四川省成都七中2014届下学期高三年级三诊模拟考试数学试卷(文科) 有答案
成都七中 2019—2020 学年下期高三三诊模拟考试文科数学试题答案
2. 于是| F M | 1 2
t2 3t 3 1
t
2
t 3 3. t
因为 t 3 在[1, 3) 单调递减,在 ( 3, 3 2 2) 单调递增. t
又当 t 1时,| F M | 1 ；当 t 2
3 时用,| FM | 使
2 33 ； 2
当t 32
2
时, |
F M
|
2 2学1 八中2
成都七中 2020 届高中毕业班三诊模拟
数 学(文科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.B； 2.A； 3.C； 4.D； 5.A； 6.A； 7.B； 8.C； 9.D； 10.B； 11.C； 12.A.
第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分)
1. 2
所以| F M | 的取值范围三为十[ 第
2 33,2 2
2 1). 2
市
22.解：(1)消去都参数 得 (x 2)2 y2 3( y 0) 将 x cos , y sin 代入得
( cos 省2成)2 ( sin )2 3, 即 2 4 cos 1 0.
所以四曲线川C 供
6分
2
3
(2)因为 a 7,b 2, A π , 3
由余弦定理得 7 2 22 c2 2 2 c cos π , 即 c2 2c 3 0.又 c 0 ,所以 c 3. 3
故 ABC 的面积为 1 bc sin A 1 2 3 sin π 3 3 .
2
2
32
12 分
18.解：(1)得分[20, 40) 的频率为 0.005 20 0.1 ；得分[40, 60) 的频率为 0.010 20 0.2 ；
高三数学(文科)：成都七中学2024届高三下学期二诊模拟考试试题和答案
2023—2024学年度下期高2024届二诊模拟考试文科数学试卷第I 卷（选择题）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合32,1,0,1,2log (3)A B x y x ，，则A B ∩（）A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1,0}D.{0,1}2.空间中有平面 和直线a ，b ，若//a ，//a b ，则下列说法中一定错误的是（）A.直线b 平行于平面B.直线b 在平面 内C.直线b 与平面 交于一点D.直线a 和b 共面3.已知i 是虚数单位，a R ，则“ 2i 2i a ”是“21a ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90 ”，下列假设中正确的是（）A.假设有两个内角超过90B.假设四个内角均超过90C.假设至多有两个内角超过90D.假设有三个内角超过905.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在 50,100内，将其分成5组： 50,60、 60,70、 70,80、80,90、 90,100，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间 80,90内的人数为（）A.10B.20C.30D.406.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()3x f x B.cos ()3xf x C.sin 1()3xf xD.cos 1()3xf x7.已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2,1)(4, ，，则下列结论中错误的是（）A.E 的标准方程为2212x y B.E 的离心率等于62C.E 与双曲线22124y x 的渐近线不相同D.直线10x y 与E 有且仅有一个公共点8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为 （045 ），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan 的值为（）A.2524 B.2425 C.43D.349.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若sin sin 2A Ca b A ，6S AC，则ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形10.若函数 e ln xf x x x 的最小值为m ，则函数()e 1ln e x g x x x +=-的最大值为（）A.1mB.e 1m -+C.1mD.e 1m --11.在四棱锥P ABCD 中，PA 平面,ABCD AB BC ，且45,4PDA AD CD .若点,,,,P A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的体积的最小值为（）A.32π3B.C.π27D.2712.已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a，没有极值点，则1ba 的最大值为（）A.2 B.e 2C.eD.2e 2第II 卷（非选择题）二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数00，x y ，若231x y ，则21x y的最小值为______．14.已知圆C 的圆心与抛物线28y x 的焦点关于直线y x 对称，直线230x y 与圆C 相交于,A B两点，且||2AB ，则圆C 的方程为______．15.已知直线l 经过点(0,1)P，且被两条平行直线110l y和250l y截得的线段长为，则直线l 的方程为______．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为23.若A 和B 为椭圆C 上在x轴上方的两点，且122BF AF，则直线2AF 的斜率为______．三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列 n a 的首项10a ，公差为(0)n d d S ，为 n a 的前n 项和，n n S a为等差数列．（1）求1a 与d 的关系；（2）若11n a T ，为数列11n n a a的前n 项和，求使得89n T 成立的n 的最大值．18.在四棱锥P ABCD 中，已知AB ,CD AB AD，,222,2,BC PA AB AD CD PA PC E 是线段PB 上的点.（1）求证：PC 底面ABCD ；（2）是否存在点E 使得三棱锥P ACE 的体积为49？若存在，求出BE BP的值；若不存在，请说明理由.19.2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实､精准､迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏､强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲､包容､韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展､中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片I 有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片I 的前三道工序的次品率分别为123111,,504948P P P .求生产该芯片I 的前三道工序的次品率I P ；（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片II.某手机生产厂商获得芯片I 与芯片II ，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片I 的有40部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片II 的有60部，其中对开机速度满意的占1415.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取2人进行座谈，求抽到2人中对安装芯片II 的手机开机速度满意的人数为1的概率.20.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b的离心率为12，短轴长为(1,0)P 斜率存在且不为0的直线l 与椭圆有两个不同的交点A B ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆左右顶点为M N ，，设AB 中点为Q ，直线OQ 交直线4x 于点 BN AM PR R k k k ，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．21.已知函数 211ln ln 122f x x x ax x，其中0a .（1）当2a 时，求函数 f x 的单调区间；（2）若 0f x ，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t（t 为参数，π02 ），把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出1C ，2C 的极坐标方程；（2）若曲线3C 的极坐标方程为8sin ，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B （A ，B 与点O 不重合），求AOB 面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数 211f x x x 的最小值为m ．（1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足5222a b c m，证明：22291a b c ．2023—2024学年度下期高2024届二诊模拟考试文科数学试卷第I 卷（选择题）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合32,1,0,1,2log (3)A B x y x ，，则A B ∩（）A.{0,1,2} B.{1,2}C.{1,0}D.{0,1}【答案】A 【解析】【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可.【详解】由0003303x x x x x，所以3log (3)03B x y x x x，故 0,1,2A B ∩，故选：A2.空间中有平面 和直线a ，b ，若//a ，//a b ，则下列说法中一定错误的是（）A.直线b 平行于平面B.直线b 在平面 内C.直线b 与平面 交于一点D.直线a 和b 共面【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行及两直线平行得到b 与平面 平行或直线b 在平面 内，根据//a b ，可得直线a 和b 共面，从而判断出答案.【详解】因为//,//a a b ，所以b 与平面 平行或直线b 在平面 内，AB 正确，C 错误；因为//a b ，所以直线a 和b 共面，D 正确.故选：C3.已知i 是虚数单位，a R ，则“ 2i 2i a ”是“21a ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由 2i 2i a 结合复数相等求出a 的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若22i 12i 2i a a a ，且a R ，则2122a a，解得1a ，所以，“ 2i 2i a ”是“21a ”的充分不必要条件.故选：A.4.用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90 ”，下列假设中正确的是（）A.假设有两个内角超过90B.假设四个内角均超过90C.假设至多有两个内角超过90D.假设有三个内角超过90【答案】B 【解析】【分析】根据反证法的定义.【详解】平面四边形中至少有一个内角不超过90 的反面含义为4个内角没有一个不超过90 ，即四个内角均超过90 ，故选:B.5.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在 50,100内，将其分成5组： 50,60、 60,70、 70,80、80,90、 90,100，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间 80,90内的人数为（）A.10B.20C.30D.40【答案】C 【解析】【分析】根据频率分布直方图可求出成绩落在区间 80,90内的人数.【详解】由频率直方图可知，成绩落在区间 80,90内的人数为10010.010.0150.040.0051030 .故选：C.6.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()3xf x B.cos ()3xf C.sin 1()3xf xD.cos 1()3xf x【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.【详解】由函数图象可知，()y f x 的图象不关y 轴对称,而cos cos ()33x x f x f x ，cos cos 11()33x xf x f x，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy 为单调递增函数，13xy为单调递减函数，由sin y x 的图象可知存在一个极小的值00x ，使得sin y x 在区间 00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x 在区间 00,x 上单调递增，sin 1()3xf x在区间 00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x 符合题意，故选：A .7.已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2,1)(4, ，，则下列结论中错误的是（）A.E 的标准方程为2212x y B.E的离心率等于2C.E 与双曲线22124y x 的渐近线不相同D.直线10x y 与E 有且仅有一个公共点【答案】C 【解析】【分析】分别设出焦点在x 轴上和在y 轴上的双曲线方程求解即可求出双曲线E 的标准方程，根据离心率和渐近线方程的公式可求出离心率的值和渐近线方程，将直线方程和双曲线方程联立利用判别式即可判断双曲线和直线交点个数.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为 222210,0x ya b a b，则22224111671a b a b ，解得2221a b ，此时E 的标准方程为2212x y ，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为 222210,0y xa b a b，则22221417161a b a b，解得2212a b （舍去），此种情况不成立，则A 正确；∵2223c a b，∴62ce a，则B 正确；双曲线2212x y的渐近线为2b y xa ，双曲线22124y x 的渐近线为22a y xb ，即两者的渐近线相同，则C 错误；将直线10x y 与双曲线2212xy 联立得2440x x ，244140 ，∴直线10x y 与E 有且仅有一个公共点，则D 正确；故选：C .8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为 （045 ），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan 的值为（）A.2524B.2425C.43D.34【答案】D 【解析】【分析】设大正方形ABCD 的边长为a ，求出小正方形EFMN 的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得242sin cos 25，再利用弦化切求解可得答案.【详解】如图，设大正方形ABCD 的边长为a ，则小正方形EFMN 的边长为cos sin AF AE AF BF a a ，所以小正方形与大正方形面积之比为222cos sin 1cos sin 25a a a，化简得242sin cos 25，且π04 ，由2222sin cos 2tan 242sin cos sin cos tan 125，解得3tan 4.故选：D.9.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若sinsin 2A Ca b A ，6S AC，则ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B ；利用面积公式与向量数量积的定义求得A ，从而得解【详解】因为sin sin 2A C a b A ，所以πsin sin sin sin 2BA B A ，因为0πA ，所以sin 0A ，所以cos sin 2B B ，所以cos 2sin cos 222B B B；因为0πB ，所以π022B ，所以cos 02B ，所以1sin 22B ，所以π26B ，所以πsin 3B ，因为6S AC ，所以16sin cos cos 2bc A AC A A ，所以tan 3A ，因为0πA ，所以πtan 6A ，所以ππππ362C ，则ABC 是直角三角形，故选：B10.若函数 e ln xf x x x 的最小值为m ，则函数()e 1ln e x g x x x +=-的最大值为（）A.1mB.e 1m -+C.1mD.e 1m --【答案】A 【解析】【分析】分析函数解析式，发现函数 f x 与函数 g x 的变换关系，由此即可推断函数e 1()ln e x g x x x +=-的最大值.【详解】()e ln x f x x x =-，0x ，令e x x =有： e 1e e ln e eln 1xx f ex x x x x ，则 e 1f x g x ，即 e 1g x f x ，由此知 g x 的函数图象为： f x 的图象通过横坐标变为原来的1e，纵坐标不变，得到 e f x ，再关于x 轴对称，得到 e f x ，最后再向下平移一个单位，得到 e 1g x f x ；根据已知条件函数()e ln x f x x x =-的最小值为m ，由此可知函数e 1()ln e x g x x x +=-的最大值为1m .故选：A11.在四棱锥P ABCD 中，PA 平面,ABCD AB BC ，且45,4PDA AD CD .若点,,,,P A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的体积的最小值为（）A.32π3B. C.π27 D.27【答案】C 【解析】【分析】根据题设易得AC 是四边形ABCD 外接圆的直径，利用线面垂直的性质、判定证,,PA BC PA CD PA AC ，进而得到,,PBC PCD PCA 是以PC 为斜边的直角三角形，即PC 中点O 为外接球球心，令PA AD x 且04x ，求得外接球半径关于x 的表达式，求其最小值，即可求球体最小体积.【详解】由题设，,,,A B C D 在一个圆上，故180ADC ABC ，又AB BC ，所以90ADC ，即AD CD ，故AC 是四边形ABCD 外接圆的直径，由PA 平面ABCD ，,,,AD BC CD AC 平面ABCD ，则,,,PA AD PA BC PA CD PA AC ，由PA AB A ∩，,PA AB 面PAB ，则BC 面PAB ，PB 面PAB ，则BC PB ，由PA AD A ，,PA AD 面PAD ，则CD 面PAD ，PD 面PAD ，则CD PD ，则45PDA ，又PA AD ，故tan 1PAPDA AD，即PA AD ，令PA AD x 且04x ，则4CD x ，AC，且,,PBC PCD PCA 都是以PC 为斜边的直角三角形，故PC 中点O 为外接球球心，所以外接球半径122PC R 所以当43x时，min 123R ，此时球O的体积的最小值为34ππ3327.故选：C.【点睛】关键点点睛：确定AC 是四边形ABCD 外接圆的直径，PC 中点O 为外接球球心为本题的关键，由此即可顺利得解.12.已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a，没有极值点，则1ba 的最大值为（）A.e 2 B.e 2C.eD.2e 2【答案】B 【解析】【分析】转化为1()e 01xf x x b a恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到 ln 1111a b a a ，故 2ln 1111a b a a ，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.【详解】函数21e 21xf x x bx a没有极值点，1()e 01x f x x b a，或()0f x 恒成立，由e x y 指数爆炸的增长性，()f x 不可能恒小于等于0，1()e 01x f x x b a恒成立．令 1e 1xh x x b a ，则 1e 1x h x a，当10a 时， 0h x 恒成立， h x 为R 上的增函数，因为 e 0,x是增函数， 1,1x b a也是增函数，所以，此时 (),h x ，不合题意；②当10a 时， 1e 1xh x a为增函数，由 0h x 得 ln 1x a ，令 0ln 10ln 1h x x a h x x a ，，h x 在 ln 1a ，上单调递减，在 ln 1a ，上单调递增，当 ln 1x a 时，依题意有minln 11ln 1011a h x h ab a a ，即 ln 1111a b a a，10a ∵，2ln 1111a ba a ，令1(0)a x x ， 20u x x x ，则 43ln 122ln 1x x xx u x xx，令00u x x0u x，解得x所以当x u x取最大值.2eu故当1a，2b，即1e a，2b时，1b a 取得最大值e .2综上，若函数 h x 没有极值点，则1ba 的最大值为e .2故选：B.【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解.第II 卷（非选择题）二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数00，x y ，若231x y ，则21x y的最小值为______．【答案】77 【解析】【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.【详解】由00，x y ，2121216212343y xx y x y x y x y x y77 ，当且仅当62y x x y，即6333x y时，等号成立，所以21x y的最小值为为7故答案为：7 .14.已知圆C 的圆心与抛物线28y x 的焦点关于直线y x 对称，直线230x y 与圆C 相交于,A B两点，且||2AB ，则圆C 的方程为______．【答案】22(2)6x y 【解析】【分析】根据圆心与焦点关于直线y x 对称，求得圆心坐标，在此基础上由直线230x y 与圆C 相交的弦长求得圆的半径.【详解】由28y x 的焦点坐标 2,0关于直线y x 的对称点为 0,2，所以圆C 的圆心为 0,2，设半径为r ，点C 到直线230x y 的距离为d，则d所以22222162AB r d，所以圆C 的方程为： 2226x y ，故答案是： 2226x y.15.已知直线l 经过点(0,1)P，且被两条平行直线110l y和250l y截得的线段长为，则直线l 的方程为______．【答案】(210x y或(210x y 【解析】【分析】直线l 分斜率存在和不存在两种情况讨论；当斜率不存在时直线l 是y 轴，求交点坐标即可；当直线l 的斜率存在时，设定直线l 的方程并与直线12,l l 的方程联立求交点，满足弦长即可.【详解】若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为：0x ＝，此时与12,l l 的交点分别为(0,1) 和(0,5) ，截得的线段的长为：5(1)4 ，不符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为：1y kx ，解方程组110y kx y，得点A ，解方程组150y kx y，得点B .由AB，得228 ，即210k ，解得：2k ，则直线l 的方程为：(210x y 或(210x y .故答案是：(210x y 或(210x y .16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为23.若A 和B 为椭圆C 上在x轴上方的两点，且122BF AF，则直线2AF 的斜率为______．【解析】【分析】由离心率为23，得到,a b 间的关系，椭圆方程变为2222915x y a a，借助椭圆的对称性，将关系式122BF AF转化直线2AF 与椭圆的位置关系，设直线2AF 的方程，联立椭圆方程，用韦达定理解决问题即可.【详解】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b，由椭圆的离心率为23c a ，得23c a ，代入222a b c ，得：2259a b ，则椭圆C 的方程为：2222915x y a a，其左、右焦点分别为1222(,0),(,0)33F a F a，如图所示：若A 和B 为椭圆C 上在x 轴上方的两点，且122BF AF，设直线21,AF BF 与椭圆C 的另一个交点分别为,D C ，由椭圆的对称性，可得：AD BC，12BF F D ，12F A C F，即222F D AF，显然直线2AF 的斜率定存在，否则直线2AF 垂直x 轴时2F 为线段AD 的中点，因为点A 在x 轴上方，直线2AF 的斜率不为零，设直线2AF 的方程为2()3y k x a，1122(,),(,)A x y D x y ，联立方程组：22222()3915y k x a x y a a，得：2222945(1)0539k y kay k a，221212224539,991155ka k a y y y y k k （*），由于222F D AF，则2112(0)y y y ，（*）式即为：22211224539,2991155ka k a y y k k ，消掉1y 后，可得：2222243(9115529915ka k k a k ，化简可得：23k ，由于10y ，0a ，且1243915ka y k ，得0k ，所以k三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列 n a 的首项10a ，公差为(0)n d d S ，为 n a 的前n 项和，n n S a为等差数列．（1）求1a 与d 的关系；（2）若11n a T ，为数列11n n a a的前n 项和，求使得89nT 成立的n 的最大值．【答案】（1）10a d （2）7【解析】【分析】（1）由n n S a为等差数列可得3212132S S S a a a ，即可得到1a 与d 的关系;（2）由裂项相消法得到n T ，再解不等式即可求得n 的最大值.【小问1详解】因为n n S a为等差数列，所以3212132S S S a a a ，即121232321a a a a a a a，从而得到 1111223312a d a da d a d，化简得10,0a d d d ∵，所以10,0a d d .【小问2详解】当1101a d a ，时，11111,(1)1n n n a n a a n n n n ，所以111111*********n T n n n，解得8n ，又因为*N n ，所以n 的最大值7．18.在四棱锥P ABCD 中，已知AB ,CD AB AD，,222,2,BC PA AB AD CD PA PC E 是线段PB 上的点.（1）求证：PC 底面ABCD ；（2）是否存在点E 使得三棱锥P ACE 的体积为49？若存在，求出BE BP的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在点E 使得三棱锥P ACE 的体积为49，且13BE BP 【解析】【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理求得BC ，由222AB AC BC ，得到BC AC ，再由BCPA得到BC 平面PAC ，从而BC PC ，然后由222PA AC PC 得到PC AC ，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）易知49P ACE P ACB E ACB V V V ，设BE BP ，由1111432329AC BC PC AC BC PC 求解.【小问1详解】证明：在ADC △中，1,90AD DC ADC ，所以AC在ABC 中，2,45AC AB BAC，由余弦定理有：22222cos45422222BC AB AC AB AC ，所以222AB AC BC ，所以90ACB ，所以BC AC ，又因为,,BC PA PA AC A PA AC ､平面PAC ，所以BC 平面PAC ，因为PC 平面PAC ，所以BC PC ，在PAC △中：2,AC PC PA 222PA AC PC ，所以PC AC ，因为,AC BC C AC BC ､平面ABCD ，所以PC 面ABCD .【小问2详解】因为49P ACE P ACB E ACB V V V ，设BEBP ，1111432329AC BC PC AC BC PC ，111142232329 ，13，因此，存在点E 使得三棱锥P ACE 的体积为49，且13BE BP .19.2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实､精准､迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏､强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲､包容､韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展､中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片I 有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片I 的前三道工序的次品率分别为123111,,504948P P P .求生产该芯片I 的前三道工序的次品率I P ；（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片II.某手机生产厂商获得芯片I 与芯片II ，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片I 的有40部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片II 的有60部，其中对开机速度满意的占1415.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取2人进行座谈，求抽到2人中对安装芯片II 的手机开机速度满意的人数为1的概率.【答案】（1）1350P （2）815P 【解析】【分析】（1）由对立事件概率的关系即可求解；（2）先按分层抽样得出所抽取的6人中，手机安装芯片I 的有2人，手机安装芯片II 的有4人，结合超几何分布的概率计算公式即可求解.【小问1详解】I 12349484731111150494850P P P P.【小问2详解】对安装芯片I 的手机开机速度满意的人数为4070%28 ，对安装芯片II 的手机开机速度满意的人数为14605615，所以采用分层抽样的方法的抽样比为1:2，故所抽取的6人中，手机安装芯片I 的有2人，手机安装芯片II 的有4人，所以抽到2人中对安装芯片II 的手机开机速度满意的人数为1的概率为112642C C 8C 15P .20.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b的离心率为12，短轴长为(1,0)P 斜率存在且不为0的直线l 与椭圆有两个不同的交点A B ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆左右顶点为M N ，，设中点为Q ，直线OQ 交直线4x 于点 BN AM PR R k k k ，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．【答案】（1）22143x y （2）是定值，为34【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，求出,a b 的值，可得所求椭圆的标准方程；（2）由题设出直线AB 的方程1x ty ，与椭圆方程联立可得根与系数关系，求得点Q 坐标，以及点R 坐标，表示出,,AM BN PR 的斜率代入结合根与系数关系消元运算得解.【小问1详解】由题意：222122c a b a b c，解得：21a b c 故所求椭圆的标准方程为：22143x y ．【小问2详解】如图：因为直线AB 斜率不为0，设其方程为：1x ty，代入椭圆方程：223412x y ，得：223(1)4120ty y ，整理得：2234690t y ty ．设 1122,,A x y B x y ，，则显然0 ，则122634ty y t，122934y y t 212122268223434t x x t y y t t ∵ 2243,3434t Q t t，则直线OQ 方程为34t y x ，令4x ，得3y t ，则(4,3),(1,0)R t P ∵，则PR k t ，112AM y k x，222BN y k x ，212121212213BN AM PR y y y y k k k t t x x ty ty22221222212212129931334181233334t ty t y y ty t t t y y ty ty ty ty t ，又122634ty y t 代入得2222222222222299993333434.618121212434343434BN AMPR t t ty ty t t k k k t t t ty t y ty t t t所以 BN AM PR k k k 为定值34．【点睛】关键点点睛：本题第二问考查直线与椭圆的综合问题.求出PR k t ，112AM y k x，222BN y k x ，代入化简，注意利用韦达定理，方程1x ty 将12,x x 代换成12,y y ，再利用122634ty y t ，将1y 代换为2y ，消元运算可得答案.21.已知函数 211ln ln 122f x x x ax x，其中0a .（1）当2a 时，求函数 f x 的单调区间；（2）若 0f x ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数 f x 的增区间为 0,1、 2, ，减区间为1,2（2）321e ,4【解析】【分析】（1）当2a 时，求得 2ln f x x x ，利用函数的单调性与导数关系可求得函数 f x 的增区间和减区间；（2）推导出a<0，设 11ln ln 122g x x x a x，可知， 0g x 对任意的0x 恒成立，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 g x 的单调性，求出函数 g x 的最小值，根据 min 0g x 可得出 12ln 4a m m m，且321e m ，结合函数单调性可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：函数 f x 的定义域为 0, ，112ln ln 11ln ln ln 22f x x x x a x x x a x x a x，当2a 时， 2ln f x x x ，解不等式()0f x ¢>，有2x 或01x ，令 0f x 得12x ，故函数 f x 的增区间为 0,1、 2, ，减区间为 1,2.【小问2详解】解：若0a ，则0x a ，由 0f x 可得01x ，由()0f x ¢>可1x ，此时，函数 f x 的减区间为 0,1，增区间为 1, ，且 1104f a ，当01x 时，由ln 0x ，有 11ln ln 1022f x x x x a x恒成立，所以 0f x ，必有a<0.又由 1104f a，可得14a .又由0x ，不等式 0f x 可化为11ln ln 1022x x a x，设 11ln ln 122g x x x a x，有 11112ln 4ln ln 22244a a x x x a g x x x x x x，当01x 且04x a 时，ln 0x ，40x a ，可得 0g x，当1x 且4x a 时，ln 0x ，40x a ，可得 0g x ，当a<0时，函数11ln 24a y x x在 0, 上单调递增，故存在正数m 使得2ln 40m m m a .若01m ，有ln 0m ，41a ，有2ln 410m m m a m ，与2ln 40m m m a 矛盾，可得1m ，当x >m 时， 0g x ；当x m 时， 0g x，可得函数 g x 的减区间为 0,m ，增区间为 ,m ，若 0g x ，必有 11ln ln 1022g m m m a m，有2ln 4ln 40m m m a m a ，又由2ln 40m m m a ，有 2ln 4ln 42ln 40m m m a m a m m m a ，有ln ln 0m m a m ，有 ln 0m a m .又由1m ，有m a ，可得a m ，有2ln 402ln 42ln 3m m m a m m m m m m m ，可得321e m ，构造函数 2ln p x x x x ，其中321ex ，则 32ln 0p x x 对任意的321e x 恒成立，所以，函数 2ln p x x x x 在321,e上单调递增，由 12ln 4a m m m 及321e m 可得2312ln 4e m m m ，可得321e 4a ，若 0f x ，则实数a 的取值范围为321e ,4.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解本题的关键就是转化为min 0g x 得出 12ln 4a m m m，再结合函数的单调性求出 12ln 4a m m m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t（t 为参数，π02 ），把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出1C ，2C （2）若曲线3C 的极坐标方程为8sin ，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B （A ，B 与点O 不重合），求AOB 面积的最大值．【答案】22.π,02 ；ππ,022.23.16【解析】【分析】（1）通过消参得到直线1C 的直角坐标方程，再利用极坐标方程和直角坐标方程之间的互化公式即可；（2）利用极坐标的几何意义结合二倍角公式求解即可.【小问1详解】直线1C 的参数方程为cos sin x t y t（t 为参数，π02 ），故 tan y x ，则 sin tan cos ，即 ；故1C 的极坐标方程为：π,02.把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，故2C 的极坐标方程为：ππ,022 .【小问2详解】曲线3C 的极坐标方程为8sin ，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B ，联立方程得， ππ8sin ,,8sin ,22A B,故11ππsin 8sin 8sin sin 32sin cos 16sin 2162222AOB S OA OB AOB.故AOB 面积的最大值为16.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数 211f x x x 的最小值为m ．（1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足5222a b c m ，证明：22291a b c ．【答案】（1）32m （2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论x 的取值，求出对应的函数解析式，结合图形即可求解；（2）由（1）知221a b c ，结合柯西不等式计算即可求解.【小问1详解】12,212113,122,1x x f x x x x x x x，作出函数 f x 的图形，如图，。
四川省成都七中(高新校区)2014届高三数学“一诊”模拟试题.
成都七中（高新校区）高2014届一诊模拟数学试卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1. 设i 是虚数单位，则复数2(1)i i-⋅在复平面内对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 下列命题中真命题的是 （ ）A. “关于x 的不等式()0f x >有解”的否定是“0x R ∃∈，使得0()0f x <成立”B. 0x R ∃∈，使得00x e≤成立 C. x R ∀∈， 33x x > D. “22x a b >+”是“2x ab >”的充分条件3. 已知α、β是两个不同的平面，下列四个命题是“面α∥面β”的充分条件的为 （ ）A. 存在一条直线a ，a α⊂面且a ∥面βB. 存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥C. 存在两条平行直线a b 、，,a b αβ⊂⊂，a ∥β且b ∥αD. 存在两条异面直线a b 、，,a b αβ⊂⊂，a ∥β且b ∥α4. 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则该次英语测试该班的平均成绩是( )．A. 63B. 65C. 68D. 705. 已知向量(1,2)a =，(2,4)b =--，5c =，若5()2a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为 （ ）A. 30°B. 60°C. 120°D.150°6. 如图，是一正方体被过点A ，M ，N 的平面和点N ，D ，C 的平面截去两个角后所得的几何体，其中M ，N 分别为棱A 1B 1，A 1D 1的中点，则该几何体的正视图为 （ ）7. 若1()nx x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项是 （ ）A.第3项B. 第4项C.第5项D.第6项 8. 在平面直角坐标系xoy 中不等式组2525x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D ，在区域D 中任取一点(,)P a b ，则P 满足21a b +>的概率为 （ ） A.23 B.712 C.12 D.5129. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题正确的是 （ ）A. 若数列{}n a 是等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -是等比数列B. 若数列{}n a 是等差数列，当n S m =，m S n =时，m n S m n +=+；C. 若1，a ，b ，c ，9成等比数列，则3b =±D. 若数列{}n a 满足11n n n n a a a a ++⋅=+，则数列2{}n n a a +-是等差数列10. 对于实数x ，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如右图的程序框图，如果输入的N=2014，则输出的[]S 是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。
精品解析：四川省成都市第七中学2020届高三高中毕业班三诊模拟数学(文科)试题(原卷版)
成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学（文科）第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}2|,B y y x x A ==∈，则A B =I （ ） A. {}0,1,2B. {}0,1,4C. {}1,0,1,2-D. {}1,0,1,4- 2.已知复数11i z =+，则z =（ ） A. 22 B. 1 C. 2 D. 23.设函数()f x 为奇函数，当0x >时，()22f x x =-，则()()1f f =（ ）A. -1B. -2C. 1D. 2 4.已知单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为23π，则122e e -=u r u u r （ ） A. 3 B. 7 C. 3 D. 75.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是（ ） A. 10 B. 10 C. 10 D. 1096.已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A. 3?i ≤B. 4?i ≤C. 5?i ≤D. 6?i ≤ 8.已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A. ②③B. ②③④C. ①④D. ①②③9.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( )A. 99B. 131C. 139D. 141 10.已知2log πa e =，ln ,πb e =2ln e c π=，则( ) A. a b c << B. b c a << C. b a c << D. c b a <<11.已知一个四面体的每一个面都是以3，3，2为边长的锐角三角形，则这个四面体的外接球的表面积为( )A. 11π4B. 112πC. 11πD. 22π12.已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos ,PA PB u u u r u u u r 的最大值是（ ） A. 4- B. 17 C. 6 D.14 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______.14.已知实数x ，y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是______.15.如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是______.16.若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2tan sin a b A B =. （1）求角A 的大小；（2）若7a =，2b =，求ABC V 的面积.18.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.19.如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB =，23MD =（1）证明：AB ⊥平面ADM ；（2）若//CD AB 且23CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求三棱锥A CEM -的体积. 20.已知函数22(),(,)ln x x e f x x e x x++=∈+∞. （1）证明：当(e,)x ∈+∞时，3ln x e x x e ->+； （2）证明：()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.（其中e 2.71828=L 是自然对数的底数）. 21.已知点P 是抛物线C ：212y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O ：221x y +=于不同的两点A ，B .（1）若点()2,2P ，求AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ，求'F M 的取值范围.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑. 选修44-：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为233x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0απ≤≤）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值.选修45-：不等式选讲23.己知0a >，0b >，且24a b +=，函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若22a mb tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.。
2024年成都七中高三数学(理)三模考试卷附答案解析
2024年成都七中高三数学（理）三模考试卷时间：120分钟满分：150分2024.04一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量(),4a x = 与向量()1,b x = 是共线向量，则实数x 等于（）A ．2B ．2-C ．2±D ．02．复数3i1iz +=-（其中i 为虚数单位）的共轭复数为（）A ．12i+B ．12i -C ．12i-+D ．12i--3．已知全集{}02πU x x =≤≤，集合sin A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，{}sin cos B x x x =≥，则A B ⋂等于（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．2nx⎛⎝的展开式中，第5项为常数项，则正整数n 等于（）A ．8B ．7C ．6D ．55．三棱锥A BCD -的三视图如图所示，则该三棱锥的各条棱中，棱长最大值为（）AB C ．D ．26．已知3sin 2cos 21αα+=，则tan α=（）A ．3B ．13C ．13或0D ．3或07．已知圆22:1C x y +=，直线:0l x y c -+=，则“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++），()20P K k ≥0.050.0250.0100.0050k 3.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是（）A ．甲班人数少于乙班人数B ．甲班的优秀率高于乙班的优秀率C ．表中c 的值为15，b 的值为50D ．根据表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”9．若ln 1,ln3b a e c =-==，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a b c>>10．已知函数()cos f x x x =-，若()()12πf x f x +=，则()12f x x +=（）A ．π1-B ．π1+C ．πD ．011．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）A ．双曲线的渐近线方程为3y x =±B ．双曲线CC ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2aD ．以1F 为半径的圆与渐近线相切12．设函数()3f x x x =-，正实数,a b 满足()()2f a f b b +=-，若221a b λ+≤，则实数λ的最大值为（）A ．2+B ．4C ．2D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．某班男女生的比例为3:2，全班的平均身高为168cm ，若女生的平均身高为159cm ，则男生的平均身高为cm .14．抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点（A 在第一象限），分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，若CD AF BF =-，则直线l 的倾斜角等于.15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos 0c A C =，则22sin sin sin sin A B A B ++=.16．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,1,2,ABC ABC BA BC BB P ∠=︒===是矩形11BCC B 内一动点，满足223PA PC +=，则当三棱锥-P ABC 的体积最大时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.年龄[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费x2x3x4x5x(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x 至少为多少元？（精确到整数）(2)随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在[)50,60的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在[]60,70的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在[)50,60和[]60,70的老人中各随机选取1人，记X 表示选取的这2人中患该疾病的人数，求X 的数学期望.18．已知数列{}n a 的前n 项和为,342n n n S S a =-.(1)证明：数列{}n a 是等比数列，并求出通项公式；(2)设函数()21ln 2f x x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的导函数为()f x '，数列{}n b 满足()n n b f a ='，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,2,ABC ABC BA AA D ∠=︒==是棱AC 的中点，E 在棱1BB 上，且1AE A C ⊥.(1)证明：//BD 平面1AEC ；(2)若四棱锥111C AEB A -的体积等于1，求二面角11C AE A --的余弦值.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A ，直线l 与椭圆相交于不同于A 点的P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点，当直线ON 斜率为14-时，直线l 的倾斜角等于4π(1)求椭圆的方程；(2)直线AP ，AQ 分别与直线3x =相交于E ，F 两点.线段E ，F 的中点为M ，若M 的纵坐标为定值12，判断直线l 是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由.21．已知函数()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈.(1)若12a =，证明：()0f x >；(2)若函数()f x 在()0,π内有唯一零点，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程1010x ty t =+⎧⎨=-⎩（为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，且直线l 与曲线C 相交于,M N 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点()00,P x y 是直线l 上一点，满足20PM PN +=，求点P 的直角坐标.选修4-5：不等式选讲23．已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a bb a+≥.1．C【分析】根据向量共线列方程，解方程即可.【详解】因为a 与b共线，所以41x x ⋅=⨯，解得2x =±.故选：C.2．B【分析】先对复数z 化简，再根据共轭复数的概念求解.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+-+-，所以复数z 的共轭复数为12i -.故选：B.3．B【分析】先利用三角函数知识化简两个集合，结合交集运算可得答案.【详解】因为3sin 2x ≥，02x π≤≤，所以π2π33x ≤≤；因为sin cos x x ≥，所以πsin cos sin 04x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，所以π2π2ππ4k x k ≤-≤+，解得π5π2π+2π44k x k ≤≤+，Z k ∈；因为02x π≤≤，所以π5π44x ≤≤，所以π2π,33A B ⎡⎤⎢⎥⎣=⎦.故选：B 4．C【分析】利用二项式定理求出展开式通项，由条件列方程求n .【详解】二项式2n x⎛ ⎝的展开式的第1r +为()1C 2rn r rr n T x -+⎛= ⎝，所以()4444465C 2C 2n n n nn T x x---⎛== ⎝，由已知6n =，故选：C.5．A【分析】根据给定的三视图作出原三棱锥，再求出各条棱长即可得解.【详解】依题意，三视图所对三棱锥A BCD -如图，其中AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，1,2AB CD BC ===，则AC ==，BD ==，AD ==故选：A 6．D【分析】将条件等价转化为()sin 3cos sin 0ααα-=，再利用等式性质得到结果.【详解】由于()23sin 2cos 26sin cos 12sin 2sin 3cos sin 1αααααααα+=+-=-+，故条件3sin 2cos21αα+=等价于()sin 3cos sin 0ααα-=，这又等价于sin 0α=或sin 3cos αα=，即tan 0α=或tan 3α=，所以D 正确.故选：D.7．C【分析】由事件从圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12，求c 的范围，结合充分条件和必要条件的定义判断结论.【详解】直线0x y c -+=的斜率为1，在x 轴上的截距为c -，在y 轴上的截距为c ，当c >C 上不存在点(),x y ，使0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率为0，当c =C 上有且仅有一个点(),x y ，使0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率为0，若0c <，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为劣弧AB （含,A B ）上的点，设劣弧AB 的长度为t ，则0πt <<，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率12π2t P =<，若0c =，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为直线l 上方的半圆上的点，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率π12π2P ==，若0c <<，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为优弧CD （含,C D ）上的点，设优弧CD 的长度为s ，则π2πs <<，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率12π2t P =>，若c ≤C 上所有点满足条件0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率2π12πP ==，所以“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”等价于“0c ≥”，所以“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”的充要条件，故选：C.8．D【分析】根据条件解出45b =，20c =，然后直接计算即可判断A ，B ，C 错误，使用2K 的计算公式计算2K ，并将其与5.024比较，即可得到D 正确.【详解】对于C ，由条件知1030105b c +++=，1021057c +=，故65b c +=，1030c +=.所以45b =，20c =，故C 错误；对于A ，由于甲班人数为10104555b +=+=，乙班人数为3020305055c +=+=<，故A 错误；对于B ，由于甲班优秀率为1025511=，乙班优秀率为202250511=>，故B 错误；对于D ，由于()2210545201030 6.109 5.024********K ⋅⨯-⨯=≈>⋅⋅⋅，故D 正确.故选：D.9．A【分析】由题设ln e a e =，ln 2ln 424b ==，ln 33c =，构造ln ()xf x x=(0)x >，利用导数研究其单调性，进而判断,,a b c 的大小.【详解】由题设知：ln e a e =，ln 2ln 424b ==，ln 33c =，令ln ()xf x x=(0)x >，则21ln ()x f x x -'=，易知(0,)e 上()f x 单调递增，(,)e +∞上()f x 单调递减，即()(3)(4)(2)f e f f f >>=，∴a c b >>.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造ln ()xf x x=(0)x >，利用导数研究其单调性，进而比较函数值的大小.10．B【分析】先利用导数证得()f x 在R 上单调递增，再利用条件得到()()12πf f x x =-，结合单调性即知12πx x +=，最后代入求值即可.【详解】因为()cos f x x x =-，所以()1sin 0f x x '=+≥.所以()f x 在R 上单调递增.因为()()12πf x f x +=，所以()()()()()1122222ππcos f x f x f x f x f x x x =-++-=-=()()222πcos ππf x x x =----=，结合()f x 在R 上单调递增，知12πx x =-，即12πx x +=.所以()()12ππππ1cos f x x f +===+-.故选：B.11．D【分析】通过123PA PA k k =求得22b a ，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A ；进而可求得双曲线的离心率判断B ；求得三角形的面积判断C ；求得1F 到渐近线的距离可判断D.【详解】对于A ，设点(,)P x y ，则2222)1(x y b a-=，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以1222222PA PA y y y b k k x a x a x a a ===+-- ，又123PA PA k k =，得223b a =，所以ba=y =，故A 错误；对于B，因为2c a ==，所以双曲线C 的离心率为2，故B 错误；对于C ，因为12PF PF ⊥，所以2221212||||||PF PF F F +=，又12||||||2PF PF a -=，所以22121212(||||||)2|||||||PF PF PF PF F F -+=，所以2212(2)2|||||(2)a PF PF c +=，所以212||||2PF PF b =，所以12121||||2PF F S PF PF ==2b ，故C 错误；对于D ，由B 选项可得2c a =，以1F到渐近线方程为y =的距离为：222a d ===，又1F，所以以1F为半径的圆与渐近线相切，故D 正确.故选：D.12．A【分析】依题意可得33a b a b +=-，从而得到222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-，再令()1at t b =>，最后利用基本不等式计算可得.【详解】因为()3f x x x =-，所以()3f a a a =-，()3f b b b =-，又()()2f a f b b +=-，所以332a a b b b -+-=-，即33a b a b +=-，因为0a >，0b >，所以330a b +>，所以0a b >>，所以331a b a b+=-，又221a b λ+≤，即3322a b a b a bλ++≤-，所以322b ba b a b λ≤+-，所以222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-，令at b=，则1t >，所以2221112211111a t t b b a t t t t ++-+===++-⎛⎫ ⎪⎝⎭---()2121t t =-++-22≥+=+，当且仅当211t t -=-，即1t时取等号，所以)22min221b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭，所以2λ≤+，则实数λ的最大值为2+.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出331a b a b +=-，从而参变分离得到222b a a b b λ≤+-，再换元、利用基本不等式求出222b a b b a +-的最小值.13．174【分析】设出男生的平均身高，然后根据条件列方程求解即可.【详解】设男生的平均身高为cm x ，则根据题目条件知321591683232x +⋅=++，即3318840x +=，所以84031852217433x -===.故答案为：174.14．4π##45︒【分析】由已知结合抛物线的定义分别表示CD ，AF ，BF ，求出直线l 的斜率，即可求解.【详解】抛物线22y px =的准线为：2p x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1,2p C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,2p D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又A 在第一象限，所以10y >，20y <，所以12CD y y =-，由抛物线定义可得12pAF x =+，22p BF x =+，所以121222p pAF BF x x x x -=+--=-，又CD AF BF =-，所以12CD x x =-，所以1212x x y y -=-，故直线AB 的斜率12121y y k x x -==-，所以直线l 的倾斜角为π4.故答案为：π4.15．34##0.75【分析】由正弦定理可得sin sin cos 0C A A C =，可求得C ，由余弦定理可得222c a b ab =++，再结合正弦定理可得222sin sin sin sin sin A B A B C ++=，可求结论.【详解】由sin cos 0c A C =，结合正弦定理可得sin sin cos 0C A A C =，因为sin 0A ≠，所以sin 0C C =，所以tan C =因为(0,π)C ∈，所以2π3C =，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，可得222c a b ab =++，结合正弦定理可得2223sin sin sin sin sin 4A B A B C ++==.故答案为：34.16．73π##73π【分析】根据给定条件，确定点P 的位置，再结合球的截面小圆性质确定球心并求出球半径即得.【详解】显然三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，过P 作1//PQ AA 交BC 于Q ，连接AQ ，令,PQ x CQ y ==，显然PQ ⊥平面ABC ，,AQ BC ⊂平面ABC ，则,PQ AQ PQ BC ⊥⊥，而90ABC ∠=︒，则222222221(1),PA PQ AQ x y PC x y =+=++-=+，又223PA PC +=，于是22221(1)3x y y ++-+=，整理得2213()24x y =--+，当12y =时，max x 三棱锥-P ABC 的底面ABC 面积为12，要其体积最大，当且仅当x 最大，因此2PQ =，即1PC PB BC ===时，三棱锥-P ABC 的体积最大，PBC 的外接圆圆心2O 为正PBC 的中心，令三棱锥-P ABC 的外接球球心为O ，半径为R ，则2OO ⊥平面PBC ，显然AC 的中点1O 是ABC 的外接圆圆心，则1OO ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥可得AB ⊥平面PBC ，于是21//O Q OO ，而1//O Q AB ，则1O Q ⊥平面PBC ，21//OO O Q ，四边形12OOQO 是平行四边形，因此121336OO O Q PQ ===，而11222O C AC ==，则22211712R OO O C =+=，所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积27π4π3S R ==.故答案为：7π3【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.17．(1)30元(2)16【分析】（1）根据小矩形面积和为得到关于a 的方程，解出a 值，再列出不等式，解出即可；（2）首先分析出X 的取值为0，1，2，再列出对应概率值，利用期望公式计算即可.【详解】（1）()0.0070.0160.0250.02101a ++++⨯=，解得0.032a =，保险公司每年收取的保费为：()100000.070.1620.3230.2540.2510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯，所以要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥，解得10029.853.35x ≥≈，即保费30x =元；（2）由题意知X 的取值为0，1，2，()14912601510150P X ==⨯=，()1914123115101510150P X ==⨯+⨯=，()11121510150P X ==⨯=，列表如下：X12P126150231501150()1262312510121501501501506E X ∴=⨯+⨯+⨯==.18．(1)证明见解析，212n n a -=(2)12520ln24399n n T n +⎤⎡⎫⎛⎫=⋅-+⎥ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎦【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩分两步求解即可；（2）方法一：根据题意，结合导数运算与212n n a -=得()ln2214nn b n =⋅-⋅，进而将{}n b 通项公式变形为125211ln2443939n n n b n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再根据裂项求和求解即可.方法二：根据题意，结合导数运算与212n n a -=得()ln2214nn b n =⋅-⋅，再根据错位相减法求和即可.【详解】（1）解：342n n S a =- ，()11342,2n n S a n --∴=-≥，相减得1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=，∴数列{}n a 是以4为公比的等比数列，又1113423S a a =-=，解得12a =121242n n n a --=⋅=.（2）解：方法一：()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ，()n n b f a ='，212n n a -=，()212122ln2ln2214n n n n b n --∴=⋅=⋅-⋅，()125211ln2214ln2443939n n n n b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，∴1231n n nT b b b b b -=+++++ 21324357137ln244ln244ln24499999191⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⨯+⨯+⋅⨯-⨯+⋅⨯-⨯+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11252112520ln244ln243939399n n n n n n ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅---=⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦.方法二：()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ，()n n b f a ='，212n n a -=，()212122ln2ln2214n n nn b n --∴=⋅=⋅-⋅∴()()2311ln214ln234ln254ln2234ln2214n nn T n n -+++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅ ()()12344ln214ln234ln254ln2234ln2214n n n T n n +++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅+ ，两式相减得：()11233ln214ln224ln224ln224ln2214n n n T n +-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅-⋅-⋅++ ()()1231ln2142ln2444ln2214n n n ++++=⋅⋅-⋅⋅+- ()()21114ln2142ln2ln22141414n n n +-=⋅⋅-+⋅⋅---()111ln2142ln2ln22414163n n n ++--⋅-⋅+=⋅⋅()()11165412ln22ln23ln221433ln 220432ln 2n n n n n +++⎡⎤-⋅+⋅⋅-=--⋅⎣=-⎦-∴()()1116546542520ln249939ln 220ln 2209n n n n n n T n +++⎡⎤⎡⎤-⋅-⋅⎡⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦===⋅-+ ⎪⎢⎥---⎭⎣+⎝⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦19．(1)证明见解析(2)12【分析】（1）先利用线面垂直的判定与性质定理证得1AE A B ⊥，再利用平行线分线段成比例的推论证得//BD FG ，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用四棱锥111C AEB A -的体积求出11B C ，建系并写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】（1）如图，连接1A B 交AE 于F ，连接1A D 交1AC 于G ，连接FG ，1AA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥，又因11,,,BC AB AB AA A AB AA ⊥⋂=⊂平面ABE,故BC ⊥平面ABE,又AE ⊂平面ABE,则BC AE ⊥，又111,,,AE A C A C BC C A C BC ⊥=⊂ 平面1,A BC 则⊥AE 平面1,A BC 又1A B ⊂平面1A BC ，1AE A B ∴⊥，在1Rt A AB △中，由12AB AA ==知1A B =，2111AA A F A B ==即12A F BF =，又因1111//,2AD A C A C AD =，可得12A G GD =，即在1A BD 中，112AG A F GD FB==，,BD FG ∴∥FG ⊂ 平面1AEC ，BD ⊄平面1AEC//BD ∴平面1AEC ；（2）设11B C x =，四棱锥111C AEB A -的体积为()1121132⨯+=，解得x =，由（1）知11190,90AA B A BA EAB A BA ∠+∠=︒∠+∠=︒，所以1AA B EAB ∠=∠，又11tan tan AB BE AA B EAB AA AB ∠==∠==，则1BE =，所以E 为棱1BB 的中点.以1,,BC BA BB 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则()())()11,0,0,1,2,0,A E C A ，则1(0,AE EC == ，设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，由1n AE n EC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得00z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令z =(n =- ，因BC ⊥平面11ABB A ，故可取平面1AEA 的法向量()1,0,0m =，1cos ,||||2n m n m n m ⋅〈〉==-，因为二面角11C AE A --为锐二面角，所以二面角11C AE A --的余弦值为12.20．(1)2214x y +=；(2)直线l 过点()2,1-.【分析】（1）根据点A 得到2a =，然后利用点差法得到2144b -=-，即可得到1b =，然后写椭圆方程即可；（2）设,P Q 的坐标，根据直线,AP AQ 的方程得到点,E F 的坐标，然后将α，β转化为方程sin 2cos x y kx x -=-的两根，根据M 的纵坐标和韦达定理得到00121422k kx y -⋅=-+，最后根据M 的纵坐标为定值得到0x ，0y ，即可得到直线l 过定点.【详解】（1）由已知得2a =，设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 中点为()00,N x y 由22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得222221212121221212044x x y y y y y y b b x x x x ---++=⇒⋅=--+，∴221144b b -=-⇒=，即1b =.所以椭圆方程为2214x y +=.（2）设()2cos ,sin P αα，()2cos ,sin Q ββ，所以AP l ：()sin 22cos 2y x αα=--，即()122tan 2y x α=--，∴13,2tan 2E α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，同理13,2tan 2F β⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，设直线l 过点()00,x y ，∴α，β是方程sin 2cos x y k x x -=-的两根.即20022002tantan 2222tan tan 22x x y y k x xx x --=---，整理得()200002tan2tan 2022x xy k kx y kx k ---+-+=，∴002tantan 222y k kx αβ+=--，00002tan tan 222y k kx y k kx αβ+-=--，∴00tantan1121224422tan tan 22M y k kx y αβαβ+=-=-⋅=-+，∴02x =，01y =-，所以直线l 过点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于M 的纵坐标为定值，对于定值的问题关键在于与参数无关，本题中M 的纵坐标为定值可得与参数k 无关，即可得到02x =，然后求0y 即可.21．(1)证明见解析；(2)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）对()f x 求导后构造函数()()11e sin cos 122xg x f x x x x =-'=--，通过求导得出()f x '的单调性和范围得出函数()f x 的单调性，进而得出结论；（2）分类讨论参数a 与12的关系，并通过构造函数和多次求导来探究函数()f x 的单调性，即可得出满足函数在()0,π内有唯一零点的实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意，在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中，当12a =时，不等式()0f x >等价于1e sin 102xx x x --->，则()11e sin cos 122xf x x x x '=---，令函数()()g x f x ='，则()1e cos sin 2xg x x x x +'=-，()10,π,e cos 1cos 0,sin 02x x x x x x ∈∴->->> ，所以函数()g x 在()0,π上单调递增，且()00g =，()()0g x f x '∴=>在()0,π上恒成立，即函数()f x 在()0,π上单调递增，且()00f =，所以()0,πx ∈时，不等式()0f x >成立；（2）由题意及（1）得，在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中，当12a ≤时，()1e sin 1e sin 12x xf x ax x x x x x =---≥---，由（1）可知此时()0f x >，所以此时函数()f x 没有零点，与已知矛盾，12a ∴>，()()e sin cos 1xf x a x x x =-+-'，令函数()()h x f x ='，所以()()e sin 2cos xh x a x x x =-'+，令函数()()u x h x ='，()()3sin cos x u x e a x x x ∴=++'，①若()()π0,,e 3sin cos 02xx u x a x x x ⎛⎫∈=++'> ⎪⎝⎭，所以函数()()u x h x ='在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且()π2ππ0120,022u a u e a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，0π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使函数()h x 在()00,x 上递减，在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，②若π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，显然()()e sin 2cos 0xh x a x x x =-'+>，所以函数()h x 在()00,x 上递减，在()0,πx 上递增，且()()0π0e 10,ππ10h h e a =-==+->()10,πx x ∴∃∈，使函数()f x 在()10,x 上递减，在()1,πx 上递增，又()()00e 10,πe π10f f π=-==--> ，()10f x ∴<，且()21,πx x ∃∈，使得()20f x =，综上得，当12a >时，函数()f x 在()0,π内有唯一零点，∴a 的取值范围是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，多次求导，函数的单调性，函数的导数求零点，考查学生分析和处理问题的能力，计算的能力，求导的能力，具有很强的综合性.22．(1)200x y +-=，2y x=(2)()22,2-或()191,.【分析】（1）直线的参数方程消去参数t ，得到直线l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的转化公式求得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 中，得到韦达定理，利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）由1010x t y t =+⎧⎨=-⎩，消去参数t ，得20x y +=，即直线l 的普通方程为200x y +-=，.由2sin cos ρθθ=得：22sin cos ρθρθ=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2y x =，即曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）设直线l的参数方程为00222x x y y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2y x =得：220001222t t y x t +=-，整理得(22000220t t y x +++-=，设点M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，120t t +=-2120022t t y x =-，因为20PM PN +=u u u u r u u u r r ，可得1220t t +=且0020x y +=.解得022x =，02y =-，或019x =，01y =，经验证均满足0∆>，所以求点P 的直角坐标为()22,2-或()19,1.23．（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）根据()32||f x x - ，可得3131x x -⎧⎨>⎩ 或1301x x +⎧⎨⎩ 或3130x x -+⎧⎨<⎩ ，然后解不等式组即可得到解集；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可．【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥；当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-；综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭.（2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=，又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥，两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。
数学(理)卷·2014届四川省成都七中高三“一诊”模拟考试(2013.12)
为
f (x) 的k
阶函数.
（1）求一阶函数 f1( x) 的单调区间；
（2）讨论方程 f2( x) = 1 的解的个数；
（3）求证： 3 ln n! ≤ 1 + 23 e + 33 e2 + L+ n3en−1(n ∈ N * ) .
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成都七中高 2014 届一诊模拟数学试卷（理科）（参考答案）
平面 A1BD ， CB1D1 交于 E, F 两点。给出以下命题，
A
其中真命题有________(写出所有正确命题的序号)①点 E, F 为线段 AC1 的两个三等分点；
C1 F B1
C B
第2页共8页
②
uuuur ED1
=
−
2 3
uuur DC
+
1 3
uuur AD
+
1 3
uuuur AA1
；③设
∴ cos 600 = |uDuuFr ⋅ GuuCur | = u|u2ury −u3uur| = 1 化简得： y2 − 7 y + 23 = 0
| DF || GC | | DF || GC | 2
2
第6页共8页
y = 7 ± 3 不满足 0 < y < 2 2
∴这样的点不存在………………………………………………………………12 分
12.若 sin(π + α ) = 1 ，则 cos( 2π − 2α ) = ___________
6
3
3
13.已知正四面体 ABCD 的棱长为 1，M 为 AC 的中点，
P 在线段 DM 上，则 ( AP + BP)2 的最小值为_____________；
四川省成都七中届高三数学一诊模拟考试试题 文 新人教A版
B (, 0)
)
的虚部为（
B -1
B
a2 a4
x
）
a1a4
|
0
C (1, )
个单位 (m 0) ，若所得图象对应的函数为偶函数，则 m 的最小值是（）
A 2
3
B C
38
x
1 ，若
a2a3, 将函数
D 5
6
4．阅读下边的程序框图，若输出 S 的值为－14，则判断框内可填写（ ）
1
D
A
C0
f (x)
5
B
3 1
，则实数
D (0,1)
17
D
6
a
的取值范围是
cos x 的图象向左平移 m sinx
D1
1
BD 翻折成 A/ BD ，则在 A/ BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中，直线 A/C 与平面
BCD 所成的最大角的正切值为( )
A1Biblioteka B123
C
3
9.已知 f (x) 、 g(x) 都是定义在 R 上的函数， g(x) 0 ， f / ( x)g( x) f ( x)g/ ( x) 0 ，
A
x [0,1] 时， 2 f ( x ) f ( x), 且 f ( x) 图象关于点 ( 1 , 1 ) ，则 f ( 1 ) ( )
1
4
5
B
1
2
二、填空题（每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中的横线上。）
11. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________ cm3
A
8
3
B
11
四川省成都市第七中学高中2020届高三高中毕业班三诊模拟数学(文科)试题附答案
成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学(文科)本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I(A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数11iz =+,则||z =(A)2(B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)24. 已知单位向量12,e e 的夹角为2π3,则122e e -=(A)3 (B)75. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是(B)3 (C)10 (D)1096. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是(A)6?i ≤ (B)5?i ≤ (C)4?i ≤ (D)3?i ≤8. 已知,a b 为两条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,下列命题：①若///,,/ααγβ则//βγ；②若//,//,a a αβ则//αβ；③若,,αγγβ⊥⊥则αβ⊥；④若,,a b αα⊥⊥则//a b .其中正确命题序号为 (A)②③(B)②③④(C)①④(D)①②③9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为 (A)99(B)131 (C)139 (D)14110. 已知2πlog e ,a =πln ,eb =2e ln ,πc =则(A)a b c <<(B)b c a <<(C)b a c <<(D)c b a <<11. 已知一个四面体的每一个面都是以3,3,2为边长的锐角三角形,则这个四面体的外接球的表面积为 (A)11π4 (B)11π2(C)11π (D)22π 12. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点,(2,1),(2,1)A B -,则cos ,PA PB u u u r u u u r 的最大值是(A)4 (B)17 (C)6- (D)14第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且111,1(2),n n a a S n -==+≥则4a =14. 已知实数,x y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ,其中BC CD DE EF FA ====且.AB BC ⊥则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是16. 若指数函数xy a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知2.tan sin a bA B= (1)求角A 的大小； (2)若2,a b ==求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级,再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥M ABCD -中,2,2.,,3AB AM AD MB MD AB AD =====⊥ (1)证明：AB ⊥平面ADM ； (2)若//CD AB 且23CD AB =,E 为线段BM 上一点,且 2BE EM =,求三棱锥A CEM -的体积.20.(本小题满分12分)已知函数22e (),(e,).ln x xf x x x x++=∈+∞ (1)证明：当(e,)x ∈+∞时,3eln ex x x ->+； (2)证明：()f x 在1[2e ,)2++∞单调递增.(其中e 2.71828=L 是自然对数的底数).21.(本小题满分12分)已知点P 是抛物线21:2C y x =上的一点,其焦点为点,F 且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆:O 221x y +=于不同的两点,A B .(1)若点(2,2),P 求||AB 的值；(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为,F '求||F M '的取值范围.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为233x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0πα≤≤).在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若射线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||||OA OB ⋅的值.23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知0,0,a b >>且24,a b +=函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为.m(1)求m 的值；(2)若22a mb tab +≥恒成立,求实数t 的最大值.成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学(文科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.A ；6.A ；7.B ；8.C ；9.D ； 10.B ； 11.C ； 12.A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.8； 14.15； 15.2π； 16.1e (1,e ).三、解答题(共70分) 17. 解：(1)由正弦定理知sin sin a b A B =,又2,tan sin a b A B =所以2.sin tan a aA A= 于是1cos ,2A =因为0π,A <<所以π.3A = L L 6分(2)因为π2,,3a b A ===22π222cos,3c c =+-⨯⨯即2230.c c --=又0c >,所以 3.c =故ABC ∆的面积为11πsin 23sin 223bc A =⨯⨯⨯= L L 12分18.解：(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.-++=设班级得分的中位数为x 分,于是600.10.20.40.520x -++⨯=,解得70.x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分. L L 6分 (2)由(1)知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2.又班级总数为40.于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8．分层抽样的方法抽取的 “良”、“中”的班级个数分别为4,2.因为评定为“良”,奖励2面小红旗,评定为“中”,奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为.A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6.从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示,其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分(不含i j =对角线上的点),于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件. 所以114()1()1.1515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为14.15L L 12分19.解：(1)因为2AB AM==,MB =所以222.AM AB MB +=于是.AB AM ⊥又,AB AD ⊥且,AM AD A AM =⊂I 平面ABD ,AD ⊂平面ADM ,所以AB ⊥平面.ADM L L 5分(2)因为2,AM AD MD ===所以ADM S ∆=因为2BE EM =,所以1.3C AEM C ABM V V --=又//,CD AB AB ⊥平面.ADM所以111333A CEM C AEM C ABM D ABM B ADM V V V V V -----==== 111123333ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯=所以三棱锥A CEM -L L 12分20.解：(1)令3e ()ln ,(e,).e x g x x x x -=-∈+∞+则22214e (e)()0.(e)(e)x g x x x x x -'=-=>++于是()g x 在(e,)+∞单调递增,所以()(e)0,g x g >=即3eln ,(e,).ex x x x ->∈+∞+ L L 5分 (2)22222222(21)ln (e )(ln 1)(e )ln (e )().(ln )(ln )x x x x x x x x x x f x x x x x +-+++--++'== 令2222()(e )ln (e ),(e,).h x x x x x x =--++∈+∞当(e,)x ∈+∞时,由(1)知3eln .e x x x ->+则222223e 1()(e )(e )2(4e 1)2[(2e )],e 2x h x x x x x x x x x ->--++=-+=-++ 当1[2e ,)2x ∈++∞时,()0h x >,从而()0.f x '> 故()f x 在1[2e ,)2++∞严格单调递增. L L 12分21.解：设点00(,)P x y ,其中2001.2y x =因为,y x '=所以切线l 的斜率为0,x 于是切线2001:.2l y x x x =-(1)因为(2,2),P 于是切线:2 2.l y x =-故圆心O 到切线l的距离为d =于是||5AB === L L 5分(2)联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得22340001(1)10.4x x x x x +-+-= 设1122(,),(,),(,).A x y B x y M x y 则301220,1x x x x +=+32240001()4(1)(1)0.4x x x ∆=--+-> 又200,x ≥于是2002x ≤<+于是32200120022001,.22(1)22(1)x x x x x y x x x x x +===-=-++ 又C 的焦点1(0,),F 于是1(0,).F '-故||F M '===L L 9分 令201,t x =+则13t ≤<+于是||F M'==因为3t t+在单调递减,在+单调递增.又当1t =时,1||2F M '=；当t =时,||F M '=；当3t =+时,11||.22F M '=> 所以||F M '的取值范围为1).2L L 12分22.解：(1)消去参数α得22(2)3(0)x y y -+=≥将cos ,sin x y ρθρθ==代入得22(cos 2)(sin )3,ρθρθ-+=即24cos 10.ρρθ-+=所以曲线C 的极坐标方程为2π4cos 10(0).3ρρθθ-+=≤≤L L 5分 (2)法1：将π6θ=代入2π4cos 10(0)3ρρθθ-+=≤≤得210ρ-+=,设12ππ(,),(,),66A B ρρ则12 1.ρρ=于是12|||| 1.OA OB ρρ⋅== L L 10分法2：π3θ=与曲线C 相切于点,M π||2sin 1,3OM ==由切割线定理知2|||||| 1.OA OB OM ⋅== L L 10分23.解：(1)3, (,),2()2, [,],23, (,).a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+∈-∞-⎪⎪⎪=++-=++∈-⎨⎪+-∈+∞⎪⎪⎩.当(,)2ax ∈-∞-时,函数()f x 单调递减；当(,)x b ∈+∞时,函数()f x 单调递增.所以m 只能在[,]2a b -上取到.当[,]2ax b ∈-时,函数()f x 单调递增.所以2() 2.222a a a bm f a b +=-=-++== L L 5分(2)因为22a mb tab +≥恒成立,且0,0a b >>,所以22a mb t ab +≤恒成立即mina b mb t a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.由(1)知2m =,于是a b a mb +≥== 当且仅当2aab =时等号成立即1)0,2(20.a b =>=> 所以t ≤,故实数t 的最大值为 L L 10分。
四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试文科数学试卷(原卷版)
2023—2024学年度下期高2024届二诊模拟考试文科数学试卷第I 卷（选择题）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}32,1,0,1,2log (3)A B x y x =--==-，，则A B = （ ）A. {0,1,2}B. {1,2}C. {1,0}- D. {0,1}2. 空间中有平面α和直线a ，b ，若//a α，//a b ，则下列说法中一定错误的是（ ）A. 直线b 平行于平面α B. 直线b 在平面α内C. 直线b 与平面α交于一点D. 直线a 和b 共面3. 已知i 是虚数单位，a ∈R ，则“()2i 2i a +=”是“21a =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90 ”，下列假设中正确的是（ ）A. 假设有两个内角超过90 B. 假设四个内角均超过90 C. 假设至多有两个内角超过90D. 假设有三个内角超过905. 2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在[]50,100内，将其分成5组：[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间[)80,90内的人数为（ ）.A. 10B. 20C. 30D. 406. 华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A sin ()3xf x = B. cos ()3xf x = C. sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭7. 已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2,1)(4,--，，则下列结论中错误的是（ ）A. E 的标准方程为2212x y -= B. EC. E 与双曲线22124y x -=的渐近线不相同D. 直线10x y --=与E 有且仅有一个公共点8. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α（045α<< ），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan α的值为（ ）A.2524B.2425C.43D.34.9. 已知ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若sinsin 2A Ca b A +=，6S AC =⋅，则ABC 的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形10. 若函数()e ln xf x x x =-的最小值为m ，则函数()e 1ln e x g x x x +=-的最大值为（ ）A. 1m -- B. e 1m -+ C. 1m -+ D. e 1m --11. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD AB BC ⊥，且45,4PDA AD CD ∠=+= .若点,,,,P A B C D 均在球O 表面上，则球O 的体积的最小值为（ ）A.32π3B.C.D.12. 已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a =--∈+，没有极值点，则1ba +的最大值为（ ）A.B.e 2C. eD.2e 2第II 卷（非选择题）二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数00，x y >>，若231y +=，则21x y+的最小值为______．14. 已知圆C 的圆心与抛物线28y x =的焦点关于直线y x =对称，直线230x y --=与圆C 相交于,A B 两点，且||2AB =，则圆C 的方程为______．15. 已知直线l 经过点(0,1)P，且被两条平行直线110l y ++=和250l y ++=截得的线段长为，则直线l 的方程为______．16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为23.若A 和B 为椭圆C 上在x 轴上方的两点，且122BF AF =，则直线2AF 的斜率为______．三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.的的17. 已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，公差为(0)n d d S ≠，为{}n a 的前n 项和，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求1a 与d 的关系；（2）若11n a T =，为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使得89nT <成立的n 的最大值．18. 在四棱锥P ABCD -中，已知AB ,CD AB AD ⊥，,222,2,BC PA AB AD CD PA PC E ⊥=====是线段PB 上的点.（1）求证：PC ⊥底面ABCD ；（2）是否存在点E 使得三棱锥P ACE -的体积为49？若存在，求出BE BP的值；若不存在，请说明理由.19. 2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实､精准､迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏､强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲､包容､韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展､中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片I 有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片I 的前三道工序的次品率分别为123111,,504948P P P ===.求生产该芯片I 的前三道工序的次品率I P ；（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片II.某手机生产厂商获得芯片I 与芯片II ，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片I 的有40部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片II 的有60部，其中对开机速度满意的占1415.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取2人进行座谈，求抽到2人中对安装芯片II 的手机开机速度满意的人数为1的概率.20. 已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为，过点(1,0)P 斜率存在且不为0的直线l 与椭圆有两个不同的交点A B ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆左右顶点为M N ，，设AB 中点为Q ，直线OQ 交直线4x =于点()BN AM PR R k k k -，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．21. 已知函数()()211ln ln 122f x x x ax x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中0a ≠.（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x >，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系xOy 中，直线1C 参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出1C ，2C 的极坐标方程；（2）若曲线3C 的极坐标方程为8sin ρθ=，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B （A ，B 与点O 不重合），求AOB 面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数()211f x x x =--+的最小值为m ．（1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足5222a b c m -+=+，证明：22291a b c ++≥．的。
四川省成都市第七中学2022届高三下学期三诊模拟考试数学(文)试题
C.若 是不共线的向量，且 ，则 ∥
D.已知角 终边经过点 ，则
4.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为
A. B. C. D.
5.在区间 中随机取一个实数 ，则事件“直线 与圆 相交”发生的概率为
A. B. C. D.
6.已知数列 是公比为q的等比数列，则“ ”是“ ”的
22.已知函数 ．
（1）求函数 在 处 切线方程；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=3时，设函数 ，证明：对于任意的k<1，函数 有且只有一个零点．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
24.在直角坐标系 中，设倾斜角为 的直线 （ 为参数）与曲线 （ 为参数）相交于不同的两点 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知通数 的图像经过点 ，图像与x轴两个相邻交点的距离为 ．
（Ⅰ）求 的解析式：
（Ⅱ）若 ，求 值．
18.在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99% 把握认为经常阅读与居民居住地有关？
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
不经常阅读
合计
200
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
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四川省成都七中2014届下学期高三年级三诊模拟考试数学试卷（文科）一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．在三角形ABC 中，“6π=∠A ”是“21sin =A ”的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2．已知集合{}{}2log ,32<=<=x x B x x A ，则B A ⋂=（ ） A ()3,1- B ()4,0 C ()3,0 D ()4,1- 3．已知是两条不同直线，是两个不同的平面，给出下列命题：①若m n n m ⊥⊂=⋂,,αβα，则βα⊥；②若,,βα⊥⊥m m 则βα//；③若m n n m ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥；④若n m n m //,//,//βα，则βα//，其中正确的命题是（ ）A ①②B ②③C ③④D ①③4．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤≤020220y x y x x ，则其表示的平面区域的面积是（ ）A 1B 3C 3D 4 5．已知复数()是虚数单位i ii--132，它的实部与虚部的和是（ ） A 4 B 6 C 2 D 36．在平面直角坐标中，ABC ∆的三个顶点A 、B 、C ，下列命题正确的个数是（ ） （1）平面内点G 满足=++，则G 是ABC ∆的重心；（2）平面内点M满足==，点M 是ABC ∆的内心；（3）平面内点P=则点P 在边BC 的垂线上； A 0 B 1 C 2 D 37 .设曲线x y sin =上任一点()y x ,处的切线斜率为)(x g ，则函数)(2x g x y =的部分图象可以是（ ）8.某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）A 3B 4C 5D 69. 已知椭圆123:221=+y x C 的左右焦点为21,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()),(),,(,2,12211y x C y x B A 是2C 上不同的点，且BC AB ⊥，则2y 的取值范围是（ ） A ()[)∞+⋃-∞-.106, B (][)∞+⋃∞-.106, C ()()+∞⋃-∞-,106, D 以上都不正确10.定义域为D 的单调函数()x f y =，如果存在区间[]D b a ⊆,，满足当定义域为是[]b a ,时，()x f 的值域也是[]b a ,，则称[]b a ,是该函数的“可协调区间”；如果函数()()0122≠-+=a xa x a ay 的一个可协调区间是[]n m ,，则m n -的最大值是（ ） A 2 B 3 C332 D 4 二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，21=a 且631,,a a a 成等比数列，则=2014a12. 若函数⎪⎭⎫⎝⎛+=6cos πωx y ()*N ∈ω的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，则ω的最小值是13.一个几何体的主视图和俯视图如图所示，主视图是边长为a 2的正三角形，俯视图是边长为a 的正六边形，则该几何体左视图的面积是14.私家车具有申请报废制度，一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则车主申请车辆报废的最佳年限（使用多少年的年平均费用最少）是 15 .已知()()()22)(,32-=--+=-x x g a x a x a x f 同时满足下列条件：①;0)(0)(,<<∈∀x g x f R x 或②()0)()(,,1<+∞∈∃x g x f x 则实数a 的取值范围 三 解答题（本大题共6小题，共75分） 16 .（本小题12分）已知函数()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 23)(2 （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 的最大值和最小值； （2）设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 的对应边分别是c b a ,,，且*,1N c a ∈=，若向量()A m sin ,1=与向量()B n sin ,2=平行，求c 的值。
17.（本小题12分）设数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知73=S ，且4,3,3321++a a a 构成等差数列 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令 ,3,2,1,ln 12==+n a b n n ，求数列{}n b 的前项的和n T 。
18 .（本小题12分）如图菱形ABEF 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，090,60=∠=∠=∠CDA BAD ABE ,点H 是线段EF 的中点.（1）求证：平面AHC ⊥平面BCE ; （2）求此几何体的体积。
19. （本小题12分）某中学的数学测试中设置了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个内容，成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级。
某班考生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B 的考生有10人（1）求该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分、4分、3分、2分、1分，该考场中有2人10分，3人9分，从这5人中随机抽取2人，求2人成绩之和为19分的概率。
20.（本小题13分）已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的离心率为23，点)3,2(P 在椭圆上.（1） 求椭圆C 的方程；（2） 设椭圆的左右顶点分别是A 、B ，过点)0,2(Q 的动直线与椭圆交于M ，N 两点，连接AN 、BM 相交于G 点，试求点G 的横坐标的值。
21.（本小题14分）已知函数()x x x a x g 2ln 22-+=（1） 当41>a 时，讨论函数()x g 的单调性； （2） 当0=a 时，在函数)(x g 图象上取不同两点A 、B ，设线段AB 的中点为()00,y x P ，试探究函数()x g 在Q ()()00,x g x 点处的切线与直线AB 的位置关系？（3） 试判断当0≠a 时()x g 图象是否存在不同的两点A 、B 具有（2）问中所得出的结论。
成都七中2014届三模数学试卷（文科）答案一 选择题A CB DC B C B A C 二 填空题22017=n a 2 223a 10 ()()0,11,4-⋃--三 解答题 16.解：（1）12cos 212sin 232122cos 12sin 23)(--=-+-=x x x x x f1)62sin(--=πx ………………………..3分32623,12512πππππ≤-≤-∴≤≤-x x ，1)62sin(23≤-≤-∴πx 所以当3π=x 时()x f 取最大值是0，当12π-=x 时()x f 取最小值213+-……..6分 （2）因为向量()A sin ,1=与向量()B sin ,2=平行， 所以a b A B 2,sin 2sin ==即 …………….8分由余弦定理C C c cos 45cos 212412-=⨯⨯-+=，1cos 0,20<<∴<<C C π5,512<<<<∴c c 即１，又2*=∴∈c N c ，经检验符合三角形………..12分17.解：（1）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++23132132437a a a a a a 解得22=a ……..2分设数列{}n a 公比为q ，有7222=++q a a qa ，化简02522=+-q q ，解得)(212舍或==q q ， 11=a ，所以数列{}n a 的通项公式12-=n n a ………6分 （2）由2ln 22ln ln 212n a b n n n ===+，又2ln 21=--n n b b ，所以{}n b 是等差数列 ………10分 所以()2ln )1(21n n nb b T n n +=+=……………….12分18.解：（1）在菱形ABEF 中，因为060=∠ABE ，所以AEF ∆是等边三角形，又因为H 是线段EF 的中点，所以AB AH EF AH ⊥⇒⊥因为面ABEF ⊥面ABCD ，且面ABEF ⋂面ABCD=AB ，所以AH ⊥面ABCD ，所以BC AH ⊥，在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，090=∠=∠CDA BAD ，得到22==BC AC ，从而222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥,又AH ⋂AC=A 所以AHC BC 面⊥，又BCE BC 面⊂，所以平面AHC ⊥平面BCE ……….6分（2）因为AEF C AD C F ACB E V V V V ---++=，34,2,4===∆∆∆AEF AD C ACB S S S 所以()332034223243231=⨯+⨯+⨯=++=---ACE F ADC F ACB E V V V V ..12分19.解：（1）由题意得该班总人数是 4025.010=÷人 …………….2分 “阅读与表达” 科目中成绩等级为A 的人数为()3075.040025.015.0375.0375.0140=⨯=----⨯ ……………………6分（2）从5人中选2人共有10种，从10分的2人中选1人有2种，从19分的3人中选1人有3种，所以2人成绩之和为19分的概率为53； 答：(1)该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人有3人；（2）2人成绩之和为19分的概率是53。
……….. 12分 20.解：（1）由22423b a e =⇒=，又点)3,2(P 在椭圆上，所以134422=+b b 解得16,422==a b ，则椭圆C 方程是141622=+y x ； …….3分 （2）当直线MN 垂直于x 轴，交点为)3,2(),3,2(-N M ，由题知直线AN ：)4(63+-=x y ，直线MB ：)4(23--=x y ，交点)32,8(-G …….5分 当直线MN 不垂直x 轴时，设直线MN ：),(),,(),2(2211y x N y x M x k y -=，),(G y t G 联立直线MN 与椭圆方程得()0161616412222=-+-+k x k x k22212221411616,4116kk x x k k x x +-=+=+， ………….7分 因为()22,4),,4(y x AN y t AG G +=+=，由A 、N 、G 三点共线有()4422++=x y t y G 同理()11,4),,4(y x BM y t BG G -=-=，由A 、N 、G 三点共线有()4411--=x y t y G 有()4422++x y t ()4411--=x y t ，即()4)2(422+-+x x k t ()4)2(411---=x x k t ，化简()()()()4224441212---+=-+x x x x t t ，验证当8=t 时化简得032)(1022121=++-x x x x 带入韦达定理恒成立，因此G 的横坐标的值为8. ………..13分21.解：（1）由题知()()xa x x x x a x g +-=-+='22222， 因为41>a 时，0)(,0>'<∆x g ，函数()x g 在定义域),0(+∞上单调递增；………..4分 （2）()xx x g 22-=，()222200-=-='=x x x g x x ，22))(2()()(02121212121-=---+=--=x x x x x x x x x x g x g k AB所以函数Q 点处的切线与直线AB 平行； ………….7分（3）设()()),(,)(,2211x g x B x g x A ()210x x <<，若()x g 满足（2）中结论，有()()()21210x x x g x g x g --='，即2ln22222121212121-++-=-+++x x x x x x a x x x x a 即()2121212lnx x x x x x +-= …………….9分 设t x x =21，则*式整理得()112ln +-=t t t ，问题转化成该方程在()1,0上是否有解；…11分 设函数()112ln )(+--=t t t t h ，则()()0)1(1)1(41222>+-=+-='t t t t t t h ，所以函数()t h 在()1,0单调递增，即0)1()(=<h t h ，即方程()112ln +-=t t t 在()1,0上无解，即函数()x g 不满足（2）中结论； …………..14分。