高考理科数学复习题解析 随机抽样

高考数学复习 第一节 随机抽样

[考纲传真] 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样的方法．

1．简单随机抽样

(1)抽取方式：逐个不放回抽取；

(2)每个个体被抽到的概率相等；

(3)常用方法：抽签法和随机数法．

2．分层抽样

(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

3．系统抽样的步骤

假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．

(1)先将总体的N 个个体编号；

(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n

； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；

(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．

[常用结论]

1．三种抽样方法的共性：等概率抽样，不放回抽样，逐个抽取，总体确定．

2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差N n

的整数倍． 3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关． ( )

(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样． ( )

(3)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．

( )

(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )

[答案](1)×(2)√(3)×(4)×

2．(教材改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )

A．总体

B．个体

C．样本的容量

D．从总体中抽取的一个样本

A[从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5 000名居民的阅读时间的全体是总体．]

3．(教材改编)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是( )

A．随机抽样B．分层抽样

C．系统抽样D．以上都不是

C[因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．]

4．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )

A．33,34,33 B．25,56,19

C．20,40,30 D．30,50,20

B[因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25,56,19.]

5．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．

1 2[总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝

M

N

＝

4

8

＝

1

2

.]

简单随机抽样

1

A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验

B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

D ．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验

B [因为A ，D 中总体的个体数较大，不适合用抽签法；

C 中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B 中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．]

2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

A.08 B ．07 C ．02 D ．01

D [从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.]

[规律方法] 抽签法与随机数法的适用情况

1

抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情

况.

2一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.

系统抽样及其应用

【例】 001,002，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为009，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )

A ．7

B ．9

C ．10

D ．15 C [从960人中用系统抽样方法抽取32人，则将整体分成32组，每组30人，因为第一组抽到的号码为009，则第二组抽到的号码为039，第n 组抽到的号码为a n ＝9＋30·(n －1)

＝30n －21，由451≤30n －21≤750，得23615≤n ≤25710

，所以n ＝016,017，…，025，共有25－16＋1＝10(人)．]

[拓展探究] 若本例中条件变为“若第5组抽到的号码为129”，求第1组抽到的号码．

[解] 设第1组抽到的号码为x ，则第5组抽到的号码为x ＋(5－1)×30，由x ＋(5－

1)×30＝129，解得x ＝9，因此第1组抽到的号码为009.

[规律方法] 系统抽样的特点