巴特沃斯低通滤波器的设计
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巴特沃斯低通滤波器的设计
1、巴特沃斯滤波器的介绍
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为
2221|()|1N
H j C λλ=+
其中C 为一常数参数,N 为滤波器阶数,λ为归一化低通截止频率,
/p λ=ΩΩ。
式中N 为整数,是滤波器的阶次。
巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性,这就是说,N 阶低
通滤波器在0Ω=处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零,在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图a 所示。 滤波器的特性完全由其阶数N 决定。当N 增加时,滤波器的特性曲线变得更陡峭,
这时虽然由a 式决定了在p Ω=Ω处的幅度
函数总是衰减3dB ,但是它们将在通带的更
大范围内接近于1,在阻带内更迅速的接近于零,因而振幅特性更接近于理想的矩形
频率特性。滤波器的振幅特性对参数N 的依赖关系如图a 所示。 设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为λ,归一化传递函数为()H p ,其中p j λ=,则可得:
2221()
1(1)N N p j H j C p
λλ==+- 由于 221()()()1()a a js N c
H s H s A s j Ω=--=Ω=+Ω 所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。
2、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标
p λ:通带截止频率;
p α:通带衰减,单位:dB ;
p
图a 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性
s λ:阻带起始频率;
s α:阻带衰减,单位:dB 。
说明:
(1)衰减在这里以分贝(dB )为单位;即
2221
10lg 10lg 1()N C H j αλλ⎡⎤==+⎣⎦
(2)当3dB α=时p C Ω=Ω为通常意义上的截止频率。
(3)在滤波器设计中常选用归一化的频率/C λ=ΩΩ,即
1,p s p s p p
λλΩΩ===ΩΩ
图b 为巴特沃斯低通滤波器指标
3、设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下:
(1)计算归一化频率1p
p p λΩ==Ω,s s p
λΩ=Ω。 (2) 根据设计要求按照210101p
C α=-和lg lg s a N λ=其中1010101101
s p a αα-=-特沃斯滤波器的参数C 和阶次N ;注意当3p dB α=时 C=1。
(3)利用N 查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()H p ;
(4)令()H p 中的p
s p =Ω得到截止频率为p Ω的巴特沃斯低通滤波器的系统
函数。
4、例题设计
试设计一个巴特沃斯低通滤波器,要求截止频率5000p f Hz =,通带最大衰减3p dB α=,阻带起始频率10000s f Hz =,阻带最小衰减30s dB α=。 解:已知225000p p f ππΩ==⨯,3p dB α=,2210000s s f ππΩ==⨯,30s dB α=
(1)计算归一化频率1p
p p λΩ==Ω,2s s p
λΩ==Ω。 (2)计算出巴特沃斯滤波器的阶次N 及C
20.3101011011p
C α=-=-=
31.637a ===则 lg lg 31.637 4.982lg lg 2s a N λ===
选择N=5。(3)利用N 查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()H p ;
54321
() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611H p p p p p p =+++++
(4)去掉归一化影响
205
5448231232164205
()()103.23610 5.23610 5.23610 3.2361010p
s
p H s H p s s s s s ππππππ=Ω==+⨯+⨯+⨯+⨯+
5、程序设计代码如下
wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;
[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');
[B,A]=butter(N,wc,'s');
k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs(B,A,wk);
subplot(2,2,1);
plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));grid on
xlabel('?μ?꣨kHz£?');ylabel('·ù?裨dB£?') axis([0, 14, -40, 5])
运行结果如下:
6、实验结论
通过设计巴特沃斯低通滤波器,让我对巴特沃斯低通滤波器有了更深的理解,也让我产生了兴趣,其实,巴特沃斯低通滤波器主要是根据设计指标要求p λ,p α,s λ,s α确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C 及滤波器的阶数N ;然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。