高考数学(理)一轮复习学案：§2.1 函数及其表示+(新课标含解析)

1 §2.1 函数及其表示 1．函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ． 2．函数的表示方法 (1)解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系的方法． (2)图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系的方法． (3)列表法：就是 来表示两个变量之间的对应关系的方法． 3．构成函数的三要素 (1)函数的三要素是： ， ， . (2)两个函数相等：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则称这两个函数相等． 4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 5．映射的概念 一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 元素x，在集合B中都有 元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 6．映射与函数的关系 (1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_________． (2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数．

集．．

7．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．

自查自纠

1．唯一确定的数 函数 自变量 定义域 函数值 值域 2．(1)数学表达式 (2)图象 (3)列出表格 3．(1)定义域 对应关系 值域 (2)定义域 对应关系 5．任意一个 唯一确定的 6．(1)映射

(2014·山东)函数f(x)＝1（log2x）2－1的定义域为( ) A.0，12 B．(2，＋∞) C.0，12∪(2，＋∞) D.0，12∪[2，＋∞) 解：(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜12，故所求的定义域

是0，12∪(2，＋∞)．故选C. (2015·全国新课标Ⅱ)设函数f(x)＝1＋log2（2－x），x<1，2x－1， x≥1， 则f(－2)＋f(log212)＝( ) A．3 B．6 C．9 D．12 解：由条件得f(－2)＝1＋log24＝3，因为log212>1，所以f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9.故选C.

下列各图表示两个变量x，y的对应关系，则下列判断正确的是( )

A．都表示映射，都表示y是x的函数 B．仅③表示y是x的函数 C．仅④表示y是x的函数 D．都不能表示y是x的函数 解：根据映射的定义，①②③中，x与y的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.

(2015·甘肃模拟)已知f(x)＝2x， x＞0，f（x＋1），x≤0， 则f－43＝________. 解：由题意知f－43＝f－43＋1＝f－13＝f－13＋1＝f23＝2×23＝43.故填43. (2014·新课标Ⅰ)设函数f(x)＝ex－1，x＜1，x13，x≥1， 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是 ________． 解：由题设知f(x)≤2可转化为x＜1，ex－1≤2或

x≥1，

x13≤2，解得x≤8.故填(－∞，8]．

类型一 函数和映射的定义 下列对应是集合P上的函数的是________． ①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应； ②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q； ③P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应． 解：由于①中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，而③中集合P不是数集，所以①和③都不是集合P上的函数．由题意知，②正确．故填②. 【点拨】函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y与之对应；③集合P，Q是否为非空数集．

(2013·南昌模拟)给出下列四个对应： ①A＝R，B＝R，对应关系f：x→y，y＝1x＋1；

②A＝a|12a∈N*，B＝b|b＝1n，n∈N*，对应关系f：a→b，b＝1a； ③A＝{x|x≥0}，B＝R，对应关系f：x→y，y2＝x； ④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆． 其中是从A到B的映射的为________． 解：对于①，当x＝－1时，y值不存在，所以①不是从A到B的映射；

对于②，A，B两个集合分别用列举法表述为A＝{2，4，6，…}，B＝1，12，13，14，…，

由对应关系f：a→b，b＝1a知，②是从A到B的映射； ③不是从A到B的映射，如A中元素1对应B中两个元素±1； ④是从A到B的映射．

故填②④.

类型二 判断两个函数是否相等

已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数中与f(x)相等的函数是( ) A．g(x)＝|x2－1||x＋1| B．g(x)＝|x2－1||x＋1|，x≠－1，2，x＝－1 C．g(x)＝x－1，x＞0，1－x，x≤0 D．g(x)＝x－1

解：∵g(x)＝|x2－1||x＋1|＝|x－1|，x≠－1，2，x＝－1 与f(x)的定义域和对应关系完全一致，故选B. 【点拨】两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．

(2013·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( ) A．f(x)＝x2，g(x)＝3x3 B．f(x)＝|x|x，g(x)＝1，x≥0，－1，x＜0

C．f(x)＝2n＋1x2n＋1，g(x)＝(2n－1x)2n－1，n∈N* D．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x（x＋1）

解：对于A，f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以不是

同一函数；对于C，当n∈N*时，2n±1为奇数，则f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝(2n－1x)2n－1

＝x，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D，f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数．故选C.

类型三 求函数的定义域 (1)(2015·山东模拟)函数y＝log0.5（4x－3）的定义域为( ) A.34，＋∞ B．(－∞，1) C.34，1 D.34，1

解：要使函数有意义，x应满足4x－3＞0，log0.5（4x－3）≥0， 解得34＜x≤1，所以函数的定义域

为34，1.故选D. (2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，则函数y＝f(x2－3)的定义域为________． 解：由题意知x2－3≥－1，x2－3＜1，

解得x≤－2或x≥2，－2＜x＜2. ∴函数的定义域为(－2，－2]∪[2，2)． 故填(－2，－2]∪[2，2)． 【点拨】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出．

(1)(2015·安徽省黄山市检测)函数y＝log2（x－1）2－x的定义域为________． (2)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(2x)的定义域为________． 解：(1)要使函数有意义，x应满足x－1＞0，2－x＞0， 解得1＜x＜2，所以函数的定义域为(1，2)．故填(1，2)． (2)令1≤2x≤7，得0≤x≤log27，故所求函数的定义域为[0，log27]．故填[0，log27]．

类型四 求函数的值域 求下列函数的值域： (1)y＝1－x21＋x2； (2)y＝2x＋1－x；

(3)y＝2x＋1－x2； (4)y＝x2－2x＋5x－1； (5)若x，y满足3x2＋2y2＝6x，求函数z＝x2＋y2的值域； (6)f(x)＝||2x＋1－||x－4. 解：(1)解法一：(反解)

由y＝1－x21＋x2，解得x2＝1－y1＋y，

∵x2

≥0，∴1－y1＋y≥0，解得－1＜y≤1，

∴函数值域为(－1，1]． 解法二：(分离常数法)