历年考研数学三真题及答案解析
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2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
2
21
x x
y
x
+
=
-渐近线的条数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（2）设函数
2
()(1)(2)
x x nx
f x e e e n
=--…（-）
，其中n为正整数，则
(0)
f'
=（
）
（A）
1
(1)(1)!
n n
-
--
（B）
(1)(1)!
n n
--
（C）
1
(1)!
n n
-
-
（D）
(1)!
n n
-
（3）设函数
()
f t
连续，则二次积分
22
2
02cos
()
d f r rdr
π
θ
θ
⎰⎰
=（）
（A
）
222
() dx x y dy
+
⎰
（B
）
222
() dx f x y dy
+
⎰
（C
）
222
1
() dx x y dy
+
⎰⎰
（D
）
222
1
() dx x y dy
+
⎰⎰
（4
）已知级数1
1
(1)
i
nα
∞
=
-
∑
绝对收敛，
2
1
(1)n
i
nα
∞
-
=
-
∑
条件收敛，则
α
范围为（）
（A）0<α
1
2
≤
（B）
1
2< α≤1
（C）1<α≤
3
2（D）
3
2<α<2
（5）设
1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，
（C ）
134ααα，，
（D ）
234ααα，，
（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1
=Q AQ -（）
（A ）121⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
（B ）112⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则
+P X Y ≤22
｛1｝（ ）
（A ）1
4
（B ）12
（C ）8
π
（D ）4π
（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2
（1，）（0）的简单随机样本，则
统计量
12
34|+-2|X X X X -的分布（
）
（A ）N （0，1）
（B ）
(1)t
（C ）
2
(1)χ （D ）
(1,1)F
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
1
cos sin 4
lim(tan )x x
x x π
-→
（10
）设函数
ln 1(),(()),21,1
x dy x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求
___________.
（11）函数(,)z f x y =
满足0
1
0,
x y →→=则
(0,1)dz =
_______.
（12）由曲线4
y x =
和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.
（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则
|BA*|=________.
（14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，
11
(),(),
23
P AB P C ==则
C P AB （）=_________.
解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
计算
2
22cos 40lim x x
x e e x -→-
（16）（本题满分10分）
计算二重积分x
D
e xydxdy
⎰⎰，其中D
为由曲线
y y ==
所围区域.
（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），
设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x
（万
元/件）与6+y （万元/件）.
1）求生产甲乙两种产品的总成本函数
(,)C x y （万元）
2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义. （18）（本题满分10分）
证明：2
1ln cos 1,1 1.12x x x x x x ++≥+-<<-
（19）（本题满分10分）已知函数
()f x 满足方程()()2()0f x f x f x "'+-=及
()()2x f x f x e '+=