北师大版高一数学指数函数图像和性质(第一课时)
北师大版高中数学必修一课件《3.3.3指数函数的图像与性质(2)》
（金戈铁骑 整理制作）
§3.3.3指数函数的图像与性质（2）
永丰中学高中数学教研组
必修1第三章第3节
复习导入
指数函数的图像与性质
a＞1
0＜a＜1
•
图
1、指数y函数的定义；y
函象• 2数、叫指做数指o函y数1 数函a图xx数(a象，的0其, 且作中oa1法x是；1)自x
(变1)•定量义3域、. 指数列函表数描的点图R连象线和性质.
形如y a f (x)的函数的定义域就是f (x) 的定义域
必修1第三章第3节
探究二、指数型函数值域的求法
例：求下列函数的值域 （1）y 2x1；（2）y 2 ； x2 2x1
1
（3）y 2x2 ；（4）y 23x5； （5）y 2 x ；（6）y 2 x5
必修1第三章第3节
解：（1）｛y y 0｝；（2）｛y y 1｝； （3）｛y 0 y 1｝；（4）｛y y 0且y 1｝； （5）｛y y 1｝；（6）｛y y 1｝
总结：
求形如y a f (x)的函数的值域时 先求f (x)的值域
必修1第三章第3节
探究三、利用指数函数性质比较大小
(2)值域
(0,+∞)
性 (3)定点
过定点(0,1)，即x=0时，y=1
质 (4)单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
(5)函数值 的分布情
况
当x＞0时，y＞1
当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1
必修1第三章第3节
新知探究
探究一、指数型函数定义域的求法
例：求下列函数定义域
（7）方程2x x 3的实数解的个数为 _____ .
高考北师大版数学总复习课件：2.6指数与指数函数
指数与指数函数
考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指 数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重 点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同 时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数 交汇命题．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 a 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方 n n 根用符号 － a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 ± a (a>0)．
7．若函数 f(x)＝ (a2－ 1)x 在 (－∞，＋∞ )上是减函数，求 a 的取值范围．
[解析] ∵0<a2－ 1<1，∴1<a2<2， ∴－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(－ 2，－1)∪(1， 2)．
幂式的化简与求值
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算 性质进行运算．
1 C. － 1， 2
的单调递增区间是
B． [2，＋∞)
1 D. ， 2 2
[答案] D
[解析] 令 t＝－ x2＋ x＋ 2≥ 0，得函数定义域为 [－1,2]，所 以 t＝－ x
2
1 1 ＋ x＋ 2 在－ 1， 上递增， 在 ， 2上递减． 根据“同 2 2 1 的单调递增区间是 ， 2. 2
北师大版高中数学必修一指数函数y=^x和y=^x的图像和性质学案
指数函数的图像与性质【学习要点】一、知识梳理（1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。
（2）图象：（3）性质：定义域(-∞,+ ∞)；值域 (0,+ ∞)； 过定点（０，1）；单调性 a > 1时为增函数 ０＜a <1时为减函数值分布：x 取何值时，y>1,0<y<1? (分a >1和0<a <1两种情况说明) 二、重难点解析重点：指数函数的概念、图像和性质 难点：指数函数的性质 难点解析：1.在式子y=a x 中，为什么规定a >0，且a ≠1如果0=a ，当0<x 时，ｘa 无意义； 如果0<a ，对于x 的某些值（如21=x 等），ｘa 无意义； 如果1=a ，1≡y 是常数，对它没有研究的必要。
为以后学习指数函数的反函数创造条件，规定a >0，且a ≠1.2. 可通过xx x x y y y y ⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==101,10,21,2的图像说明函数y=a x (a >0且a ≠1)中, 底数对指数函数的影响。
3.如果R x ∈,那么函数x a y =与1+=xa y ,1+=x a y ,x a y -=,xa y -=( a >0，且a ≠1)的图像之间关系：（1）. x a y =的图像沿y 轴向上平移一个单位得到1+=x a y 的图像；（2）xa y =的图像沿x 轴向上平移一个单位得到1+=x a y 的图像；（3）xa y =的图像关于x 轴作对称变化得到xay -=的图像；（4）x a y =的图像关于y 轴作对称变化得到xa y -=的图像； 【学法指导】例1.将下列各组数按从小到大的顺序排列起来：（1）51480902184。
，，-⎪⎭⎫ ⎝⎛(2)()313322132213135265235235332--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛，，，，，，， (3)aa aaaa ,, ,其中a >0且a ≠1解（1）.221282451514414808190。
高中数学 第3章 指数函数和对数函数 3.4.1 对数及其运算课件 北师大版必修1
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对数式和指数式互化的几个注意: (1)指数式与对数式只有在满足底数大于0且不等于1时,才可以相 互转化. (2)把指数式改写成对数式时,指数式的底数在对数式中仍然位于 底数位置,指数式的指数变为对数式中的对数,指数式中的幂值变 为对数式中的真数. (3)在进行指数式与对数式的互化时,一定要保证对数式中的真数 大于0. (4)注意常用对数与自然对数的表示方法.
一
二
三
四
【做一做4】 下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中 x,y,z>0)( )
A.lg(x2y ������)=(lg x)2+lg y+ lg������ B.lg(x2y ������)=2lg x+2lg y+2lg z C.lg(x2y ������)=2lg x+lg y-2lg z D.lg(x2y ������)=2lg x+lg y+12lg z 解析:因为 lg(x2y ������)=lg x2+lg y+lg ������=2lg x+lg y+12lg z, 所以由对数的运算性质可知 A,B,C 均错,D 正确.
答案:D
一
二
三
四
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)因为(-2)2=4,所以log-24=2. ( ) (2)log34与log43表示的含义相同. ( ) (3)0的对数是0. ( ) (4)lg N是自然对数. ( )
(5)logax·logay=loga(x+y). ( ) (6)loga(-3)4=4loga(-3). ( )
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》优质课教案_6
带领学生共同回顾本节课学习内容，总结并归纳相关解题方法，熟练相关题型解题技巧与方向。
总结归纳课堂内容，完成教学目标。引导学生思考对函数研究的学习过程，逐渐树立其自主学习，将自身归纳总结迁移到其他函数学习研究中去的能力。
学生能够熟练比较指数型实数的大小关系，熟练指数函数图形;建立数形结合思想;通过深化对函数概念的理解，初步建立函数知识和研究函数的学习方法。
学
习
目
标
知识与能力
1、本节课的“指数函数图像”作为第二课时是在学生学习了指数与指数幂的运算基础上，通过学习指数函数的定义，图像及性质，进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法。
2、能够运用指数函数的图像和性质，结合指数运算性质，比较简单的指数型实数大小（解决相同底数与不同底数两类问题）。
通过练习熟练指数函数的图像与性质
学生能够利用指数函数的图像比较同底数的不同幂的数字大小
课堂练习2：比较不同底数（能够通过变形转化为同底数）的指数型数字的大小
课堂练习：利用总结归纳的指数函数图像，结合前一小节的指数运算性质，计算练习题
通过练习熟练指数函数的图像与性质
学生能够通过变形将数字化为同底数形式后，利用指数函数的图像比较同底数的不同幂的数字大小
三、板书设计
§3.3指数函数的图像和性质
一、函数y=2x和y=（ ）x的图像与性质
二、指数函数y=ax的图像
与性质概括
三、比较同底数幂的大小关系
例题1、比较下列各题中两个数的大小
解法一：科学计算器法
解法二：指数函数的性质
解法三：指数函数图像法
四、比较非同底数幂的大小关系的总结
与上述类似，以PPT和几何画板为工具，通过例题演示，让学生形象直观的理解知识
第四章-§4-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修第一册北师大版
C.∀ > 0, > log
D.不一定存在0 ,当 > 0 时，总有 > > log
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，
幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B，C，当0 < < 1时，显然不
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( D
)
A. = 2 − 2
B. =
1
2
C. = log 2
D. =
1
2
2 − 1
【解析】由于一次函数 = 2 − 2是均匀增加的，因此A不对；指数函数 =
1
是
2
单调递减的，也不符合要求，因此B不对；对数函数 = log 2 的增长速度先快后慢，
当 > 2 时， > ，
∴ 2 021 > 2 021 .
又 2 021 > 6 ，
∴ 2 021 > 2 021 > 6 > 6 .
题型2 函数增长模型的应用
例7 某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利
【答案】函数 = , = 和 = 在 , +∞ 上都是增函数，随着的增大，
= 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 和 = 的增长速度，而
= 的增长速度越来越慢, = 的增长速度介于两者之间.
高中数学第三章指数函数与对数函数第4节4.1对数及其运算第1课时对数课件北师大版必修1
阶
段
段
一
三
1．理解对数的概念．(重点)
2．掌握指数式与对数式的互化．(重点)
3．理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点)
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
【答案】 C
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零和负数没有对数．(
)
(2)1的对数是1.(
)
(3)2log22－1＝－1.(
)
指数 对数
【解析】 ∵b5－－2b>>00，， ∴2<b<5 且 b≠4.故选 D. 5－b≠1，
【答案】 D
[再练一题] 2．求下列各式中的 x 值： (1)log2(ln (lg x))＝0；(2)logx25＝2； (3)log5x2＝2.
【解析】 由 logπ[log3(lnx)]＝0，得 log3(lnx)＝1， 则 lnx＝3，故 x＝e3.
3×2log43＝3×2log2 3＝3 3.
[基础· 初探]
教材整理 1
对数的定义
阅读教材 P78～P79“思考交流”之间的部分内容，完成下列问题．
1．对数的有关概念：
§4 对数
4．1 对数及其运N算
1
1
第 1 课时 对0数
0
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝11 28；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；
解惑：
【尝试解答】 (1)log21128＝－7；(2)log327＝3；(3)lg 0.1＝－1；(4)12－5＝ 32；(5)10－3＝0.001.
指数式与对数式[小的组合互作化型]
[再练一题] 1．将下列指数函数化为对数函数，对数函数化为指数函数． ①35＝243，②13m＝5.73，③log1216＝－4， ④ln10＝2.303.
高中数学 第三章 指数函数讲解与例题 北师大版必修1
3 指数函数1．指数函数的概念函数y＝a x(a＞0，a≠1)叫作指数函数．谈重点如何理解指数函数的定义(1)指数函数的定义域是实数集R.(2)底数a大于零且不等于1的理由：若a＝0，那么当x＞0时，a x≡0(“≡”表示恒等于)，当x≤0时，a x无意义；若a＜0，那么对于x的某些数值，如12，可使a x无意义；若a＝1，那么对任何的x∈R，a x≡1，对它没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1，这样对于任何x∈R，a x都有意义，而且有研究的必要．(3)指数函数解析式的结构特征：在指数函数y＝a x中，a x的系数必须是1，自变量x必须出现在指数的位置上，底数a 是一个大于0而不等于1的常量．有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝a x＋k(a ＞0，a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x(a＞0，a≠1)，这是因为它的解析式可以等价化归为1xya⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中1>0a，11a≠.指数函数结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可．(4)“形如y＝ka x(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数”，这是非常有用的函数模型——指数增长型．【例1－1】函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有( )．A．a＝1，或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a＞0，且a≠1解析：根据指数函数解析式的结构特征可知，若函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则需2331,0,1,a aaa⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩解得a＝2.答案：C【例1－2】指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(0)＝________，f(1)＝________，f(－π)＝________.解析：设指数函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝a x(a＞0，a≠1，x∈R)，因为其图像经过点(π，e)，所以aπ＝e，故a＝1πe，f(x)＝1ππe ex x⎛⎫=⎪⎝⎭.因此，f(0)＝e0＝1，f(1)＝1πe，f(－π)＝e－1＝1e.答案：11πe1e析规律待定系数法求解析式已知函数类型求函数解析式，通常采用待定系数法．【例1－3】下列函数是指数函数的是________．(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝x x；(8)y＝(2a－1)x(12a>且a≠1)解析：根据指数函数解析式的结构特征进行判断，易知(1)(5)(8)为指数函数．(2)式中的自变量在底数的位置上，是幂函数而不是指数函数；(3)中4x的系数为－1，所以不是指数函数；(4)中底数－4＜0，所以不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数x2，所以不是指数函数；(7)中底数x不是常数，不是指数函数．答案：(1)(5)(8)2．指数函数y＝2x和12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像和性质(1)图像：在同一直角坐标系中用描点法画出函数y＝2x和12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像．由图可以看出，两个函数图像的相同点是都位于x轴的上方，都过点(0,1)；两个函数图像的不同点是函数y＝2x的图像是上升的，函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像是下降的．两个函数的图像关于y轴对称．(2)性质：定义域都是实数集R，函数值都大于0；20＝12⎛⎫⎪⎝⎭＝1；函数y＝2x是R上的增函数，函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是R上的减函数．(3)正整数指数函数y＝2x(x∈N＋)和实数指数函数y＝2x(x∈R)的图像都是上升的，在各自的定义域上都是增函数，但它们的图像不同，函数y＝2x(x∈N＋)的图像是一些孤立的点，这些点都在函数y＝2x(x∈R)的图像上；函数y＝2x(x∈R)的图像是一条连续的曲线．【例2】满足112x⎛⎫>⎪⎝⎭的x的取值范围是__________．解析：可结合指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像，也可利用指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性解决．由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可以看出，当x ＜0时，函数值112x⎛⎫> ⎪⎝⎭.或利用其单调性求解，由于011122x⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，所以x ＜0.答案：(－∞，0)xa ＞10＜a ＜1图像性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 过点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 函数值 的变化 当x ＞0时，y ＞1； 当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 单调性 是R 上的增函数 是R 上的减函数【例3－1】函数y ＝15x的图像是( )．解析：因为指数函数y ＝15x的底数15＞1，所以函数y ＝15x是R 上的增函数，排除A ，C ；又因为当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0,1)，故选B.答案：B【例3－2】函数17xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域分别是( )．A ．R ，RB ．(0，＋∞)，(0，＋∞)C ．(0，＋∞)，RD ．R ，(0，＋∞)解析：因为函数17xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以，由指数函数的性质可知，函数17xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R，值域是(0，＋∞)．答案：D4．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的底数a对函数图像的影响(1)一般地，当a＞b＞1时，函数y＝a x和y＝b x的图像如图所示．由图像可以看出：两个函数都是R上的增函数；当x＜0时，总有0＜a x＜b x＜1；当x＝0时，总有a x＝b x＝1；当x＞0时，总有a x＞b x＞1；指数函数的底数越大，当x＞0时，其函数值增长得就越快．(2)当0＜b＜a＜1时，函数y＝a x和y＝b x的图像如图所示．由图像可以看出：两个函数都是R上的减函数；当x＜0时，总有b x＞a x＞1；当x＝0时，总有a x＝b x＝1；当x＞0时，总有0＜b x＜a x＜1；指数函数的底数越小，当x＜0时，其函数值减少得就越快．【例4】下图是指数函数(1)y＝a x；(2)y＝b x；(3)y＝c x；(4)y＝d x的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )．A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c解析：根据图像的直观性可先分两类，(1)(2)的底数小于1，(3)(4)的底数大于1，即a＜1，b＜1，c＞1，d＞1，由此可排除C.因为指数函数y＝m x(m＞1)的底数越大，当x＞0时，其函数值增长得就越快，所以，由图像(3)(4)可知c＞d；因为指数函数y＝m x(0＜m＜1)的底数越小，当x ＜0时，其函数值减少得就越快，所以，由图像(1)(2)可知b ＜a ，综上可得b ＜a ＜1＜d ＜c .答案：B析规律 直线x ＝1的妙用我们也可以利用直线x ＝1与指数函数的图像的交点位置比较底数的大小．如图是四个指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x在同一直角坐标系中的图像．作出直线x ＝1，则其与四个函数交点的纵坐标恰好是相应函数的底数，根据数轴上实数的大小关系可直观地得到底数的大小为a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.可简记为：在第一象限内，指数函数的底数从下向上依次增大．5．函数y ＝a x与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像间的关系一般地，在同一坐标系内画出函数y ＝a x(a ＞1)和函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(a ＞1)的图像，可以发现，二者的图像关于y 轴对称，如下图所示．下面从点关于线对称的角度，加以说明．设P (m ，n )为函数y ＝a x图像上任意一点，其关于y 轴的对称点为P ′(－m ，n )．显然，对于函数1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ＝－m 时，1my a -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝(a －1)－m ＝a(－1)×(－m )＝a m＝n ，即点P ′(－m ，n )在函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像上，所以函数y ＝a x与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称．【例5】函数y ＝2－|x |的示意图是( )．解析：因为y ＝2－|x |＝12,0,22,0,x x x x x -⎧⎛⎫=≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩而且12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y ＝2x的图像关于y 轴对称，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[0，＋∞)上是减函数，y ＝2x 在(－∞，0)上是增函数，所以函数y ＝2－|x |的示意图是D.答案：D6．与指数函数有关的函数的定义域和值域求法 与指数函数有关的指数型函数，是指数函数与其他函数复合的函数．求这类函数的定义域时，充当指数的式子取全体实数都有意义；求值域时，要注意到充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．形如y ＝a f (x )函数的定义域是使f (x )有意义的x 的取值集合，求其值域应先求出f (x )的值域，再结合指数函数的单调性求出a f (x )的值域．对于解析式中某些较复杂的式子，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得清楚简洁，避免出错．【例6】求下列函数的定义域和值域：(1)142x y -=；(2)2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭.分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为0，二次根式问题要使被开方数大于或等于0；结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定值域．解：(1)要使函数142x y -=有意义，只需x －4≠0，即x ≠4.∴函数142x y -=的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)．∵x ≠4，104x ≠-， ∴1421x -≠，∴函数142x y -=的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．(2)函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的定义域为R .∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴221111222x x -⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∴函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.7．指数幂大小的比较方法比较幂式的大小时，通常有以下几种方法：(1)单调性法：当幂式的底数相同时，可构造指数函数，利用指数函数的单调性进行比较(此时，要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值以及指数函数的底数与1的大小关系，从而确定函数的单调性，特别地，当底数中含有字母时要注意分类讨论)；(2)图像法：若幂式的底数不同而指数相同时，可以根据指数函数的图像随底数的变化规律，利用图像进行比较；(3)中间量法：若底数不同且幂指数也不同时，则需要引入中间量进行比较，中间量可以是幂式，使它与其中一个底数相同而与另外一个指数相同，或用0,1作为中间量．【例7－1】设y 1＝40.9，y 2＝80.48， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )．A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 1＞y 2＞y 3解析：从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y 1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝(2－1)－1.5＝21.5.因为指数函数y ＝2x (x ∈R )是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y 1＞y 3＞y 2.答案：C【例7－2】比较下列各组中数的大小． (1)2334⎛⎫⎪⎝⎭________2356⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)2.3－0.28________0.67－3.1. 解析：(1)根据指数函数的图像随底数的变化规律可知，函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像如图所示，易知2334⎛⎫⎪⎝⎭＜2356⎛⎫⎪⎝⎭.(2)∵2.3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，∴2.3－0.28＜0.67－3.1. 答案：(1)＜ (2)＜8．指数型方程(不等式)的解法(1)因为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是单调函数，若a f (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．这是解“同底型”指数方程的基本依据；对于形如a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0的方程，可用换元法求解，先令a x＝t ，将原方程转化为二次方程t 2＋bt ＋c ＝0，求出t ，再求x .例如，解方程11122xx-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数的运算性质，原方程可化为()11122xx -+-=，即1122xx-=.因为指数函数y ＝2x在R 上是增函数，所以11x x=-，即x 2＋x －1＝0(x ≠0)．解得15x --=或15x -+=. 又如，解方程4x－3×2x－4＝0，由于4x＝(22)x＝(2x )2，所以方程可化为(2x )2－3×2x－4＝0.若把2x 看作一个整体，令2x ＝t (t ＞0)，则方程t 2－3t －4＝0是关于t 的一元二次方程．解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，即2x ＝4＝22，故x ＝2.(2)因为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是单调函数，故af (x )＞ag (x )⇔,1,0 1.f xg x a f x g x a ()>()>⎧⎨()<()<<⎩这是解简单的“同底型”指数不等式的基础．例如，已知(a 2＋a ＋2)x＞(a 2＋a ＋2)1－x，则x 的取值范围是________．观察不等式可知，这是一个“同底型”指数不等式，由于a 2＋a ＋2＝21724a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＞1，所以y ＝(a 2＋a ＋2)x在R 上是增函数，故x ＞1－x ， 即12x >， 【例8－1】解不等式231xx a-+＞a (a ＞0，a ≠1)．分析：根据231x x a -+＞a 1和指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的单调性将不等式转化为关于x的一元二次不等式x 2－3x ＋1＞1或x 2－3x ＋1＜1求解即可．解：当a ＞1时，指数函数y ＝a x是R 上的增函数，∴由231x x a -+＞a 1，可得x 2－3x ＋1＞1，即x 2－3x ＞0，∴x (x －3)＞0.∴0,30,x x >⎧⎨->⎩或0,30,x x <⎧⎨-<⎩解得x ＞3或x ＜0.当0＜a ＜1时，指数函数y ＝a x是R 上的减函数， ∴由231x x a -+＞a 1，可得x 2－3x ＋1＜1，即x 2－3x ＜0，∴x (x －3)＜0.∴0,30,x x >⎧⎨-<⎩或0,30,x x <⎧⎨->⎩解得0＜x ＜3.综上可知，当a ＞1时，不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜0}； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜3}．【例8－2】画出函数y ＝|3x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？解：函数y ＝|3x－1|的图像如下(图中实线部分)．因此，x 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. (3)利用函数的图像也可解决与指数型方程和不等式有关的问题，如观察两个函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图像的交点个数可确定方程f (x )＝g (x )的解的个数，观察函数y ＝f (x )与x 轴的交点情况，可以确定不等式f (x )＞0或f (x )＜0的解集等．由图可知，当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像无交点，即方程|3x－1|＝k 无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有唯一的交点，即方程|3x－1|＝k 有一解；当0＜k ＜1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有两个不同交点，即方程|3x－1|＝k 有两解．9．指数型函数的定点问题由于a 0＝1(a ≠0)，即任意一个不为0的数的零次方都等于1，所以，对于指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)，不管其底数取何大于0且不等于1的常数，其图像都过一个定点(0,1)．因此，讨论有关指数型函数的定点问题时，关键是确定指数等于0的条件．一般地，函数g (x )＝ka f (x )＋b (a ＞0，a ≠1，k ，b 是常数)，若f (m )＝0，则函数g (x )恒过定点(m ，k ＋b )．熟记此结论，可提高解题速度．【例9】若对任意大于0且不等于1的实数a ，函数y ＝(p －1)·a x－2p(p 是常数)的图像恒过一定点，则该定点坐标为________．解析：虽然当实数a 变化时，函数y ＝(p －1)·a x－2p(p 是常数)的解析式不同，其图像也会相应地变化，但是，当x ＝0时，a x≡1，此时y ＝(p －1)－2p ＝12p -是一个常数，所以所有函数的图像恒过一定点，该定点坐标为0,12p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.答案：0,12p ⎛⎫- ⎪⎝⎭解技巧 指数型函数的定点问题求指数型函数的定点问题时，只需令含变量底数的幂的指数为零，则可消去底数，从而解出定点．10．指数函数图像的变换 (1)函数图像的平移变换一般地，函数y ＝f (x )的图像向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位长度就得到y ＝f (x ＋a )的图像；向上(b ＞0)或向下(b ＜0)平移|b |个单位长度就得到y ＝f (x )＋b 的图像．所以，若已知y ＝a x的图像，把它向左(m ＞0)或向右(m ＜0)平移|m |个单位长度就得到y ＝a x ＋m 的图像；向上(n ＞0)或向下(n ＜0)平移|n |个单位长度就得到y ＝a x＋n 的图像．(2)函数图像的对称变换一般地，函数y ＝f (x )的图像与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称；与y ＝－f (x )的图像关于x 轴对称；与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称．所以，若已知y ＝a x 的图像，则其与y ＝a －x 的图像关于y 轴对称；与y ＝－a x的图像关于x 轴对称；与y ＝－a －x的图像关于原点对称．(3)函数图像的翻折变换①y ＝|f (x )|的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于x 轴及其上方的部分，将y ＝f (x )的图像中位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到的；②y ＝f (|x |)是一个偶函数，其图像关于y 轴对称，y ＝f (|x |)的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于y 轴及其右侧的部分，去掉位于y 轴左侧的部分，再将右侧部分以y 轴为对称轴翻折到左侧而得到的．【例10】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数y ＝2x的图像经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x |；(4)y ＝|2x －1|；(5)y ＝－2x ；(6)y ＝－2－x. 分析：可用描点法或图像的变换规律作出函数的图像，然后再指出两个函数图像的关系．由图像的变换规律，可掌握函数图像的大致形状和快速作图．解：如图所示：(1)y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位长度得到的；(2)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位长度得到的；(3)y＝2|x|的图像是保留y＝2x的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的；(4)y＝|2x－1|的图像是由y＝2x的图像向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图像对称到x轴上方得到的；(5)y＝－2x的图像与y＝2x的图像关于x轴对称；(6)y＝－2－x的图像与y＝2x的图像关于原点对称．。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.1 正整数指数函数学案 北师大版必修1
3.1 正整数指数函数[核心必知]1．定义一般地，函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1，x ∈N＋)叫作正整数指数函数．其中x 是自变量(x在指数位置上)，底数a 是常数．2．图像特征正整数指数函数的图像是位于第一象限，且在x 轴的上方的一群孤立的点．[问题思考]1．正整数指数函数的解析式的结构有何特征？提示：有三个特征：底数a 为常数；指数为自变量x ；系数为1.2．正整数指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的单调性与底数a 的大小有何关系？提示：当0＜a ＜1时，y ＝a x是减少的，当a ＞1时，y ＝a x是增加的．讲一讲1．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·(2a －1)x是正整数指数函数，则实数a 的值是________．[尝试解答] 由正整数指数函数的定义可知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，2a －1＞0且2a －1≠1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ＞12且a ≠1，∴a ＝2. 答案：2正整数指数函数是一个形式定义，处理有关正整数指数函数概念的问题只要抓住它的三个特征确认与应用即可．练一练1．若函数f (x )＝(a 2－4a ＋4)·a x(x ∈N＋)为正整数指数函数，则f (4)＝________.解析：由正整数指数函数的定义可知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋4＝1，a ＞0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝3，a ＞0且a ≠1，∴a ＝3.∴f (x )＝3x，故f (4)＝34＝81. 答案：81讲一讲 2．画出函数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ，(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x(x∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．[尝试解答]在同一坐标系中分别画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x(x ∈N ＋)图像如图所示．由图像知：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x(x ∈N ＋)是增加的；而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x(x ∈N ＋)是减少的．(1)正整数指数函数的图像特点：正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．(2)当0＜a ＜1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是减函数．当a ＞1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是增函数．练一练2．画出函数(1)y ＝2x(x ∈N ＋)，(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ∈N ＋)的图像，并说明它们的单调性．解：(1)函数y ＝2x(x ∈N ＋)的图像如图(1)所示，由图像可知，该函数是增加的；(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ∈N ＋)的图像如图(2)所示，由图像可知，该函数是减少的．讲一讲3．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)利用图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．[尝试解答] (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；经过2年，剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；……一般地，经过x年，剩留量y随时间x 变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．(2)根据这个函数关系式可以列表如下：用描点法画出正整数指数函数y＝0.84x 的图像(如图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．(3)通过计算和看图可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数．(4)从图像可以看出，当x＝4时，y≈0.5，即约经过4年，剩留量是原来的一半．实际问题中与“递增率”、“递减率”有关的问题，多抽象为正整数指数函数型函数y＝N(1±p%)x，x∈N＋(其中N为原产值，增长(减少)率为p，x为经过的时间)．练一练3．有关部门计划于2016年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2022年应投入多少辆电力型公交车？解：由题意知，在2017年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；在2018年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；……故在2022年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×⎝⎛⎭⎪⎫326＝1 458(辆)．答：该市在2022年应投入1 458辆电力型公交车．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，若要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．[巧思] 先根据题意写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，再用估算法求解．[妙解] 函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ∈N＋)． 令⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤1%，得4x≥100. ∵43＝64＜100,44＝256＞100， ∴当x ≥4时，4x≥100， 故至少要漂洗4次． [答案] 41．给出下列函数：①y ＝(2)x ；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ；③y ＝3x ＋1；④y ＝(1－2)x.当x ∈N ＋时，以上函数中是正整数指数函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B2．函数f (x )＝3x－2中，x ∈N ＋且x ∈[－1,3]，则f (x )的值域为( ) A ．{－1,1,7} B ．{1,7,25} C ．{－1,1,7,25}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53，－1，1，7，25 解析：选B ，∵x ∈N ＋且x ∈ [－1,3] ，∴x ∈{}1，2，3， ∴3x∈{}3，9，27，∴f (x )∈{}1，7，25.3．某产品计划每年成本降低的百分率为p ，若三年后成本为a 元，则现在的成本为( ) A ．a ·p 3元 B ．a (1－p )3元 C.a (1－p )3元 D.a(1＋p )3元 解析：选C 假设现在的成本为y 元，则y ·(1－p )3＝a ， ∴y ＝a(1－p )3. 4．已知f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1，x ∈N ＋)的图像过点(5,32)，则f (8)＝________. 解析：由题意得a 5＝32，∴a ＝2，∴f (x )＝2x， ∴f (8)＝28＝256. 答案：2565．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板后的强度为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．解析：光线通过第1块玻璃板后的强度为a (1－10%)， 通过第2块玻璃板后的强度为a (1－10%)2， 依次类推，通过第x 块玻璃板的强度为y ＝a (1－10%)x ＝a ·0.9x (x ∈N ＋)．答案：y ＝a ·0.9x(x ∈N ＋)6．一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%，(1)试写出年产量y 随年数x 变化的关系式，并写出其定义域； (2)画出其函数图像． 解：(1)y ＝(1＋10%)x＝1.1x， ∴y 与x 的关系式是y ＝1.1x， 其定义域是{x |x ≤10，x ∈N ＋}． (2)如图所示：一、选择题1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1，x ∈N ＋B ．y ＝x 5，x ∈N ＋ C ．y ＝3－x，x ∈N ＋ D ．y ＝3×2x ，x ∈N ＋解析：选C 根据正整数指数函数的定义知y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈N ＋符合要求．2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73x(x ∈N ＋)的图像是( )A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点解析：选C 73＞1且x ∈N ＋，故图像是一系列上升的点．3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成( )A ．511个B ．512个C ．1 023个D ．1 024个解析：选B 由题意知，经过x 次分裂后，这种细菌分裂成y ＝2x(个)，易知分裂9次，即x ＝9时，y ＝29＝512(个)．4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选B 设原来价格为a ，依题意四年后的价格为a (1＋20%)2(1－20%)2＝a (1－0.04)2，∴a －a (1－0.04)2＝a [1－(1－0.04)2] ＝a (1－1＋0.08－0.001 6) ＝a ·7.84%. 二、填空题5．已知函数y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)在[1,3]上的最大值为8，则a 的值是________． 解析：由题意知a >1，且a 3＝8，解得a ＝2. 答案：26．比较下列数值的大小： (1)(2)3________(2)5；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫232________⎝ ⎛⎭⎪⎫234. 解析：由正整数指数函数的单调性知，(2)3＜(2)5，⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞⎝ ⎛⎭⎪⎫234. 答案：(1)＜ (2)＞7．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n ＝P 0(1＋K )n(K 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，K 为预测期内的年增长率，若－1＜K ＜0，则在这期间人口数________(填呈上升趋势或是下降趋势)解析：P n ＝P 0(1＋K )n是指数型函数，∵－1＜K ＜0，∴0＜1＋K ＜1，由y ＝a x(0＜a ＜1)是N ＋上的减函数可知，人口呈下降趋势． 答案：呈下降趋势8．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质的质量约是原来的45，则经过________年，剩留的物质是原来的64125.解析：设物质最初的质量为1，则经过x 年，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x.依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＝64125，解得x ＝3.答案：3 三、解答题9．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因． 解：设正整数指数函数为f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1，x ∈N ＋)． ∵函数f (x )的图像经过点(3,27)， ∴f (3)＝27，即a 3＝27. ∴a ＝3.(1)函数f (x )的解析式为f (x )＝3x(x ∈N ＋)． (2)f (5)＝35＝243.(3)∵正整数指数函数f (x )＝3x(x ∈N ＋)在正整数集N ＋上是增加的，故函数无最大值，有最小值为f (1)＝3.10．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y ＝f (t )．(1)写出函数y ＝f (t )的定义域和值域； (2)在坐标系中画出y ＝f (t )(0≤t ＜6)的图像；(3)写出研究进行到n 小时(n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总个数(用关于n 的式子表示)． 解：(1)y ＝f (t )的定义域为{t |t ≥0}，值域为{y |y ＝2t，t ∈N ＋}．(2)0≤t ＜6时，为一分段函数， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤t ＜2，4，2≤t ＜4，8，4≤t ＜6.图像如图所示．(3)n 为偶数时，y ＝2n 2＋1；n 为奇数时，y ＝2n －12＋1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n2＋1，n 为偶数，2n －12＋1，n 为奇数.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学
3.5 对数函数第1课时 对数函数的概念 对数函数y ＝log2x 的图像和性质[核心必知]1．对数函数的概念 (1)对数函数的定义：一般地，函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数． (2)两种特殊的对数函数：我们称以10为底的对数函数y ＝lg_x 为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数y ＝ln_x 为自然对数函数．2．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数． 3．函数y ＝log 2x 的图像和性质图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x ＝1，y ＝0 (4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 (5)单调性：在(0，＋∞)上是增函数[问题思考]1．函数y ＝log 3x (x >0)，y ＝log 12x (x >0)，y ＝2log 2x ，y ＝log 12x 2都是对数函数吗？为什么？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．因此y ＝log 3x (x ＞0)，y ＝log 12x (x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，y＝log 12x2等都不是对数函数．2．函数y ＝log a x 2与y ＝2log a x (a ＞0且a ≠1)是同一个函数吗？为什么？提示：不是，因为定义域不同． 3．对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x有何关系？提示：(1)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称；(2)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的定义域与值域互换，即y ＝log 2x 的定义域(0，＋∞)是y ＝2x的值域，而y ＝log 2x 的值域R 恰好是y ＝2x 的定义域．(3)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的单调性一致，即都是增函数．讲一讲1．求下列函数的定义域．(1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x)．[尝试解答] (1)要使函数有意义， 需有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，log 2(1－x )≤0，解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，x >－1，x ≠0.∴1<x <2，故所求函数的定义域为(1,2)．求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log 2x <1，有人常由此得到x <2，而忘记x >0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．练一练1．求下列函数的定义域． (1)y＝1－log 2x ；(2)y ＝lg(x ＋1)＋1log 2(－x )＋1.解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－log 2x ≥0，即0<x ≤2，∴所求函数的定义域为(0,2]． (2)要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x ＞0，log 2(－x )＋1≠0.即－1＜x ＜0且x ≠－12.∴所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.讲一讲2．写出下列函数的反函数． (1)y ＝log 0.13x ；(2)y ＝3.05x. [尝试解答] (1)y ＝log 0.13x 的反函数是y ＝0.13x .(2)y ＝3.05x的反函数是y ＝log 3.05x .函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x(a ＞0，a ≠1)；函数y ＝a x 的反函数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)．练一练2．写出下列函数的反函数．(1)y ＝lg x ；(2)y ＝ln x ；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.解：(1)y ＝lg x 的反函数为y ＝10x. (2)y ＝ln x 的反函数为y ＝e x. (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数为y ＝log 13x .讲一讲3．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题．(1)若f (a )＞f (2)，求a 的取值范围；(2)y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最值．[尝试解答] 函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)因为y ＝log 2x 是增函数， 若f (a )＞f (2)， 即log 2a ＞log 22， 则a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x ≤14， ∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227. ∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.(1)研究函数y ＝log 2x 的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．(2)函数y ＝log 2x 的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．练一练3．(1)比较log 245与log 234的大小；(2)若log 2(2－x )＞0，求x 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，又∵45＞34，∴log 245＞log 234.(2)log 2(2－x )＞0即log 2(2－x )＞log 21，∵函数y ＝log 2x 为增函数，∴2－x ＞1，即x ＜1.∴x 的取值范围为(－∞，1)．当m 为何值时，关于x 的方程|log 2(x －1)|＝m 无解？有一解？有两解？[巧思] 将关于x 的方程解的问题转化为函数y ＝|log 2x －1|的图像与直线y ＝m 的交点个数问题，利用数形结合法求解．[妙解] 在同一坐标系，分别作出函数y ＝|log 2(x －1)|和y ＝m 的图像，如图所示．由图像得：当m <0时，方程无解，当m ＝0时，方程有一解，当m >0时，方程有两解．1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝lg(10x) C ．y ＝log a (x 2＋x ) D ．y ＝ln x 解析：选D 形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数为对数函数，所以只有y ＝ln x 符合此形式．2．函数y ＝log 2x (1≤x ≤8)的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[0,3]解析：选D ∵y ＝log 2x 在[1,8]上为增函数，∴log 21≤y ≤log 28，即y ∈[0,3]．3．图中所示图像对应的函数可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x的反函数 C ．y ＝2－xD ．y ＝2－x 的反函数解析：选D 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y ＝的图像．4．若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数图像过点(2，－1)，则a 的值是________．解析：依题意，f (x )的图像过点 (－1,2)，∴a －1＝2，即a ＝12.答案：125．函数y ＝log 2(3x －1＋1)的定义域为________，值域为________．解析：由已知得x －1≥0，得x ≥1，故定义域为[1，＋∞)．又x －1≥0得3x －1≥30＝1，∴3x －1＋1≥2.∴y ＝log 2(3x －1＋1)≥log 22＝1.∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞) [1，＋∞)6．已知对数函数f (x )＝log 2(x ＋3)－1. (1)求此对数函数的定义域；(2)若f (a )＞f (1)，求a 的取值范围． 解：(1)由题意知x ＋3＞0，即x ＞－3， ∴函数的定义域为(－3，＋∞)． (2)f (a )＝log 2(a ＋3)－1，f (1)＝log 2(1＋3)－1＝1，∵f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0log 2(a ＋3)－1＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0a ＋3＞4∴a ＞1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．一、选择题1．(重庆高考)函数y ＝lg(x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.2．函数y ＝log 2|x |的图像大致是( )解析：选Ay ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，log 2(－x ) (x <0)，分别作图知A 正确．3．已知函数y ＝log 2x ，其反函数y ＝g (x )，则g (x －1)的图像是( )解析：选C 由已知g (x )＝2x，∴g (x －1)＝2x －1，故选C.4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )等于( )A ．－log 2xB ．log 2(－x )C ．log x 2D ．－log 2(－x ) 解析：选 D ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )．又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－log 2(－x )． 二、填空题5．集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝yy＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则(∁R A )∩B ＝________. 解析：∵x ＞1，∴log 2x ＞log 21＝0，∴A＝{y |y ＞0}．而当x ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫121，∴B ＝y 0＜y ＜12.∴(∁R A )∩B ＝{y |y ≤0}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0＜y ＜12＝∅.答案：∅6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝________.解析：∵y ＝f (x )的图像过点(a ，a )， ∴其反函数y ＝a x的图像过点(a ，a )，∴a a＝a ＝，∴a ＝12，∴f (x )＝.答案：7．若log 2a ＜log 2b ＜0，则a ，b,1的大小关系是________．解析：log 2a ＜log 2b ＜0⇔log 2a ＜log 2b ＜log 21，∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＜b ＜1.答案：a ＜b ＜18．函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上的最大值与最小值之差为________．解析：∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1.答案：1 三、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg(x ＋1)＋2x 2－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，∴函数的定义域为(－1,2)．(2)要使函数有意义．需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝log 2(1－x )．(1)若函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围；(3)判断函数F (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)由题意知，3≤x ≤63，∴4≤x ＋1≤64，∵函数y ＝log 2x 是增函数，∴log 24≤log 2(x ＋1)≤log 264，∴2≤f (x )≤6，∴f (x )的最大值为6，最小值为2. (2)f (x )－g (x )＞0⇔f (x )＞g (x )， 即log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，得：0＜x ＜1，∴x 的取值范围为(0,1)．(3)要使函数F (x )＝f (x )＋g (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ＞0，即－1＜x ＜1，∴定义域为(－1,1) 又F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)＝f (x )＋g (x )＝F (x )， ∴F (x )为偶函数．第2课时 对数函数的图像和性质[核心必知]对数函数的图像和性质底数a ＞1 0＜a ＜1图 像性质定义域 (0，＋∞) 值域(－∞，＋∞)过定点恒过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0有界性当x ＞1时，y >0；当0＜x ＜1时，y <0当x ＞1时，y <0； 当0＜x ＜1时，y >0 单调性在定义域内是增函数在定义域内是减函数[问题思考]对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的底数变化对图像位置有何影响？提示：在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x ，y ＝log 5x ，y ＝log 12x ，y ＝log 15x 的图像如图所示：观察这些图像，可得如下规律： (1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较(比较图像与y ＝1的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．讲一讲1．比较大小(1)log23.4，log28.5;(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log67，log76;(4)log3π，log20.8；(5)log712，log812.[尝试解答] (1)考察对数函数y＝log2x，∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．∴log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，∵0＜0.3＜1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.31.8＞log0.32.7.(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76.(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8.(5)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log7 12＞log8 12.法二：log7 12log 8 12＝lg 12lg 7lg 12lg 8＝lg 8lg 7＝log78＞1.∵log812＞0，∴log712＞log812.比较对数值大小的类型及相应方法：[注意] 当底数为字母时要分类讨论．练一练1．比较下列各组中两个值的大小 (1)ln 0.3，ln 2； (2)log 23，log 0.32； (3)log a π，log a 3.141；解：(1)(单调性法)因为y ＝ln x 在(0， ＋∞)上是增函数，所以ln 0.3＜ln 2.(2)(中间量法)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜0，所以log 23＞log 0.32.(3)(分类讨论)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数，则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数，则有log a π＜log a 3.141.综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141. (4)(图像法)借助y ＝log 14x 及y ＝log 15x的图像，如图，在(1，＋∞)上，y ＝log 14x的图像在y ＝log 15x 图像的下方，∴log 143＜log 153.讲一讲2．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|log 12x |.[尝试解答] (1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增加的；(2)y＝|log12x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0＜x ≤1，log 2x ，x ＞1，其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的．把例2(2)变为y ＝，画出其图像，并根据图像写出定义域，判断奇偶性及单调性．解：y ＝＝其图像如图所示．其定义域为{x |x ≠0}，为偶函数． 在(－∞，0)为增加的，在(0，＋∞)上为减少的．(1)与对数函数有关的一些对数型函数，如y ＝log a x ＋k ，y ＝log a |x |，y ＝|log a x ＋k |等，其图像可由y ＝log a x 的图像，通过平移，对称或翻折变换而得到．(2)对能画出图像的对数型函数性质及对数型方程解的研究，常先画出图像，再利用数形结合法求解．练一练2．已知函数f (x )＝|log 2(x ＋1)|. (1)画出其图像，并写出函数的值域及单调区间；(2)若方程f (x )＝k 有两解，求实数k 的取值范围．解：(1)函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像如图．由图像知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是[0，＋∞)．(2)由(1)的图像知，k ＞0即可．讲一讲3．已知f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数f (x )－g (x )的定义域； (2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明；(3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．[尝试解答] (1)要使函数f (x )－g (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞01－x ＞0，解得－1＜x ＜1，所以f (x )－g (x )的定义域为(－1,1)． (2)任取x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)f (－x )－g (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[f (x )－g (x )]，所以f (x )－g (x )在(－1,1)上是奇函数． (3)由f (x )－g (x )＞0得log a (1＋x )＞log a (1－x )，①当a ＞1时，则①可化为⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞1－x－1＜x ＜1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x－1＜x ＜1，解得－1＜x ＜0.所以当a ＞1时，x 的取值范围是(0,1)， 当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,0)．(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．而对于类似于f (x )＝log a g (x )的函数，利用f (－x )±f (x )＝0来判断奇偶性更简捷．(2)判断函数的单调性有两种思路，①利用定义；②利用图像．练一练3．已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)要使函数f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1)有意义，则a x－1＞0.当a ＞1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＞0，故函数的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a ＜1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＜0，故函数的定义域为(－∞，0)． (2)当a ＞1时， 设0<x 1<x 2，则∴f (x 1)－f (x 2)＝＝，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上也是增函数．设函数y ＝f (x )，且log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，求f (x )的值域．[错解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )，∴y ＝23x (3－x )．∵3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274≤274， ∴函数的值域为(－∞，2274]．[错因] 产生错解的原因在于未掌握对数函数、指数函数需满足真数大于0，a x＞0(a ＞0，且a ≠1)．此题因在未确定定义域前求值域，从而把值域扩大了．[正解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )， ∴y ＝23x (3－x )，且⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，3－x ＞0，log 2y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞1.而－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274.∵0＜x ＜3，∴0＜－3x 2＋9x ≤274，.1．已知函数f (x )＝log (a ＋1)x 是(0，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0，＋∞)解析：选D 由题意得a ＋1>1，解得a >0. 2．函数y ＝1＋log 3x 的图像一定经过点( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,1)解析：选D ∵y ＝log 3x 一定过定点(1,0)．∴y ＝1＋log 3x 的图像一定过点(1,1)． 3．(天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析：选A a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a .4．函数y ＝lg(4－x )x －3的定义域是________．解析：要使该函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <4，x ≠3.∴x ∈(－∞，3)∪(3,4)． 答案：(－∞，3)∪(3,4)5．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －3)＜1，那么x 的取值范围为________． 解析：a log b (x －3)＜1即a log b (x －3)＜a 0. ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴log b (x －3)＞0， 又∵0＜b ＜1，∴y ＝log b x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0＜x －3＜1，解得3＜x ＜4.答案：(3,4)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤1，log 3x 3·log 3x9，x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232的值； (2)求f (x )的最小值． 解：(1)∵log 232<log 22＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝2－log 232＝2log 223＝23， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝23. (2)当x ∈(－∞，1]时，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，即f (x )min ＝12.当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)， 令log 3x ＝t ，则t >0，∴f (x )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14.∵t >0，∴当t ＝32时，f (x )min ＝－14<12.∴f (x )的最小值是－14.一、选择题1．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a解析：选A a ＝log 3π＞log 33＝1，log 71＜b ＝log 76＜log 77， ∴0＜b ＜1，c ＝log 20.8＜log 21＝0，∴a ＞b ＞c .2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )解析：选A 依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，应选A.3．函数y ＝log a (x －3)＋2的图像恒过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,2) C ．(4,0) D ．(4,2)解析：选D 令x ＝4，则y ＝log a (4－3)＋2＝2， ∴函数的图像恒过定点(4,2)． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(－x )，x ＜0，log 12x ， x ＞0，若f (m )＜f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 当m ＞0时，－m ＜ 0，f (m )＜f (－m )⇒log 12m ＜log 2m ⇒log 21m ＜log 2m ⇒1m ＜m ，可得m ＞1；当m ＜0时，－m ＞0，f (m )＜f (－m )⇒log 2(－m )＜log 12(－m )⇒log 2(－m )＜log 2(－1m )⇒－m ＜－1m，可得－1＜m ＜0.故m 的取值范围是－1＜m ＜0或m ＞1. 二、填空题5．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是________．解析：由题意知－1≤2log 12x ≤1，即－1≤－2log 2x ≤1.∴－12≤log 2x ≤12，即log 222≤log 2x ≤log 22， ∴22≤x ≤ 2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 6．已知f (x )＝|lg x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f (2)的大小关系为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝lg 14＝－lg 4＝lg 4， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 13＝－lg 3＝lg 3，f (2)＝|lg 2|＝lg 2，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.答案：f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 7．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |＝|log 13x |的根的个数为________．解析：同一坐标系中作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |与y ＝|log 13x |的图像，可知有两个交点，故有两解．答案：28．已知函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有以下命题：(1)h (x )的图像关于原点(0,0)对称； (2)h (x )的图像关于y 轴对称； (3)h (x )的最小值为0；(4)h (x )在区间(－1,0)上单调递增．其中正确的是________．解析：∵函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，∴f (x )与g (x )互为反函数，∴f (x )＝log 3x ；∴h (x )＝f (1－|x |)＝log 3(1－|x |)． 由1－|x |＞0得－1＜x ＜1. ∵h (x )的定义域关于原点对称，且h (－x )＝log 3(1－|－x |)＝log 3(1－|x |)＝h (x )． ∴h (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，(2)正确； 又当x ∈(－1,0)时，h (x )＝log 3(1＋x )， 显然h (x )在(－1,0)上是递增的，∴(4)正确；利用特殊点验证可知，(1)不正确；由于h (x )在(－1,0)上单调递增，且h (x )为偶函数， ∴h (x )在[0,1)上单调递减，∴h (x )在(－1,1)上有最大值，h (0)＝log 31＝0，无最小值，故(3)不正确． 答案：(2)(4) 三、解答题9．(1)已知函数f (x )＝log 3(3x＋1)＋12ax 是偶函数，求a 的值；(2)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a ＞0且a ≠1)． ①求函数的定义域和值域；②若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值． 解：(1)函数的定义域是R ，由于f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即对任意x ∈R ，总有log 3(3－x ＋1)－12ax ＝log 3(3x＋1)＋12ax ，∴log 3(3－x＋1)－log 3(3x＋1)＝ax ，即(a ＋1)x ＝0，由于x 是任意实数，∴a ＝－1.(2)①由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0得－3＜x ＜1.∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)．设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， ∴t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为(－∞，log a 4]． 当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为[log a 4，＋∞)； ②由题意及①知，当0＜a ＜1时，函数有最小值． ∴log a 4＝－2.∴a ＝12.10．设函数f (x )＝x 2－x ＋b ，且满足f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a >0，a ≠1)，求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．解：由f (log 2a )＝b 可得，(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a ＝1或log 2a ＝0.∴a ＝2或a ＝1(舍去)． 又∵log 2[f (a )]＝2，即log 2(2＋b )＝2， ∴2＋b ＝4，b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2. ∴f (log 2x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，y min ＝74.。