数值分析试题及答案汇总
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题1. 下列哪个方法不适合用于求解非线性方程的根？A. 二分法B. 牛顿法C. 弦截法D. 正割法2. 当使用二分法求解非线性方程的根时，需要满足的条件是：A. 函数f(x)在区间[a, b]上连续B. 函数f(x)在区间[a, b]上单调递增C. 函数f(x)在区间[a, b]上存在根D. 函数f(x)在区间[a, b]上可导3. 数值积分是通过将定积分转化为求和的方法来近似计算积分值的过程。
下列哪个方法是常用的数值积分方法？A. 矩形法则B. 辛普森规则C. 梯形规则D. 高斯-勒让德法则4. 龙格-库塔法是常用于求解常微分方程的数值解法。
以下哪个选项是描述龙格-库塔法的特点？A. 该方法是一种多步法B. 该方法是一种多项式插值法C. 该方法是一种单步法D. 该方法是一种数值积分法5. 用有限差分法求解偏微分方程时，通常需要进行网格剖分。
以下哪个选项是常用的网格剖分方法？A. 多边形剖分法B. 三角剖分法C. 矩形剖分法D. 圆形剖分法二、解答题1. 将函数f(x) = e^x 在区间[0, 1]上用复化梯形规则进行数值积分，分为6个子区间，求得的近似积分值为多少？解：将区间[0, 1]等分为6个子区间，每个子区间的长度为h = (1-0)/6 = 1/6。
根据复化梯形规则的公式，近似积分值为：I ≈ (1/2) * h * [f(0) + 2f(1/6) + 2f(2/6) + 2f(3/6) + 2f(4/6) + 2f(5/6) +f(1)]≈ (1/2) * (1/6) * [e^0 + 2e^(1/6) + 2e^(2/6) + 2e^(3/6) + 2e^(4/6) +2e^(5/6) + e^1]2. 使用二分法求解方程 x^3 - 3x + 1 = 0 在区间[1, 2]上的根。
要求精确到小数点后三位。
解：首先需要判断方程在区间[1, 2]上是否存在根。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题一、 填空题2 0×2′1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x =的近似值,则x 有 2 位有效数字;2. 若fx =x 7－x 3＋1,则f 20,21,22,23,24,25,26,27= 1 , f 20,21,22,23,24,25,26,27,28=0 ;3. 设,‖A ‖∞＝___5 ____,‖X ‖∞＝__ 3_____,‖AX ‖∞≤_15_ __;4. 非线性方程fx =0的迭代函数x =x 在有解区间满足 |’x | <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的;5. 区间a ,b 上的三次样条插值函数Sx 在a ,b 上具有直到 2 阶的连续导数;6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 ;7. 拉格朗日插值公式中fx i 的系数a i x 的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i x 满足 a i x >1 ,计算时不会放大fx i 的误差; 8. 要使20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字;9. 对任意初始向量X 0及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x k +1=Bx k +gk =0,1,…收敛于方程组的精确解x 的充分必要条件是 B<1 ; 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 ;11. 牛顿下山法的下山条件为 |fxn+1|<|fxn| ;12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i i =0,1,…,n 来实现的,其中的残差r i＝ b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n /a ii ,i =0,1,…,n ;13. 在非线性方程fx =0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且fx 的二阶导数不变号,则初始点x 0的选取依据为 fx0f ”x0>0 ; 14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算; 二、判断题10×1′1、 若A 是n 阶非奇异矩阵,则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解; ×2、 解非线性方程fx =0的牛顿迭代法在单根x 附近是平方收敛的;3、 若A 为n 阶方阵,且其元素满足不等式则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛; × 4、 样条插值一种分段插值; 5、 如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的; 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差; 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX ＝b ; × 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差; × 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差; 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差; × 三、计算题5×10′1、用列主元高斯消元法解线性方程组; 解答：1,5,2最大元5在第二行,交换第一与第二行： L 21=1/5=,l 31=2/5= 方程化为： ,最大元在第三行,交换第二与第三行： L32==,方程化为： 回代得：⎪⎩⎪⎨⎧-===00010.1 99999.500005.3321x x x 2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4x ,并写出其截断误差的表达式设fx 在插值区间上具有直到五阶连续导数;解答： 做差商表P4x=1-2x-3xx-1-xx-1x-1x-2 R4x=f5/5xx-1x-1x-2x-23、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组,使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛,写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式,并简单说明收敛的理由; 解答：交换第二和第四个方程,使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式： 计算机数学基础2数值分析试题 一、单项选择题每小题3分,共15分 1. 已知准确值x 与其有t 位有效数字的近似值x ＝…a n ×10s a 10的绝对误差x －x ．A ×10 s －1－tB ×10 s －tC ×10s ＋1－tD ×10 s ＋t 2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为 ．A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------2100121001210012, B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2100141101410125⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+=-+-=+-65 84 3 3 12431432321421x x x x x x x x x x x xC ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2100141212410125 D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5131141201411124 3. 过0,1,2,4,3,1点的分段线性插值函数Px =A ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3210320123x x x x B ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201232x x x x C ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3210320123x x x x D⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32420123x x x x 4. 等距二点的求导公式是A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x fB ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f C ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x fD5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么y p ,y c 分别为 ．A ⎩⎨⎧+=+=+),(),(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y yB ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y yC ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=),(),(p k k c k k k p y x f y y y x f y y D ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y 二、填空题每小题3分,共15分6. 设近似值x 1,x 2满足x 1=,x 2=,那么x 1x 2= ．7. 三次样条函数Sx 满足：Sx 在区间a ,b 内二阶连续可导,Sx k =y k 已知,k =0,1,2,…,n ,且满足Sx 在每个子区间x k ,x k +1上是 ．8. 牛顿－科茨求积公式∑⎰=≈n k k k bax f A x x f 0)(d )(,则∑=nk k A 0＝ .9. 解方程fx =0的简单迭代法的迭代函数x 满足在有根区间内 ,则在有根区间内任意取一点作为初始值,迭代解都收敛．10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+,校正值：y k +1= ． 三、计算题每小题15分,共60分11. 用简单迭代法求线性方程组的X 3．取初始值0,0,0T ,计算过程保留4位小数． 12. 已知函数值f 0=6,f 1=10,f 3=46,f 4=82,f 6=212,求函数的四阶均差f 0,1,3,4,6和二阶均差f 4,1,3．13.将积分区间8等分,用梯形求积公式计算定积分⎰+312d 1x x ,计算过程保留4位小数．14. 用牛顿法求115的近似值,取x =10或11为初始值,计算过程保留4位小数． 四、证明题本题10分 15. 证明求常微分方程初值问题在等距节点a =x 0<x 1<…<x n =b 处的数值解近似值的梯形公式为yx k +1y k +1=y k +2hfx k ,y k +fx k +1,y k +1 其中h =x k +1－x k k =0,1,2,…n －1计算机数学基础2数值分析试题答案一、单项选择题每小题3分,共15分 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题每小题3分,共15分 6. x 2+x 1 7. 3次多项式8. b －a 9. xr <1 10. y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f hhfx k ＋1, 1+k y ． 三、计算题每小题15分,共60分 11. 写出迭代格式 X 0=0,0,0T .得到X 1＝,3,3T 得到X 2=, 7, 0T 得到X 3= 4, 6, 6T .12.f 0,1,3,4,6=15f 4, 1, 3=6 13. fx =21x +,h =25.082=．分点x 0=,x 1=,x 2=,x 3=,x 4=,x 5=,x 6=,x 7=,x 8=.函数值：f = 2,f = 8,f = 8,f = 6,f = 1,f = 2,f = 6,f = 2,f = 3．))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ 9分=225.0× 2+ 3+2× 8+ 8+ 6 + 1+ 2+ 6+ 2=× 5+2× 3= 114. 设x 为所求,即求x 2－115=0的正根．fx =x 2－115．因为fx =2x ,fx =2,f 10f 10=100－115×2<0,f 11f 11=121－115×2>0取x 0=11． 有迭代公式x k +1=x k －)()(k k x f x f '=k k k k k x x x x x 2115221152+=--k =0,1,2,… x 1=112115211⨯+＝ 3x 2=3727.10211523727.10⨯+＝ 8 x 3=8723.10211528723.10⨯+＝ 8x 8四、证明题本题10分15. 在子区间x k +1,x k 上,对微分方程两边关于x 积分,得yx k +1－yx k =⎰+1d ))(,(k kx x x x y x f用求积梯形公式,有yx k +1－yx k =))](,())(,([211+++k k k k x y x f x y x f h将yx k ,yx k +1用y k ,y k +1替代,得到yx k +1y k +1=y k +2hfx k ,y k +fx k +1,y k +1k =0,1,2,…,n －1 数值分析期末试题一、填空题20102=⨯分1设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251A ,则=∞A ______13_______;2对于方程组⎩⎨⎧=-=-34101522121x x x x ,Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=JB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡05.25.20;33*x 的相对误差约是*x 的相对误差的31倍;4求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是)('1)(1n n n n n x f x f x x x +--=+;5设1)(3-+=x x x f ,则差商=]3,2,1,0[f 1 ;6设n n ⨯矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ,则矩阵G 的谱半径=)(G ρi ni λ≤≤1max ;7已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A ,则条件数=∞)(A Cond 9 8为了提高数值计算精度,当正数x 充分大时,应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x ;9n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次;10拟合三点))(,(11x f x ,))(,(22x f x ,))(,(33x f x 的水平直线是)(3131∑==i i x f y ;二、10分证明：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=+-12112321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性;证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为J B 的特征多项式为J B 的特征值为01=λ,i 25.12=λ,i 25.13-=λ,故25.1)(=J B ρ＞1,因而迭代法不收敛性;三、10分定义内积试在{}x Span H ,11=中寻求对于x x f =)(的最佳平方逼近元素)(x p ;解：1)(0≡x ϕ,x x ≡)(1ϕ,1),(100==⎰dx ϕϕ,21),(101==⎰xdx ϕϕ,31),(1211==⎰dx x ϕϕ,32),(10==⎰dx x f ϕ,52),(11==⎰dx x x f ϕ; 法方程 解得1540=c ,15121=c ;所求的最佳平方逼近元素为 x x p 1512154)(+=,10≤≤x 四、10试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据;解:332210)(x c x c x c c x y +++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=84211111000111118421A , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=130034003401034010001005A A T 法方程的解为4086.00=c ,39167.01=c ,0857.02=c ,00833.03=c 得到三次多项式误差平方和为000194.03=σ五. 10分 依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange 插值多项式,用它计算)2.2(f ,并在假设1)()4(≤x f 下,估计计算误差;解:先计算插值基函数所求Lagrange 插值多项式为121445411)(3)(23)(9)()()()(233210303+-+-=+++==∑=x x x x l x l x l x l x l x f x L i i i 从而0683.25)2.2()2.2(3=≈L f ;据误差公式))()()((!4)()(3210)4(3x x x x x x x x f x R ----=ξ及假设1)()4(≤x f 得误差估计：六. 10分 用矩阵的直接三角分解法解方程组解 设由矩阵乘法可求出ij u 和ij l 解下三角方程组有51=y ,32=y ,63=y ,44=y ;再解上三角方程组得原方程组的解为11=x ,12=x ,23=x ,24=x ;七. 10分 试用Simpson 公式计算积分 的近似值, 并估计截断误差;解：截断误差为八. 10分 用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x ;解：此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ,而且在区间2,4内;设则 x x f 11)('-=, 21)(''xx f = Newton 法迭代公式为1)ln 1(112ln 1-+=----=+k k k kk k k k x x x x x x x x , ,2,1,0=k 取30=x ,得146193221.34=≈x s ;九. 10分 给定数表求次数不高于5的多项式)(5x H ,使其满足条件 其中,1i x i +-= 3 ,2 ,1 ,0=i ;解：先建立满足条件)()(3i x f x p =, 3,2,1,0=i的三次插值多项式)(3x p ;采用Newton 插值多项式[][]))((,,)(,)()(1021001003x x x x x x x f x x x x f x f x p --+-+=+再设 )2)(1()1)(()()(35--+++=x x x x b ax x p x H ,由 得 解得36059-=a ,360161=b ; 故所求的插值多项式。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析习题集及答案
数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字.8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大这个计算过程稳定吗12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量 a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nkkj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小r 是否唯一 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积19. 用许瓦兹不等式估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A fh --≈-++⎰;(2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baf f x dx b a f a b a 'η=-+-⎰;(2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式和辛普森公式当n →∞时收敛到积分()ba f x dx ⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)8.1xedx-⎰,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =,和处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。
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数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )的二阶导数不变号，则初始点x 0的选取依据为 f(x0)f ”(x0)>0 。
14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。
二、判断题（10×1′）1、 若A 是n 阶非奇异矩阵，则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解。
( × )2、 解非线性方程f (x )=0的牛顿迭代法在单根x *附近是平方收敛的。
( ? )3、 若A 为n 阶方阵，且其元素满足不等式 ),...,2,1( 1n i a a nij j ij ii =≥∑≠=则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。
( × ) 4、 样条插值一种分段插值。
( ? ) 5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
( ? ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。
( ? ) 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX ＝b 。
( × ) 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。
( × ) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。
( ? ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。
( × ) 三、计算题（5×10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-112123454 321321321x x x x x x x x x 解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-1124 12345321321321x x x x x x x x x L 21=1/5=,l 31=2/5= 方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=+-8.152.06.26.1 0.4 2.0123453232321x x x x x x x （,）最大元在第三行，交换第二与第三行：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--=+-6.1 0.4 2.08.152.06.2123453232321x x x x x x x L32==,方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧-==--=+-38466.00.38462 8.152.06.212345332321x x x x x x 回代得：⎪⎩⎪⎨⎧-===00010.1 99999.500005.3321x x x2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4(x )，并写出其截断误差的表达式(设f (x )在插值区间上具有直到五阶连续导数)。
解答： 做差商表P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) R4(x)=f(5)(?)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。
解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优： 雅克比迭代公式：《计算机数学基础(2)》数值分析试题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+=+-=+-3 38 4 65 1 2321432431421x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+=-+-=+-65 8 4 3 3 12431432321421x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+=-+-=+-65 8 4 3 3 12431432321421x x x x x x x x x x x x一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝…a n ×10s (a 1?0)的绝对误差?x *－x ??( )．(A) ×10 s －1－t (B) ×10 s －t (C) ×10s ＋1－t (D) ×10 s ＋t 2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．(A) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------2100121001210012，(B)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2100141101410125 (C) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2100141212410125 (D) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5131141201411124 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P (x )=( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3210320123x x x x (B)⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201232x x x x (C) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3210320123x x x x (D)⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32420123x x x x 4. 等距二点的求导公式是( )(A) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f(B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f(C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f (D)5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是)(211c p k y y y +=+ 那么y p ,y c 分别为( )．(A) ⎩⎨⎧+=+=+),(),(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y y (B)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k ck k k p y x hf y y y x hf y y(C) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=),(),(p k k ck k k p y x f y y y x f y y (D)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k ck k k p y x hf y y y x hf y y 二、填空题(每小题3分，共15分)6. 设近似值x 1,x 2满足?(x 1)=，?(x 2)=，那么?(x 1x 2)= ．7. 三次样条函数S (x )满足：S (x )在区间[a ,b ]内二阶连续可导，S (x k )=y k (已知)，k =0,1,2,…,n ，且满足S (x )在每个子区间[x k ,x k +1]上是 ．8. 牛顿－科茨求积公式∑⎰=≈n k k k bax f A x x f 0)(d )(，则∑=nk k A 0＝ .9. 解方程f (x )=0的简单迭代法的迭代函数?(x )满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：y k +1= ． 三、计算题(每小题15分，共60分)11. 用简单迭代法求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++=+-3612363311420238321321321x x x x x x x x x 的X (3)．取初始值(0,0,0)T ，计算过程保留4位小数．12. 已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶均差f (4，1，3)．13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分⎰+312d 1x x ，计算过程保留4位小数．14. 用牛顿法求115的近似值，取x =10或11为初始值，计算过程保留4位小数． 四、证明题(本题10分)15. 证明求常微分方程初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 在等距节点a =x 0<x 1<…<x n =b 处的数值解近似值的梯形公式为y (x k +1)?y k +1=y k +2h[f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)] 其中h =x k +1－x k (k =0,1,2,…n －1)《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题(每小题3分，共15分) 6. ?x 2?+?x 1? 7. 3次多项式8. b －a 9. ???(x )??r <1 10. y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f h hf (x k ＋1, 1+k y ) ． 三、计算题(每小题15分，共60分)11. 写出迭代格式⎪⎩⎪⎨⎧++--=+++-=+-+=+++3025.05.039090.006363.05.225.0375.00)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x X (0)=(0,0,0)T .⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯-⨯-==+⨯++⨯-==+⨯-⨯+=330025.005.03309090.0006363.05.25.2025.00375.00)1(3)1(2)1(1x x x得到X (1)＝，3，3)T⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯-⨯-==+⨯++⨯-==+⨯-⨯+=0000.130325.05.25.07363.2339090.005.26363.0875.25.2325.03375.00)2(3)2(2)2(1x x x得到X (2)=， 7， 0)T⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯-⨯-==+⨯++⨯-==+⨯-⨯+=6971.0307363.225.0875.25.06045.2319090.00875.26363.04136.35.2125.07363.2375.00)3(3)3(2)3(1x x x 得到X (3)= 4， 6， 6)T . 12. 计算均差列给出．f (0,1,3,4,6)=15f (4, 1, 3)=6 13. f (x )=21x +,h =25.082=．分点x 0=，x 1=，x 2=，x 3=，x 4=，x 5=，x 6=，x 7=，x 8=.函数值：f = 2，f = 8，f = 8，f = 6，f = 1，f = 2，f = 6，f = 2，f = 3．)()([2d )(8031x f x f hx x f +=⎰))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ (9分)=225.0×[ 2+ 3+2× 8+ 8+ 6 + 1+ 2+ 6+ 2)]=× 5+2× 3)= 114. 设x 为所求，即求x 2－115=0的正根．f (x )=x 2－115．因为f ?(x )=2x ，f ?(x )=2，f (10)f ?(10)=(100－115)×2<0，f (11)f ?(11)=(121－115)×2>0取x 0=11．有迭代公式x k +1=x k －)()(k k x f x f '=k k k k k x x x x x 2115221152+=--(k =0,1,2,…) x 1=112115211⨯+＝ 3x 2=3727.10211523727.10⨯+＝ 8 x 3=8723.10211528723.10⨯+＝ 8x *? 8四、证明题(本题10分)15. 在子区间[x k +1,x k ]上，对微分方程两边关于x 积分，得y (x k +1)－y (x k )=⎰+1d ))(,(k kx x x x y x f用求积梯形公式，有y (x k +1)－y (x k )=))](,())(,([211+++k k k k x y x f x y x f h将y (x k ),y (x k +1)用y k ,y k +1替代，得到y (x k +1)?y k +1=y k +2h[f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)](k =0,1,2,…,n －1)数值分析期末试题一、填空题（20102=⨯分）（1)设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251A ，则=∞A ______13_______。