数值分析试卷及其答案
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题1. 下列哪个方法不适合用于求解非线性方程的根？A. 二分法B. 牛顿法C. 弦截法D. 正割法2. 当使用二分法求解非线性方程的根时，需要满足的条件是：A. 函数f(x)在区间[a, b]上连续B. 函数f(x)在区间[a, b]上单调递增C. 函数f(x)在区间[a, b]上存在根D. 函数f(x)在区间[a, b]上可导3. 数值积分是通过将定积分转化为求和的方法来近似计算积分值的过程。
下列哪个方法是常用的数值积分方法？A. 矩形法则B. 辛普森规则C. 梯形规则D. 高斯-勒让德法则4. 龙格-库塔法是常用于求解常微分方程的数值解法。
以下哪个选项是描述龙格-库塔法的特点？A. 该方法是一种多步法B. 该方法是一种多项式插值法C. 该方法是一种单步法D. 该方法是一种数值积分法5. 用有限差分法求解偏微分方程时，通常需要进行网格剖分。
以下哪个选项是常用的网格剖分方法？A. 多边形剖分法B. 三角剖分法C. 矩形剖分法D. 圆形剖分法二、解答题1. 将函数f(x) = e^x 在区间[0, 1]上用复化梯形规则进行数值积分，分为6个子区间，求得的近似积分值为多少？解：将区间[0, 1]等分为6个子区间，每个子区间的长度为h = (1-0)/6 = 1/6。
根据复化梯形规则的公式，近似积分值为：I ≈ (1/2) * h * [f(0) + 2f(1/6) + 2f(2/6) + 2f(3/6) + 2f(4/6) + 2f(5/6) +f(1)]≈ (1/2) * (1/6) * [e^0 + 2e^(1/6) + 2e^(2/6) + 2e^(3/6) + 2e^(4/6) +2e^(5/6) + e^1]2. 使用二分法求解方程 x^3 - 3x + 1 = 0 在区间[1, 2]上的根。
要求精确到小数点后三位。
解：首先需要判断方程在区间[1, 2]上是否存在根。
数值分析版试题及答案
求f (x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解：(1)由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为(2)—阶均差、二阶均差分别为均差表为故所求Newton二次插值多项式为例2、设f(x) x2 3x 2 , x ［0,1］，试求f(x)在［0,1］上关于(x)1, spa n 1 ,x 的最佳平方逼近多项式。
解：若span 1,x,贝卩o(x) 1, i(x) x,且(x) 1,这样，有所以，法方程为123 4 123■——i2 a o6,经过消兀得 2 a o61 1 ai9 1 6 U |1234123再回代解该方程，得到印4, ao-6 故，所求最佳平方逼近多项式为S； (x) 口4x6例3、设f(x) e x, x [0,1],试求f(x)在[0, 1 ]上关于(x)1 ,方逼近多项式。
解：若span 1,x,贝卩o(x) 1, i(x) x,这样，有所以，法方程为解法方程，得到ao 0.8732, a ( 1.6902,故，所求最佳平方逼近多项式为9例4、用n 4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分.xdx。
1解：(1) 用n4的复合梯形公式由于h 2, f x xk 1 2k k(2) 用n4的复合辛普森公式由于h 2, f x x, xk 1 2k k1,2,3, Xi 2 2k k 0,1,2,3,所以，有k 一例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
span 1,x的最佳平1,2,3,所以，有解：先消元再回代，得到X3 3，X2 2, 1所以，线性方程组的解为XJ, X22, X33例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
解：则由A LU的对应元素相等，有1u ii u12 , u135 6因此,yi 解Ly b,即一 13 0 y29% 得yi 9, y2 4, y3 1544 解Uxy,即00 60xi177.69, x2 476.92,为227.08451315154'21 '31u11 131121u12 u22 u2260 121u13 u23 u2345I31U12 I32U22 132 36 '31u13 '32u23 u33 u33 13 15一成立O2、当n 8时， Newton — cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析版试题及答案
数值分析版试题及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-例1、已知函数表求()f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解：（1）由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为故所求Newton 二次插值多项式为例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有 所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、（本题5分）试确定722作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。
解 因为 722=3.142857…=1103142857.0-⨯π=3.141592… 所以31210211021005.0001264.0722--⨯=⨯=<=-π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知722作为π的近似值具有3位有效数字。
（1分） 而相对误差限310210005.00004138.0001264.0722-⨯=<≈=-=πππεr （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--654131*********x x x ；解 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111111131321112323121321323121l l l d d d l l l LDL A T由矩阵乘法得：57,21,21527,25,2323121321-==-==-==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T1,-==解得 T T x y )923,97,910(,)563,7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321321431x x x x x x x x x x x x x x1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式；2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++)2217()8()2323(8)311(10)57()(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x （2分）Gauss-Seidel 迭代格式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++++++++7)2217()8()2323(8)311(10)57()1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k xxxx x xx x x x x x x x （2分）2）由于所给线性方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=72211823038151010A 是严格对角占优的，所以Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式均是收敛的。
（2分）4、（本题6分）已知方程08.023=--x x在5.10=x 附近有一个根。
将此方程改写成如下2个等价形式：8.0,8.0332-=+=x x x x构造如下两个迭代格式：1） ,2,1,0,8.0321=+=+k x x k k 2） ,2,1,0,8.031=-=+k x x k k判断这两个迭代格式是否收敛；解 1）记328.0)(x x +=ϕ，则322)8.0(32)('x xx +=ϕ，14755.005.31)5.18.0(1)5.18.0(35.12)5.1('32322322<==+=+⨯=ϕ （2分） 所以该迭代格式是局部收敛的。
（1分） 2）记8.0)(3-=x x ϕ，则8.023)('32-=x x x ϕ，1103.28.05.125.13)5.1('32>=-⨯=ϕ （2分）所以该迭代格式是发散的 （1分） 5、（本题6分）设23)()(a x x f -= （1）写出解0)(=x f 的牛顿迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。
解 （1）因23)()(a x x f -=，故)(6)('32a x x x f -=，由牛顿迭代公式 )(')(1n n k k x f x f x x -=+， ,1,0=k （1分）得kk k k k k k x ax a x x a x x x 665)(6)(32231+=---=+， ,1,0=k （2分） （2）因迭代函数2665)(x ax x +=ϕ， 3365)('xax -=ϕ， （1分）3*a x = 故021)(365)('33*≠=-=a a x ϕ 此牛顿迭代格式是线性收敛的。
（2分）6、（本题9分）给定数据（1） 写出)(x f 的3次Lagrange 插值多项式)(3x L ； （2） 写出)(x f 的3次Newton 插值多项式)(3x N ； 解 （1）由题意知5,3,2,03210====x x x x2)(,4)(,3)(,1)(3210=-=-==x f x f x f x f +------=))()(())()(()()(30201032103x x x x x x x x x x x x x f x L+------))()(())()(()(3121013201x x x x x x x x x x x x x f+------))()(())()(()(3212023102x x x x x x x x x x x x x f))()(())()(()(2313032103x x x x x x x x x x x x x f ------ （3分）+------⨯-+------⨯=)52)(32)(02()5)(3)(0()3()50)(30)(20()5)(3)(2(1x x x x x x)35)(25)(05()3)(2)(0(2)53)(23)(03()5)(2)(0()4(------⨯+------⨯-x x x x x x )5)(3(21)5)(3)(2(301-------=x x x x x x )3)(2(151)5)(2(32--+--+x x x x x x （2分） （2）用牛顿插值公式，构造差商表（3分）则有)3)(2)(0(5)2)(0(3)0(21)(3---+--+--=x x x x x x x N )3)(2(51)2(3121--+-+-=x x x x x x （1分）7、（本题6分）作一个5次多项式)(x H 使得2)4(',1)2(',2)1('3)4(,1)2(,3)1(====-==H H H H H H解 构造有重节点的牛顿插商表（4分） 则有)2()1(11)1(6)1(23)(22--+---+=x x x x x H )4()2()1(3655)2()1(6252222---+---x x x x x （2分）8、（本题6解 设x x y y =-=-3,14，则上表可化为这时，取2210)(,)(,1)(x x x x x ===ϕϕϕ，并设所求二次多项式为)()()()(2*21*10*0*2x a x a x a x ϕϕϕϕ++=，容易得到71),(33200==∑-=i ϕϕ，0),(3310==∑-=i i x ϕϕ，28),(33220==∑-=i i x ϕϕ28),(33211==∑-=i ixϕϕ，0),(33321==∑-=i ix ϕϕ，196),(33422==∑-=i i x ϕϕ4),(330==∑-=i iy y ϕ，5),(331==∑-=i i i y x y ϕ，31),(3322==∑-=i i i y x y ϕ （3分）得正规方程组如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+==+31196285284287*2*0*1*2*0a a a a a 解得285,285,71*2*1*0==-=a a a 即228528571x x y ++-= （2分）回代得2)3(285)3(2857114-+-+-=-x x y （1分）9、（本题5分）给定求积节点,43,4110==x x 试推出计算积分⎰10)(dx x f 的插值型求积公式解 由于43,4110==x x所以 )34(21434143)(0--=--=x x x l （1分）)14(214441)(1-=--=x x x l （1分） 21)34(21)(101000=--==⎰⎰dx x dx x l A （1分）21)14(21)(101011=-==⎰⎰dx x dx x l A （1分）故求积公式为)]43()41([21)(10f f dx x f +≈⎰ （1分）10、（本题6分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：⎰91dx x 4=n解 （1）用梯形公式 4=n ，2419=-=h 2277402.17)]9()(2)1([2314≈++=∑=f x f f hT i i （3分）（2）用辛普森公式332087.17)]9()(2)(4)1([63130214≈+++=∑∑==+f x f x f f hS i i i i （3分）11、（本题8分）求高斯型求积公式)()()(11001x f A x f A dx x f x +≈⎰的系数.,,1010x x A A 及节点解 令为权的二次正交多项式构造以x x x x =∈=)(],1,0[,1)(0ρϕ： )()()()()()()(01122011x x x x x x x ϕβϕαϕϕαϕ--=-= （1分）由53),(),(1112100001===⎰⎰dxxxdx x x ϕϕϕϕα 得 53)(1-=x x ϕ再由5111111.04523)5()53(),(),(10221210111112≈=--==⎰⎰dxx x dxx x x x ϕϕϕϕα （2分） 06857.017512)53(),(),(1211022100111≈=-==⎰⎰dxx dxx x ϕϕϕϕβ （1分）得23809666.011111.106857.0)53)(4523()(22+-=---=x x x x x ϕ 所以0)(2=x ϕ的根为821159.0,289951.010==x x （2分）389112.0)(277555.0)(110101111011000≈--==≈--==⎰⎰⎰⎰dx x x x x x dx x l x A dx x x x x xdx x l x A （2分）12、（本题6分）设)(x f 为k 次多项式，n x x x x ,,,210为1+n 个互异点，)(x L n 为)(x f 的n 次插值多项式。