数值分析第五版全答案chap1
数值分析chap1 引论
* * ( y*) f ( x*)( x x*) f '( x ) ( x )
f '( x ) ( x ) f '( x ) x r ( x ) r ( y*) * * f (x ) f (x )
* * * * *
多元函数情况 设 y f ( x1 , x2 , , xn ) ，则 y* f ( x1*, x2*, , x n*) 由多元函数的Taylor展开，得
平时50%
考勤10% 课堂讨论30% 课后习题10%
考试50%
笔、习题本 笔记本电脑并安装Matlab 自行组团：每组2-4人
电子秤标定（输出电压由传感器所承受压力决 定）
目前仅有50g，100g，200g，500g标准砝码各一， 如何对500g以内的任意质量的物体给出质量数 据？
相对误差
绝对误差与精确值x的比值
定义1.3
e xx er ( x ) x x
* *
*
* * e ( x 称为相对误差， r ) 简记为 er
x未知时,可用
* * e x x er* * x x*
相对误差限
定义1.4 设存在一个正数
r ，使
e x x er r x x x
解：e =3.141592653…－3.14=0.001592653…<0.005。
e =3.141592653…－3.141=0.000592
-3.141=3.141592…-3.141
≤0.000592
<0.005 =1/2 10-2
算法的评价—性能 vs 价格、产出 vs 投入
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析第五版课后答案2篇
数值分析第五版课后答案2篇数值分析第五版课后答案（一）第一章1.1 机器精度的数值为2^-52 ≈2.22 × 10^-16。
1.2 Example 1.2设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分母为0，无法进行数值计算。
1.3 Example 1.3设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分子为0，因此有f(0) = 0。
1.4 Example 1.4(a) 将x的值从1.8改为1.799，则f(x)的值由-0.000000000000159为0.000000000000313，差值为0.000000000000472。
(b) 我们有f'(x) = sinx/(1 - cosx) - 1/sin^2x。
将x的值从1.8改为1.799，利用f(x)和f'(x)的值可以得到下面的近似式：f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx = -0.000000000000159 + 0.449787416887455×0.001 = -0.000000000000137。
与(a)中的结果相近。
1.5 Example 1.5(a) 当x很接近于0时，函数值的符号取决于cosx的符号，其中cosx接近于1。
因此，函数值为正。
(b) 当x很接近于π时，函数值的大小趋于无穷大，因为分母趋向于0，而分子不为0。
1.6 Example 1.6(a) 因为函数在x = 0处是奇函数，所以它的导数为偶函数。
(b) 首先，我们有f''(0) = -2，因此x = 0是最大值。
其次，我们有f''(x) = -2 - 8sin^2x。
由于-f''(x)在x = 0处是正的，我们有当x越接近0时，f''(x)越小，也就意味着函数在x = 0处是严格的最大值。
1.7 Example 1.7(a) 我们有f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6，f'(x) =3x^2 - 4x - 5和f''(x) = 6x - 4。
数值分析课后答案chap1
∴ ε r (( x*) ) ≈ 0.02 n
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似 数，即误差限不超过最后一位的半个单位， 试 指 出 它 们 是 几 位 有 效 数 字 ：
∫
N +1
N
9．正方形的边长大约为了 100cm，应怎样 测量才能使其面积误差不超过 1cm 2 ？
解：正方形的面积函数为 A( x ) = x 2
∴ y1 = 10 y0 − 1 ∴ ε ( y1*) = 10ε ( y0 *)
又∵ y2 = 10 y1 − 1
∴ ε ( A*) = 2 A *iε ( x*) .
* * * (1)ε ( x1 + x2 + x4 ) * * * = ε ( x1 ) + ε ( x2 ) + ε ( x4 )
又∵ f '( x) = nx n−1 , ∴ C p =| 又∵ ε r (( x*) n) ≈ C p ⋅ ε r ( x*) 且 er ( x*) 为 2
1 1 1 = ×10−4 + ×10−3 + ×10−3 2 2 2 −3 = 1.05 × 10
x = 56.430 , x = 7 ×1.0.
* 解： x1 = 1.1021 是五位有效数字； * x2 = 0.031 是二位有效数字； * x3 = 385.6 是四位有效数字； * x4 = 56.430 是五位有效数字；
≈
1 1 0.031× × 10−3 + 56.430 × ×10 −3 2 2 = 56.430 × 56.430 −5 = 10
数值分析课程第五版课后习题答案
数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。
解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。
对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。
选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。
迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。
b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。
解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。
矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。
c) 使用插值方法求解函数的近似值。
解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。
其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。
课后习题二：a) 解决数值积分问题。
解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。
b) 使用迭代方法求解线性方程组。
解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*11.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q %1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
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第一章 绪 论
1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*
****
r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈
2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()
p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1
||n p x nx C n n
-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅
且(*)r e x 为2
((*))0.02n r x n ε∴≈
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5
7 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字；
*20.031x =是二位有效数字；
*3385.6x =是四位有效数字；
*456.430x =是五位有效数字；
*57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***
124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24
/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：
*4
1*3
2*13*3
4*1
51
()102
1()102
1()102
1()102
1()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯ ***124***1244333
(1)()
()()()
111101010222
1.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143
(2)()
()()()
1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222
0.215
x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈
**24****24422
*4
33
5
(3)(/)()()
110.0311056.430102256.43056.430
10x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=
则何种函数的条件数为
2
3
'4343
p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=
又(*)1r V ε=
故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=
⨯≈
6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）
计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？
解：1n n Y Y -=-
10099Y Y ∴=-
9998Y Y =
9897Y Y =-……
10Y Y =-
依次代入后，有1000100Y Y =-
即1000Y Y =
27.982, 100027.982Y Y ∴=-
*310001()()(27.982)102
Y Y εεε-∴=+=⨯ 100Y ∴的误差限为31102
-⨯。
7．求方程2
5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。
解：25610x x -+=，
故方程的根应为1,228x =
故 1282827.98255.982x =≈+= 1x ∴具有5位有效数字
211280.0178632827.98255.982
x =-=≈=≈+ 2x 具有5位有效数字
8．当N 充分大时，怎样求1
211N N dx x
++⎰？
解 1
2
1arctan(1)arctan 1N N dx N N x +=+-+⎰ 设arctan(1),arctan N N αβ=+=。
则tan 1,tan .N N αβ=+=
1
2211arctan(tan())
tan tan arctan 1tan tan 1arctan 1(1)1arctan 1
N N dx
x N N N N
N N αβαβαβαβ
++=-=--=++-=++=++⎰ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2
1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴= .
当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21(*)102
x ε-≤⨯ 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm
10．设212
S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：21,02
S gt t => 2(*)(*
)S g t t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加
2*2*(*)
(*)*
(*)1()2
(*)2r S S S gt t g t t t
εεεε===
当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。
11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),
若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
解：0 1.41y =≈
201(*)102
y ε-∴=⨯ 又1101n n y y -=-
10101y y ∴=-
10(*)10(*)y y εε∴=
又21101y y =-
21(*)10(*)y y εε∴=
220(*)10(*)
......y y εε∴=
10100102
8
(*)10(*)
1101021102
y y εε-∴==⨯⨯=⨯
计算到10y 时误差为81102
⨯，这个计算过程不稳定。
12
．计算61)f =
≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
,
3(3-,
，
99- 解：设6(1)y x =-，
若x =* 1.4x =，则*11102
x -ε()=⨯。
计算y 值，则
***7***7**1(1)6(1)
y x x y x x y x ε()=--6⨯
ε()+ =ε()+ =2.53ε()
若通过3(3-计算y 值，则
**2******(32)632y x x y x x
y x ε()=-3⨯2⨯-ε()
=
ε()- =30ε()
计算y 值，则 ***4***7**1(32)
1(32)
y x x y x x y x ε()=--3⨯ε()+ =6⨯ε()+ =1.0345ε()
计算后得到的结果最好。
13
．()ln(f x x =,求(30)f 的值。
若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多
大？若改用另一等价公式。
ln(ln(x x =-
计算，求对数时误差有多大？
解
()ln(f x x =
, (30)ln(30f ∴=
设(30)u y f ==
则*
u =29.9833 *412
u -∴ε()=⨯10 故
****3
10.0167
y u u u -1ε()≈-
ε()30- =ε() ≈3⨯10 若改用等价公式
ln(ln(x x =-
则(30)ln(30f =- 此时，
****7159.9833
y u u u -1ε()=∣-
∣ε()30+ =⋅ε() ≈8⨯10。