初三数学培优竞赛精讲精练-第7讲 转化与化归
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第七讲 转化与化归 可化为一元二次方程的方程及方程组
数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑,通常运用符号进行形式化抽象,在一个概念和公理体系内实施推理计算,若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道:“作为数学家的思维来说是很典型的,他们往往不对问题进行正面攻击,而是不断地将它变形,直至把它转化为已经能够解决的问题.” 转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想.解分式方程,通过去分母和换元;解高次方程,利用因式分解和换元,转化为一元二次方程或一元一次方程去求解.
【例题求解】
【例1】 已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实数根,若所有的实数根的积为-2,则所有实数根的平方和为 。
思路点拨:将方程左边因式分解,化高次方程为低次方程。
【例2】1=的解的情形是( )
A 、无解
B 、恰有一个解
C 、恰有两个解
D 、有无穷多个解
思路点拨1=,即
231+=,通过讨论去掉绝对值符号。
【例3】解下列方程:
(1)222234112283912
x x x x x x x x ++-+=+-+ (河南省竞赛题) (2)33
(1999)(1998)1x x -+-=; (山东省竞赛题) (3)21313()4211
x x x x x x --+=++; (“祖冲之杯”邀请赛试题) (4)2(1)(35)1444524
x x x y x x y ++=⎧⎨++=⎩ (西安市竞赛题) 思路点拨:
按照常规思路求解繁难,应恰当转化,对于(1),利用倒数关系换元;对于(2),从(1999)(1998)1x x -+-=受到启示;对于(3),设131
x y x -=+,则可导出x y +、xy 的
结果;对于(4),视2x x +,35x y +为整体,可得到2()(35)x x x y +++、2
()(35)x x x y ++的值。
【例4】解下列方程(组):
(1)
、25x x += (克罗地亚奥林匹克试题)
(2
)520511
x y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ (2011年《数学周报》杯全国初数学竞赛题)
非等价转化
【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x
+-=--只有一个解(相等的解也算作一个),试求k 的值与方程的解。
分析:先将分式方程转化为整式方程,把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论,“只有一个解”内涵丰富,在全面分析的基础上求出k 的值。
学力训练
1、方程
542332x x x
+=--的解是 。 (威海市中考题) 2、方程2()65()11
x x x x +=--的整数解是 。 (天津市中考题) 3、用换元法解方程63521x x x x -+=-时,如果设2x x y +=,那么原方程可变形为( )
A 、220y y ++=
B 、220y y --=
C 、220y y -+=
D 、2
20y y +-= 5、关于x 的方程
11
a x =+的解是负数,则a 的取值范围是( )。 A 、1a B 、1a 且0a ≠ C 、1a ≤ D 、1a ≤且0a ≠ (山西省中考题)
6、下列方程有实数解的是( )
A
1=- B 、120x ++= C 、111
x x x =++ D 、2230x x -+= (潍坊市中考题)
7、解方程组222230
x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2011年上海市中考题)
8、解下列方程:
(1)2654111
x x x x x ++=--+ (上海市中考题) (2)222(1)160x x x x
+++-= (苏州市中考题) (3)2261x x x x
=+++ (天津市中考题) (4)(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++=
9、(1
)求方程22552x x ++=
(日本数学奥林匹克试题)
(2
)解方程组2()2345
x y z x y z ⎧++-=⎪⎨==⎪⎩
(太原市竞赛题)
能力拓展:
10、解方程222211114325671221
x x x x x x x x +++=+++++++得 。 (“祖冲之杯”邀请赛试题)
11、方程18272938
x x x x x x x x +++++=+++++的解是 。 (第16届江苏省竞赛题) 12、若实数x 、y 满足703392xy x y x y xy
+++=⎧⎨+=+⎩,则22x y xy += 。 (第20届江苏省竞赛题)
13、若实数x 、y 、z 满足方程组1
22232xy x y yz y z zx z x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩
,则( ) A 、230x y z ++= B 、7520x y z ++= C 、9630x y z ++= D 、
1070x y z ++=
14、如果方程32
54(4)0x x k x k -++-=的三个根可以作为一个三角形的三边长,则实数k 的值为( )
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
(四川省竞赛题) 15、关于x 的方程2
1
x a x =-仅有两个不同的实根,则实数a 的取值范围是( )。 A 、0a B 、4a ≥ C 、24a D 、04a
(全国初中数学联赛)
16、解下列方程(组):
(1)2221(1)(24)x x x x x x -+=++++
(2011年青少年数学国际城市邀请赛)
(2)22()31
x x x +=+ (3)3223221010
x xy y y x y x ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩ (德国数学奥林匹克试题) (4)229410(9)(4)24x y x y x y xy ⎧+++=⎪⎨⎪++=⎩
(太原市竞赛题)
(5)2
2
2
2414414414x y
x y z y z x z
⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩ (加拿大数学奥林匹克试题) 17、对于实数a ,只有一个实数值x 满足等式211220111
x x x a x x x +-++++=-+-,试求所有这样的实数a 的和。
(第19届江苏省竞赛题)
综合创新:
18、已知关于x 、y 的方程组2223()x y p xy p x y p
⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩有整数解(,)x y ,求满足条件的质数p 。 (四川省竞赛题)
19、已知a 、b 、c
三数满足方程组2848
a b ab c +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,试求方程20bx cx a +-=的根。