指数与指数函数图像及性质(教师版)
指数函数的图象和性质 PPT课件(高一数学人教A版 必修一册)
y
(
1)x 2
的图
象．
高中数学
问题1 你是如何画出函数 y (1)x的图象．
2
底数互为倒数的两个指数函数的 图象关于 y 轴对称．根据这种对称性， 就可以利用一个函数的图象，画出另 一个函数的图象．
高中数学
将指数函数 y=ax 的图象按底数 a 的取值，分作 a>1 和 0<a<1两 种类型进行研究．
研究函数性质的三步曲
先做出具体函数的图象，然后通过观察、比较不同函数的图象， 最后归纳它们共同的特征．
高中数学
指数函数的图象和性质
研究指数函数 y=2x ．
高中数学
指数函数的图象和性质
研究指数函数 y=2x ． 定义域是R；
高中数学
指数函数的图象和性质
研究指数函数 y=2x ． 定义域是R； 值域是（0，+∞）？
问题3 这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们 得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？
高中数学
问题3 这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们 得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？
高中数学
指数函数 y=ax （ a＞0，且 a ≠ 1）的图象和性质 ．
0<a<1
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y
0.35
0.71
1.41
2.83
高中数学
请同学们完成 x，y 的对应值表，并用描点法画出指数函数 y=2x 的图象．观察图象，探究函数的性质．
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4
最新湘教版高中数学《指数函数的图象与性质》教学课件
由
0.80.7 0.70.7
0.8 0.7
0.7
＞1得0.70.7＜0.80.7.
所以0.70.8＜0.70.7＜0.80.7．
比较两个数的大小，既 可以作差，也可以用比的方
法.
一 指数函数的图形与性质
例 5 已知指数函数f(x)=ax的图象经过点(2，7)，求f(－6)和f(3).
解 因为f(x)=ax的图象经过点(2，7)，
x
.
6.在同一直角坐标系内作出下列各函数的图象：
y=4x，y=4－ x，y=4 x+1 ，y=4x－1 .
并说明后三个函数图象可由y=4x的图象经过怎样的变换而得到.
二
习题4.2
7.设a，b，c，d都是不等于1的正数，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一直角坐标
系中的图象如下图所示，则a，b，c，d的大小关系是
当然，作出来的图象是有限的，从图象得出来的这些结论是看曲线走势发挥 想象力的结果.
一 指数函数的图形与性质
如果底数a∈(0，1)，则它的倒数
1 a
＞1，函数
f(－x)=
a－x
=
1 a
x
的图象关于y轴对称.例如
y
2 3
f(x)=
x
与y
ax = 3 2
x
1 a
x
的图象和函数
的图象关于y轴对称，
一 指数函数的图形与性质
例 3 作出指数函数y=ax和y=10x的图象. 解 通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图4.2-3.
x … -2 -1 0 1 2 … y=2x … 0.25 0.5 1 2 4 …
x … -1 -0.5 0 0.5 1 … y=10x … 0.1 0.32 1 3.16 10 …
新教材人教b版必修第二册412指数函数的性质与图像课件1
1
.
10
(x
√
)
y=(sin 30°)x在定义域上是增函数.( ✕ )
提示:sin 30°= 1 ,故函数y=(sin 30°)x在定义域上是减函数.
2
y=2x+1的图像可以由y=2x的图像向右平移1个单位长度得到. ( ✕ )
提示:应该是向左平移1个单位长度.
1 |与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
1.(★★☆)解下列方程.
(1)81×32x=
1 9
x2
;(2)22x+2+3×2x-1=0.
解析
(1)∵81×32x=
1 9
x
2
,∴32x+4=3-2(x+2),∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
(2)∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则原方程可化为4t2+3t-1=0,解得t= 1 或t=-1(舍去),
破疑典例
(★★☆) (1)设a,b,c,则a,b,c的大小关系是 ( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c D.b<c<a
(2)下列大小关系正确的是 ( B )
3<3<π03<π0<3
3<π00<33
解析 (1)00,又函数yx在(-∞,+∞)上是减函 ,即b<a<c.故选C.
(2)30=1=π0=30<3,故选B.
t <1,∴函数的值域为[0,1).
2|与指数函数有关的复合函数的单调性
指数函数图像和性质名师优质公开课
fx = 0.9x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
练习： 1、已知下列不等式，试比较m、n的大小：
( 2)m ( 2)n
mn
33
1.1m 1.1n
mn
2、比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 , 20.2
0.42.5 10 20.2
比较指数型值经常 借助于指数函数的图像
或直接运用函数的单调性
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限靠近，向右与 x 轴无限靠近。
指数函数的定义：
函数
y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量 函数定义域是R 值域是（0， ）
下列函数中，哪些是指数函数？
y 4x y x4
y 4 x1
y 4 x
y 4x y 3x
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
y=1 1
0
1
x
y
y ax
(a 1)
1
0
x
y
y ax
(0 a 1)
或选用适宜的中介值（惯用的特殊值是0和1），再运用单调性比较大小
a>1
0<a<1
图 6
5
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
数学人教A版(2019)必修第一册4.2.2指数函数的图象及性质(共32张ppt)
4
-1.5
0.35
2.83
-1
0.5
2
-0.5
0.71
1.41
0
1
1
0.5
1.41
0.71
1
2
0.5
2
4
0.25
2 ，
=
1
( ) 的图象.
2
新知1：指数函数图像与性质
问题2：将函数 = 的图象与函数 = ( ) 的图象进行比较，它们有什么联系？
1
2
= 2 的图象与函数 = ( ) 的图象关于轴对称.
，则下列结论中，一定成立的是（
A． < 0, < 0, < 0
C． < 0, = − , > 0
）
B． < 0, ≥ 0, > 0
D．3 + 3 > 2
【答案】D
【解析】由图示可知 < 0 ， 的符号不确定， > 0 ，
故A、B错；
( ) = |3 − 1|, ( ) = |3 − 1|，
∴ = 1时， = 0，
当 > 1时，函数 = 2 − 2为 1, +∞ 上的单调递增
函数，且 > 0，
当 < 1时，函数 = 2 − 2 为 −∞, 1 上的单调递减
函数，且 > 0，
故选：B
D．
）
典型例题
题型二：指数函数的图象问题
【对点训练2】（2023·全国·高一专题练习）函数 ( ) = − 的图象如图所示，其中 a，b为常数，则下列结
如上图， < < 0 < 满足 > > ，故
第5讲 指数函数及其图像(教师版)
第五讲指数函数及其图像1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)na n＝(na)n＝a.(×)(2)分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘．(×)(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.(×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)(5)函数y＝a21＋x(a>1)的值域是(0，＋∞)．(×) (6)函数y＝2x－1是指数函数．(×)1．若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是( )A ．1 B.14 C.22 D.23答案 D解析 ∵a ＝(2＋3)－1＝2－3，b ＝(2－3)－1＝2＋3， ∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2 ＝112－63＋112＋63＝23.2．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 函数f (x )的图象恒过(－1,0)点，只有图象D 适合．3．(教材改编)已知0.2m <0.2n ，到m ________n (填“>”或“<”)． 答案 >解析 设f (x )＝0.2x ，f (x )为减函数， 由已知f (m )<f (n )，∴m >n .4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8， ∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．题型一 指数幂的运算例1 化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a13-b13(a >0，b >0)；(2)()21103227()0.00210(52)(23).8--－－＋－－＋－解 (1)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a13-b 13＝a 3111263+-+b 111233+--＝ab －1. (2)原式＝1223271()850052--⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋－1－ ＝122381()527500⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋－10(+2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝_______________________________. (2) (14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________.答案 (1)0 (2)85解析 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫641 0001552-23－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4103152()523⨯-⨯－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝2×432×a 32b32-10a 32b32-＝85. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[－1,1]解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0，故选D. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]． 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝a x (a>0，且a≠1)经过点E，B，则a等于()A. 2B.3C．2 D．3(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是() A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2答案(1)A(2)D解析(1)设点E(t，a t)，则点B坐标为(2t,2a t)．因为2a t＝a2t，所以a t＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝a t×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝ 2.故选A.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.题型三 指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 (1)B (2)a >c >b解析 (1)A 中， ∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数， 2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B. (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x为减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2535<⎝⎛⎭⎫2525 即b <c ，又a c ＝⎝⎛⎭⎫35 25⎝⎛⎭⎫25 25＝⎝⎛⎭⎫3225>⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴a >c ，故a >c >b .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解 因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x . (1)因为f (1)>0，所以a －1a >0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， 所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 答案 (1)(－∞，4] (2)D解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[1a ，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增， 所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[a ，1a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上知a ＝3或a ＝13.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221－＋＋x x 的单调减区间为________________________________． 思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求． 解析 (1)因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221－＋＋x x 的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)(－∞，1]温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．2．指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．[失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )答案 B解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除C 、D. 又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除A.故选项B 正确． 2．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0) D ．(2,2)答案 D解析 ∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x )的图象必过点(2,2)．3．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c 答案 D解析 a >20＝1，b ＝1，c <(12)0＝1，∴a >b >c .4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案 B解析 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.6．计算：12104334372()()82()263-⨯--＋＝________.答案 2解析 原式＝⎝⎛⎭⎫23×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________． 答案 m >n解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .8．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 0解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－－＋x x ， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.10．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x， ∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．∴f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数， 则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立， ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0， 又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1) D ．不能确定答案 A解析 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．12．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B解析 函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析 由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x<1， 从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34.14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？ 解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)， f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 4x＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ＝0，2x 4x＋1，x ∈(0，1).(2)设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝121212(22)(12),(41)(41)x x x x x x +--=++1212211222(22)(22)(41)(41)x x x x x x x x ++-+-++高三·数学（理）∵0<x 1<x 2<1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)上为减函数． (3)∵f (x )在(0,1)上为减函数， ∴2141＋1<f (x )<2040＋1，即f (x )∈⎝⎛⎭⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，－25. 又f (0)＝0，当λ∈⎝⎛⎭⎫－12，－25∪⎝⎛⎭⎫25，12， 或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解.1212022221＋，＝，x x x x ∴<>。
指数函数的性质与图像公开课优质课件一等奖
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人口增长模型
人口增长模型
假设人口增长率保持不变，则人口数量与时间之间的关系可以用指数函数来描 述。即N(t) = N0e^(rt)，其中N(t)表示t时刻的人口数量，N0表示初始人口数 量，r表示人口增长率。
指数函数在人口增长模型中的应用
通过指数函数模型，可以预测未来人口数量的变化趋势，为城市规划、资源分 配等提供决策依据。
指数函数的性质与图像公 开课优质课件一等奖
2024/1/27
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目录
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• 指数函数基本概念 • 指数函数性质分析 • 指数函数图像特征 • 指数函数在生活中的应用举例 • 求解指数方程和不等式方法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
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指数函数基本概念
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指数函数定义
指数函数是形如 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函数，其中 a 是底数，x 是指 数。
当a=1时，指数函数f(x)=1是偶函数，因为 f(-x)=f(x)对于所有的x都成立。
当a=-1时，指数函数f(x)=(-1)^x是奇函数， 因为f(-x)=-f(x)对于所有的x都成立。
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指数函数图像特征
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ห้องสมุดไป่ตู้
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图像形状及位置
指数函数图像是一条从左下方 向右上方延伸的曲线，形状类 似于指数增长的曲线。
指数函数的单调性可以通过其导数进行证明。对于底数a>1的指数函数，其导数恒大于0，因此函数单调增加； 对于0<a<1的指数函数，其导数恒小于0，因此函数单调减少。
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指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。
（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。
(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。
(4),||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 其中1>n ，且*∈N n 。
2. 分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n ma a =()1,,,0>∈>*n N n m a(2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a=；2.(1,)n a n n N+=>∈,,||,a na n⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3.1(0,,,)nmnmna a m n Nma-+=>∈且为既约分数，=a aαβαβ（）.【例1】计算下列各式的值．（1（2；（3；（4)a b>.正确解析：（18 =-；（2|10|10 =-=；（3|3|3ππ=-=-；（4||() a b a b a b =-=->.温馨提醒：(1) n中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要n有意义，其值恒等于a，即n a=；n的奇偶性限制，a R∈n的奇偶性影响.【变式1】求下列各式的值：（1（*1,n n N>∈且）；（2.【例2】计算)213013410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【答案】)213013411479 0.027256310.3496417330 --⎛⎫--+-+=-+-+=⎪⎝⎭【变式2】化简34]的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【答案】B【解析】3234[(5)]-===，故选B【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148422323⎛⎫- ⎪⎝⎭________.【答案】2【解析】原式＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭×1＋342×142－13223⎛⎫= ⎪⎝⎭.题型二 根式、指数幂的条件求值1. 0a >时，0;ba > 2. 0a ≠时， 01a =；3. 若,r s a a =则r s =； 4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5.11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.【例3】已知11223a a -+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223a a-+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++【变式1】已知,a b是方程2640x x-+=的两根，且0,a b>>求a ba b-+的值.【答案】5【方法规律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.【变式2】已知12,9,x y xy+==且x y<，求11221122x yx y-+的值.【答案】3【变式3】已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．正确解析：由于3311332222()()a aa a ---=-，所以331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++⋅=--=1118.a a -++=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.【变式4】 （1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-； （2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】 化简或计算出下列各式：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是( )A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是( )A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a aa a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ( )A.3232-+a a C. 3232--a a D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。
【变式1】若函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点1(2,)2，则(1)f -=_______.【解析】依题意可知212a =，解得2a =，所以()2x f x =，所以1()2f x -==【变式2】已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】()()()11,112f f a =-∴=--=，故选B.题型四 指数函数的单调性【例2】比较下列各题中的两个值的大小:(1)与; (2)与 (3)与【变式1】比较0.20.71.5,1.3,-132()3的大小。
【变式2】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【例3】指数函数()(1)xf x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．2a >C ．01a <<D ．12a << 【答案】B【解析】对于指数函数xy a =，当1a >时，函数在R 上是增函数，当01a <<时，函数在R 上为减函数.由题意可知：11a ->即，2a >，选B . 【变式3】使不等式23x －1＞2成立的x 的取值为( )A ．(23，＋∞) B．(1，＋∞) C．(13，＋∞) D．(－13，＋∞)【变式4】若(12)2a ＋1<(12)3－2a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(12，＋∞) C．(－∞，1) D ．(－∞，12)【例4】函数221y=2x x -++⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．正确解析：令220t x x ≥＝－＋＋，得函数定义域为[12]－，， 所以22t x x ＝－＋＋在1[1,]2-上递增，在1[2]2，递减．根据“同增异减”的原则， 函数221y=2x x -++⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是1[2]2，.温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.题型三 指数型函数的图像【例5】如下图所示是指数函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象，试判断,,,a b c d 与１的大小关系。
【变式1】当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是( )【变式2】已知函数()22xf x =-，则函数|()|y f x =的图象可能是( )【答案】B【解析】|f(x)|=|2x-2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B. 题型四 指数函数的性质应用【例6】求下列函数的定义域、值域。
(1)y =11-x ; (2)y =315-x ; (3)y =2x+1; (4)y =1222+-x x .【变式1】求下列函数的定义域与值域。