数值分析试题及答案

一、填空题( 每题6分，共30分)

1、辛普生求积公式具有 3 次代数精度，其余项表达式为

4(4)

()(),(,)1802

b a b a f a b ζζ---

∈。 2、2

()1,f x x =+则[1,2,3]1,[1,2,3,4]0f f ==。 3、设()(0,1,2

)j l x j n =是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则

()j i l x =1,,0,i j i j

=⎧⎨≠⎩(,0,1,2

)i j n =；0

()n

j j l x ==∑ 1 。

4、设()(0,1,2

)j l x j n =是区间[,]a b 上的一组n 次插值基函数。则插值

型求积公式的代数精度为 至少是n ；插值型求积公式中求积系数j A =

()b

k

a l x dx ⎰

；且0

n

j j A ==∑ b-a 。

5、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 2.7183 和 8.0000 。

二、计算题(每题10分,共计60分,注意写出详细清晰的步骤) 1、已知函数()y f x =的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x ，并计算1()2

P =的值近似值。（注：要求给出差商表） 解：差商表

由牛顿插值公式：

323332348

()()21,33

141181

()()2()()

12

232232

p x N x x x x p ==

-++≈=-++=

求它的拟合曲线（直线）。 解：设y a bx =+则可得

530052.90

300220003797a b a b +=⎧⎨

+=⎩

于是 1.235,0.15575a b ==，即 1.2350.15575y x =+。

4、已知012113

,,,424

x x x =

== (1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式

1

0120

113

()()()()424

f x dx A f A f A f ≈++⎰

；

(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算1

20

x dx ⎰

。

解：(1)所求插值型的求积公式形如：

1

0120

113

()()()()424

f x dx A f A f A f ≈++⎰

11112000000102111

0211000101210122020213()()()()224();

1113()()3()()

424413()()()()144();1113()()3()()

2424

()()()()(x x x x x x A l x dx dx dx x x x x x x x x x x A l x dx dx dx x x x x x x x x A l x dx x x x ----====--------====-------==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1100111()()242;

3131)3()()

4442

x x dx dx x --==--⎰⎰ 故101113()[2()()2()]3424

f x dx f f f ≈-+⎰。

（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将

34(),f x x x =代入上述公式，可得

1

3333

144440

11113[2()()2()],43424

11113[2()()2()],53424

x dx x dx =

=-+=≠-+⎰⎰

故代数精度是3次。 （3）由2）可得：

1

2

2220

11131[2()()2()]34243

x dx =-+=⎰。 5、用二分法求方程3

()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。 解：6次；*

1.32x ≈。

6、用列主元消去法解线性方程组

1231231

232346,3525,433032.

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩ 解：

234643303243303235253525352543303223462346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/1143303201182380012⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭ 即123123233433032,13,118238,8,2.2.x x x x x x x x x ++==⎧⎧⎪⎪

-=-⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩