)=B T A T

AB =B -1

A -1

AB =E ,

故AB 也是正交阵.

5.设a 1,a 2,a 3,为两两正交的单位向量组，b 1=1

3a 1+2

3a 2+2

3a 3, b 2=2

3a 1+2

3a 2-1

3a 3,b 3=-2

3a 1+1

3a 2-2

3a 3,证明b 1,b 2,b 3,也是两两正交的单位向量组。

6. 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----201335212;

解 3)1(201335||+-=-----=-λλ

λλE A ,

故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+000110101101325213~E A ,

得方程(A +E)x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T

, 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.

(2)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛633312321;

解 )9)(1(6333123

21||-+-=---=-λλλλ

λλλE A ,

故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A ,

得方程Ax =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T

, 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A ,

得方程(A +E)x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T

, 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021101113333823289~E A , 得方程(A -9E)x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T

, 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.

(3)⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛00

01001001001000

.

解 22)1()1(001010010||+-=---=-λλλ

λλλE A , 故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1, 由

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=+00

00

0000

0110100110

01011001101001~E A , 得方程(A +E)x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T

, p 2=(0, 1, -1, 0)T

, 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1, 由

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛----=-00

000000

0110100110

01011001101001

~E A , 得方程(A -E)x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T

, p 4=(0, 1, 1, 0)T

, 向量p 3和p 4是对应于特征值

λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.

7. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T

与A 的特征值相同. 证明 因为

|A T

-λE|=|(A -λE)T

|=|A -λE|T

=|A -λE|,

所以A T

与A 的特征多项式相同, 从而A T

与A 的特征值相同.

8. 设n 阶矩阵A 、B 满足R(A)+R(B)

证明 设R(A)=r , R(B)=t , 则r +t

若a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n -r 是齐次方程组Ax =0的基础解系, 显然它们是A 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

类似地, 设b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n -t 是齐次方程组Bx =0的基础解系, 则它们是B 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

由于(n -r)+(n -t)=n +(n -r -t)>n , 故a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n -r , b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n -t 必线性相关. 于是有不全为0的数k 1, k 2, ⋅⋅⋅, k n -r , l 1, l 2, ⋅⋅⋅, l n -t , 使

k 1a 1+k 2a 2+ ⋅⋅⋅ +k n -r a n -r +l 1b 1+l 2b 2+ ⋅⋅⋅ +l n -r b n -r =0.

记 γ=k 1a 1+k 2a 2+ ⋅⋅⋅ +k n -r a n -r =-(l 1b 1+l 2b 2+ ⋅⋅⋅ +l n -r b n -r ), 则k 1, k 2, ⋅⋅⋅, k n -r 不全为0, 否则l 1, l 2, ⋅⋅⋅, l n -t 不全为0, 而

l 1b 1+l 2b 2+ ⋅⋅⋅ +l n -r b n -r =0,

与b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n -t 线性无关相矛盾.

因此, γ≠0, γ是A 的也是B 的关于λ=0的特征向量, 所以A 与B 有公共的特征值, 有公共的特征向量.