椭圆总结(全)

椭圆

一．知识清单

1.椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段

21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫

焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|

e d

PF =，0＜e ＜1

的常数}。（1=e 为抛物线；

1>e 为双曲线）

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）. 2 标准方程：（1）焦点在x

轴上，中心在原点：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）；

焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个

Rt 三角形）

（2）焦点在

y 轴上，中心在原点：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）；

焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -=

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点

总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

3 参数方程：焦点在x 轴，⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos b y a x （θ为参数）

4 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax

5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12

2

22

=+b

y a

x （a ＞b ＞0）有以下性

质：

坐标系下的性质：

① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；

③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，

短轴|B 1B 2|=2b ；

（a 半长轴长，b 半短轴长）；

④椭圆的准线方程：对于12222=+b

y a x ，左准线c a x l 2

1:-=；右准线c x l 22:=

对于12222=+b

x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 2

2:=

焦点到准线的距离c

b c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）

椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴

平行，且关于短轴对称

⑤焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；|PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0

c a PF c a PF -=+=min max , ，左加右减，上减下加

⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称

为椭圆通径，通径最短=a

b 2

2

平面几何性质：

⑦离心率：e=c a =

=()1,0∈；e 越大越

扁，0=e 是圆。

⑧焦准距c b p 2=；准线间距c

a 2

2=

⑨两个最大角()()221max 21221max 21,A B A PA A F B F PF F ∠=∠∠=∠

焦点在y 轴上，中心在原点：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的

给出。

6．焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a (2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝2

1·2c | y 0 |= c | y 0 |=2

tan 2

b θ⋅

(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)

7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆12222=+b

y a x （a ＞b ＞0）的共焦点椭圆设为22

22

21()x y b a b λλλ

+=>-++ 8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e 与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.

9.弦长公式

：1212AB x y y =-=-= 1212b x x a c

x x a ⎧

+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

（a,b,c 为方程的系数

考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D

[解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c);

(2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c);

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