二次根式复习专题讲义(补课用)汇总

二次根式复习专题讲义

、二次根式的概念:

1.二次根式：形如角(a>0)的式子叫做二次根式，“、—称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.心(a > 0)是一个非负数。

③.(y/a ) 2= a (a> 0); V a2=a (a>0)

2.二次根式的乘：

①.一般的，有|掐•品=局.(a》0, b》0)

②.反过来，有卜五=y a X V b ( a》0 , b》0 )

3.二次根式的除：

①.一般地，对二次根式的除法规定：

(a>0, b>0),

②.反过来，招畔(a>0, b>0)

4.二次根式的加减法则：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

42、V3、1、長(x>0)、>/0、V2、-42> 、J x+y (x>0,

x x + y

例2•当x是多少时，・.^ +肖在实数范围内有意义?

变式题1:当x是多少时，,3^1在实数范围内有意义?

变式题2：①•当x是多少时，丄口+x2在实数范围内有

x

意义？

例3.①•已知y=,尸 +、, 口+5，求-的值.

y

②•若-T~1 + -..匸1 =0，求a2004+b2004的值.

③•已知、x-y 1 + =0,求x y的值.

例4.计算

1.

2. (3 5 ) 2

（、2）2

3. C.5) 2

4.(辽) 2

丨6 2

例5.计算

1. (.X 1 ) 2(x> 0)

2. ( a7 ) 2

3. (.a2 2a 1 )2

4.( 4x2-12x 9) 2

变式题：计算

1. （- 3、2）2

2. (2、.3

3.,2)(2、、3 -3 ..2)

例6.在实数范围内分解下列因式

(1) x2-3 (2) X4-4(3) 2x2-3

例7.化简

(1) 9 (2) ,^4^ (3) .. 25 (4)....百

例8.填空：当a > 0时，忌=__________ ;当a<0时，

磋=_________ ， ?并根据这一性质回答下列问题.

(1)若.a2=a，贝y a可以是什么数？

(2)若.孑二-a，则a可以是什么数？

(3).a7 >a，则a可以是什么数？

例9.当X>2，化简、... (x【2)2- ,(^2x)2.

例10.先化简再求值：当a=9时，求a+ 1匚2a—a2的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+( -a)2=a+ (1-a ) =1;

乙的解答为：原式=a+(i-a)2=a+ (a-1 ) =2a-1=1 7.

两种解答中， ________ 的解答是错误的，错误的原因是

变式题1.若丨1995-a | + 硏五=a，求a-19952的值.

(提示：先由a-200 0>0,判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值)

变式题2.

右-3 W X W 2 时，试化简 X-2 + J(x +3)2

+ y'x 2

-10x +25

例11.计算

(1) •、. 5 X . 7 ( 2) 1

X .9

( 3)、、9 X ..27 ( 4)

分析：直接利用--a •、、b = ■■. ab ( a > 0, b > 0)计算即可.

解：(1)

5 X ,7

35

(2) 1

X 9 = 1 9 = 3

(3) 、、9 X , 27 = 9一27= 9厂3 =9 3

(4)

1 X 6 = -1 6 = 3

例12 .化简 (1) 9一16 (2) 、16一81 (3) . 81 100

(4)

9x 2y 2

(5) . 54

例13 .判断下列各式是否正确， 不正确的请予以改正：

(1) (4)厂9)=匸4、、-9

25 =4 X . 12

X 、、25 =4. 12

X , 25 =4 12 =8 3

(2) 、412

X

25

和A2cm , ?那么此直角三角形斜边长是（

).

变式题1:若直角三角形两条直角边的边长分别为

、15 cm

变式题2:化简a -1

的结果是（）.

变式题 3:。而4 = _______ . V 169X6

变式题4: 一个底面为 30cm X 30cm 长方体玻璃容器中 装满水，？现将一部分水例入一个底面为正方形、高为 10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm ，铁

桶的底面边长是多少厘米？

变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程.

并验证你的结论

.

验证: 验证:

3 8 =

3

X

33

-3 3 32

-1

3 3 通过上述探究你能猜测出:

(a>0),

例14.计算:

例15.化简:

的值.

1 ,3 3

2 2、5 3

3 -3

3 '

5

5

5

5

变式题3.已知x=3 , y=4, z=5,那么yz 「.. xy 的最后结果 是 _______ .

变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形， 且矩形的长 与宽之比为 3 : 1, ?现用直径为3cm 的一种圆木做原料 加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少?

变式题5.计算

⑷還

求(1+X ) x

_5x 4

X 2 -1

变式题 1

.计算"3'叮

1；的结果是（）.

变式题 2.阅读下列运算过程:

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作 “分母有理

化”，那么，化简 X 的结果是（

.6

).

3

(3)

4

1 16

64b 2

9a 2

(3)

9x 64y 2

5x 169y 2

'Qx ，且x 为偶数， 例16.已知

9—x