数值分析试卷二十七及参考答案
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数值分析试卷二十七及参考答案
1．（5分）测量一物体的长度为945cm ，问测量数据的相对误差限多大？（实际问题所截取的近似数，其绝对误差限一般不超过最小刻度的半个单位。） 解：x=945cm ，()cm x 5.0=ε （1分）
()%053.000053.00005341.0945
5
.0=<=≤
x e r （3分）
()%053.0=x e r （1分）
2．（5分）已知[]T
x 2,1,0-=，求∞
x
，1x ，2x
解：∞
x
=2 （1.5分）
1x =3 （1.5分） 2x =
()2221+-=
5 （2分）
3．（5分）写出求解下列方程组的Jacobi 迭代格式
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--89.392.001.221.097.272.137.252.121.5⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡76.768.121.6 解：⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧--=---=+-=+++89.392.001.276.797.221.072.168.121.537.252.121.6)
(2)(1)1(3
)
(3
)(1)1(2)
(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x （5分）
4．（5分）给定线性方程组：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122111221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 讨论用Gauss-Seidel 迭代法求解时的收敛性。 解：A=L+D+U
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122111221=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡022001000+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001+⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-000100220 （2分） ()U L D B G 1-+-==⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-000100120 （2分）
()1 5．（5分）设()134 7 +++=x x x x f ，求[ ]7 1 2 ,,2,2σf 解：[ ] ()1! 72,,2,2)7(7 10== ξσf f （5分） 6．（10分）用平方根法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--224845484 16⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1034 解：T LL A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--224845484 16=⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡333231222111000l l l l l l ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡3332223121 11000l l l l l l （2分） L=⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-332021004 （2分） Ly=b （2分） y x L T = （2分） ⎥⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2449x ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=621y （2分） 7．（10分）设()() 2 3a x x f -=，写出()0=x f 的牛顿迭代格式，并证明此迭代格式是线性收敛的。 解：()() a x x x f -=3 2 6' （2分） 牛顿迭代格式 ()()( ) ( ) 2 322 3 16656'k k k k k k k k k k x a x a x x a x x x f x f x x +=---=-=+ （4分） 迭代函数()2665x a x x += ϕ （2分） ()0=x f 的精确解为3*a x =，故() 12 1 3165'*<=-=x ϕ （2分） 所以该迭代格式的线性收敛的。 8．（10分）用列主元Gauss 消去法解下列方程组 ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10334102043121321x x x 解：⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10410230433121A −−→−↔r r 21⎥⎥ ⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡10410231213043 （2分） ⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡ −−→−--843 22021320 304 31312 3231 r r r r （2分） −−→−↔r r 3 2 ⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2132 084322 3043 （2分） −− −→−-r r 23111 ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡11141170 084322 03043 （2分） 等价方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧==+=+11 14311732322218 43 43x x x x x