绝对值(基础)知识讲解

绝对值（基础）

【学习目标】

1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；

3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】 要点一、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较

1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．

2.法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0

正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．

3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．

4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若

1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a

b

<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．

5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小. 【典型例题】

类型一、绝对值的概念

1．求下列各数的绝对值．

(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

11

2-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭

【思路点拨】1

12

，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝

⎭

在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解． 【答案与解析】 解法一：因为11

2-到原点距离是1

12

个单位长度，所以111122-=．

因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．

因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭

到原点的距离是1

3

2

个单位长度，所以113322⎛⎫

--= ⎪⎝⎭

．

解法二：因为11

02-<，所以111111222⎛⎫

-=--= ⎪⎝⎭

．

因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．

因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0． 因为1302⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以1133

22

⎛⎫--= ⎪⎝⎭

． 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．

2．已知一个数的绝对值等于2009，则这个数是________． 【答案】2009或-2009

【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点．

【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数. 举一反三：

【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．

【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3． 【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题3】

【变式2】如果｜x ｜＝2，那么x ＝_____ _ ； 如果｜－x ｜＝2，那么x ＝______． 如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ； 如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．

【答案】2-2+或；2-2+或；1或3；x>3或x<-3

【变式3】数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ． 【答案】6或-6

类型二、比较大小

3．比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭

和12

-

；（4）1--______0.1--

【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；

(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；

(3)先化简1133⎛⎫--=

⎪⎝⎭，1122-=，1123>，即1132⎛⎫

--<- ⎪⎝⎭

．

(4)先化简11--=-，0.10.1--=-，这是两个负数比较大小：因为11-=，

0.10.1-=，而10.1>，

所以10.1-<-，即1--＜0.1--

【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．

【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：

【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题2】 【变式1】比大小： 6

5

3

-______763- ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；

1.38-______－1.384； －π______－3.14．

【答案】＞；=；＞；＞；＜

【变式2】（山东临沂）下列各数中，比－1小的数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．－2

D ．2

【答案】C

【变式3】数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ，-a ，-1的大小关系是( )．

A ．-a ＜a ＜-1

B ．-1＜-a ＜a

C ．a ＜-1＜-a

D ．a ＜-a ＜-1