指数函数图像及其性质导学案
指数函数的概念导学案
4.2.1 指数函数的概念导学案【学习目标】1.了解指数函数的概念.2.会画出指数函数图象(重点).3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).【自主学习】一．指数函数的定义一般地，函数 (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .【答案】y ＝a x二．指数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点过定点 ，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化 当x >0时， ；当x <0时， 当x >0时， ；当x <0时， 单调性在R 上是在R 上是【答案】【当堂达标基础练】1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 【答案】C【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C 正确． 2．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C3.函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a = D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】由指数函数的定义可得2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，从而可求出a 的值 【详解】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3a =. 故选：C4．若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为()233xy a a a =-+是指数函数，所以233101a aa a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =.故选：C ．5．已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.故答案为：46.若函数()132xf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）是指数函数，则=a ________．一、选择题1．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1[答案C【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥8)的值域是( ) A ．RB.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1256 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，＋∞【答案】B【解析】因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝1256.3．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)【答案】C【解析】由2x－1≥0得2x≥1，即x ≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)【答案】C 【解析】∵f (－1)＝a－1＋1－1＝a 0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．5．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )A B C D【答案】A【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.二、填空题6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________． 【答案】[1，＋∞)【解析】由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 【答案】7【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数f (x )的值域是________．【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由x <0，得0<2x<1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x<1， ∴－1<－2－x<0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解] (1)因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， 所以a2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 所以函数的值域为(0,2]．10．已知f (x )＝9x－2×3x＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.【当堂达标素养练】1．函数y ＝a－|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D【答案】A【解析】y ＝a －|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.2．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限【答案】A【解析】∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 【答案】12【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 4．函数f (x )＝3x3x ＋1的值域是________．【答案】(0,1)【解析】函数y ＝f (x )＝3x3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)．5．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． [解] (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)， 又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图象可知使|f (x )|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.6．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）()24x x g x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,x x a a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a += ∴⇒∵∴（2）法一：方程为 令，则144t ≤≤ 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+ ，y b = 两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解．法二： 方程为 ，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．。
指数函数的图像与性质导学案
指数函数的图像与性质主备人：陈兆兴 审核人：唐新波 时间：20XX 年10月20日一、学习目标：掌握指数函数的图像和性质,进一步体会指数函数的图像和性质与底数的关系。
二、定向自学：1、指数函数的图像与性质2、指数函数()1,0≠>=a a a y x 且中，底数a 对函数图像有什么影响？ 三、思考探究：1、在同一坐标系中作出x y 2=，x y 3=，x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，xy ⎪⎭⎫⎝⎛=31的图像，观察底数a对函数图像有什么影响？x a y =a>1 0<a<1 图 像性 质（1）定义域:__________ （2）值域: __________（3）过点_______，即当时x=____时，y=_____. (4) 当x>0时，_______ 当x<0时，________ (4)当x>0时，________ 当x<0时，________ (5)在R 是________函数(5)在R 是________函数函数xx a y a y ⎪⎭⎫⎝⎛==1和的图像关于____________对称.0 11xy xy 2=xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x y 3=xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=312、总结：（1）底数互为倒数时，图像关于y 轴对称。
（2）做直线x=1，底数从下往上底数越来越大。
三、典型例题例1：求下列函数的定义域： （1）23-=x y （2）x y 1)21(=例2：已知指数函数xa x f =)(（1,0≠>a a 且）的图象经过点),3(π,求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3：比较下列各题中两个值的大小: 练习：已知下列不等式 , 比较m ,n 的大小 :(7) 比较2131a a 与的大小，1,0≠>a a 且.（四）课堂小结 （五）布置作业《练习》1．下列函数中，指数函数的个数是（ ）①x y 32⋅= ②13+=x y ③xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=32 ④2x y = ⑤12-=x y ⑥xy )3(-=A ，0B ，1C ，2D ，3 2．（1）函数13+=x y 的定义域是___________，（2）函数13-=-xy 的定义域是___________________，值域是_________________。
《指数函数的图像与性质》 导学案
《指数函数的图像与性质》导学案一、学习目标1、理解指数函数的概念，掌握指数函数的形式。
2、能够通过绘制图像，观察并总结指数函数的性质。
3、运用指数函数的性质解决相关的数学问题。
二、学习重点1、指数函数的概念和形式。
2、指数函数的图像特征。
3、指数函数的单调性、奇偶性等性质。
三、学习难点1、对指数函数底数范围的理解。
2、运用指数函数的性质进行综合运算和实际应用。
四、知识回顾1、正整数指数幂的运算性质：（1）＄a^m×a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄（＄m$，＄n$为正整数）（2）＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（＄m$，＄n$为正整数）（3）＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$（＄n$为正整数）2、根式的性质：（1）＄＼sqrtn{a^n} ＝＼begin{cases} a, ＆ n 为奇数＼＼｜a|，＆n 为偶数＼end{cases}＄（2）＄（＼sqrtn{a}）＾n ＝ a$五、新课导入在实际生活中，我们经常会遇到一些增长或衰减的现象，比如细胞的分裂、放射性物质的衰变等。
这些现象都可以用数学中的函数来描述，其中一种常见的函数就是指数函数。
六、指数函数的概念一般地，函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域是$R$。
思考：为什么规定$a ＞ 0$且$a ≠ 1$？当$a ＝ 0$时，若$x ＞ 0$，＄a^x ＝ 0$；若$x ≤ 0$，＄a^x$无意义。
当$a ＜ 0$时，对于$x ＝＼frac{1}｛2}＄，＄＼sqrt{a}＄在实数范围内无意义。
当$a ＝1$时，＄y ＝1^x ＝1$，是一个常数函数，不是指数函数。
七、指数函数的图像我们通过列表、描点、连线的方法来绘制指数函数的图像。
例如，绘制函数$y ＝ 2^x$和$y ＝（＼frac{1}｛2}）＾x$的图像。
｜＄x$ ｜＄－3$ ｜＄－2$ ｜＄－1$ ｜＄0$ ｜＄1$ ｜＄2$ ｜＄3$ ｜｜｜｜｜｜｜｜｜｜＄y ＝ 2^x$ ｜＄＼frac{1}｛8}＄｜＄＼frac{1}｛4}＄｜＄＼frac{1}｛2}＄｜＄1$ ｜＄2$ ｜＄4$ ｜＄8$ ｜｜＄y ＝（＼frac{1}｛2}）＾x$ ｜＄8$ ｜＄4$ ｜＄2$ ｜＄1$ ｜＄＼frac{1}｛2}＄｜＄＼frac{1}｛4}＄｜＄＼frac{1}｛8}＄｜图像如下：通过观察图像，我们可以发现：1、指数函数的图像都过点$（0, 1)＄。
指数函数图像与性质教学设计精选10篇
指数函数图像与性质教学设计精选10篇指数函数及其性质教学设计解读篇一《2.1.2 指数函数及其性质(2 》教学设计【学习目标】1.知识与技能①.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。
②.掌握指数函数的性质及应用。
③.理解指数函数的简单应用模型, 认识数学与现实生活及其他学科的联系。
2.情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
②培养学生观察问题，分析问题的能力。
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；3.过程与方法让学生通过观察函数图象，进而研究指数型函数的性质, 主要通过小组讨论、小组展示、及时评价完成整个导学过程【学习重点】熟练掌握指数函数的的概念，图象和性质及指数型增长模型。
【学习难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、指数型函数的图象，性质。
【导学过程】教学内容师生互动设计意图互查每组两名同学互查识记内容教师提问记忆方法，学生回答，其他同学可以相互借鉴。
复习指数函数的图象及性质，为本节课中的内容储备知识基础。
展系吗？→请用一句话概括下图是指数函数2x y =, 3xy =, 0.3x y =, 0.5x y =的图象，请指出它们各自对应的图象。
教师随时点评，引导，欣赏，鼓励。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可让学生从图象直观的理解指数函数，从变化中找到不变的规律，提高学生的总结归纳能示交流结论：针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
力教学内容师生互动设计意图展示交流探究二：指数形式的函数定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(121 x y =+,(2y =,(3 1 4 2x y-=.首先提问给出的三个函数是否是指数函数，加深学生对指数函数概念的理解。
学生小组讨论，交流。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
所给函数虽然不是指数函数，但是由指数函数得到的复合函数，其性质与指数函数密切相关，通过训练能够培养学生的创造性思维能力。
指数函数的图像与性质 导学案
指数函数的图像与性质（第2课时）市级一等奖岚皋中学阳钊一、教材分析（一）教材的地位和作用“指数函数”的教学共分三个课时完成，第1课时为指数函数的概念，具体指数函数的图像和性质；第2课时为指数函数的图像和性质及简单应用；第三课时为指数函数的性质应用。
本课时主要通过对指数函数图像的研究归纳其性质，并进行简单的应用。
“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。
通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。
（二）教学目标1、知识目标：i会做指数函数的图像；ii能归纳出指数函数的几个基本性质；iii会进行指数函数性质的简单应用。
2、能力目标：通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。
3、情感目标：通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。
（三）教学重点和难点1、重点：指数函数的性质和图像。
2、难点：指数函数性质的归纳。
二、教法分析（一）教学方式直接讲授与启发探究相结合（二）教学手段借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像三、教学基本思路：1、引入1）复习指数函数概念2）回忆指数函数图像的画法2、探究指数函数的性质1）研究指数函数的图象2）归纳总结指数函数的性质3、指数函数性质的简单应用4、巩固练习5、小结6、作业布置五、教学设计说明1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。
通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。
让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。
新人教版高中数学《指数函数的图像与性质》导学案
第3课时指数函数的图象与性质1.理解指数函数的概念和意义.2.能画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的性质与指数函数图象的特点,并会简单应用.将一张厚度为1个单位的纸进行对折,对折一次后厚度变为原来的2倍,即纸的厚度变为了2个单位;然后再将其对折,这样第二次对折后纸的厚度变为了22,第三次对折后变为了23,经多次实验最多可对折7次,那么其最厚的厚度是多少个单位?如果可以对折无限次,那么对折x次后的厚度又是多少?问题1:(1)对折x次后纸的厚度y与x的函数解析式为.(2)一般地,函数叫作指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域为.(3)判断一个函数是否是指数函数,一看底数是否是一个大于0且不为1的常数,二看自变量x是否是在指数位置上,三看指数幂的系数是否为1,满足这三个条件的函数才是指数函数.问题2:指数函数的图象有何特点?有哪些性质?问题3:为什么指数函数的概念中规定a>0,且a≠1?因为当a=0时,a x总为或;当a<0时,如a=-2,x=,a x=(-2=-显然没意义;当a=1时,a x恒等于,没有研究的必要.因此规定a>0,且a≠1.问题4:(1)函数y=2x与函数y=()x的图象有什么特点?函数y=2x的图象与函数y=()x的图象关于对称.(2)函数y=a x(a>0,a≠1)随着底数a的变化,图象有什么变化?随着底数取值的不同,函数的增长情况也不同,你能得出什么规律呢?当a>1时,底数越大,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y 轴;当0<a<1时,底数越小,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y轴.(3)函数y=a x与y=a x+m(a>0,a≠1,m∈R)之间有什么关系?函数y=a x+m的图象可以由函数y=a x的图象变换而来.当m>0时,y=a x的图象向移动m个单位得到y=a x+m的图象.当m<0时,y=a x的图象向移动|m|个单位得到y=a x+m的图象.指数函数的概念下列函数中是指数函数的是.①y=3x;②y=x3;③y=-3x;④y=x x;⑤y=(6a-3)x(a>,且a≠).对指数函数图象和性质的简单应用(1)若函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有().A.0<a<1,且b>0B.a>1,且b>0C.0<a<1,且b<0D.a<1,且b>0(2)比较下列各题中两个值的大小.①3π与33.14;②0.99-1.01与0.99-1.11;③1.40.1与0.90.3.指数函数的实际应用问题某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x的本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为3.25%,试计算5期后的本利和.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=().A.1B.2C.3D.-1考题变式(我来改编):第3课时指数函数的图象与性质知识体系梳理问题1:(1)y=2x(x∈N*)(2)y=a x(a>0,且a≠1)R问题2:R(0,+∞)(0,1)问题3:0没有意义 1问题4:(1)y轴(2)上升右下降左(3)左右重点难点探究探究一:【解析】根据指数函数的定义,易知y=3x是指数函数.又当a>,且a ≠时,6a-3>0,且6a-3≠1,所以y=(6a-3)x(a>,且a≠)也是指数函数.【答案】①⑤【小结】判断一个函数是否为指数函数或求指数函数中未知数的值或取值范围时,要紧扣指数函数的概念,特别要注意底数的取值范围.探究二:【解析】(1)根据题意画出函数y=a x+b-1(a>0,且b<0)的大致图象(如图), 所以0<a<1,且1+b-1<0,即0<a<1,且b<0,故选C.(2)①构造函数y=3x,由a=3>1,知y=3x在(-∞,+∞)上是增函数.而π>3.14,故3π>33.14.②构造函数y=0.99x,由0<a=0.99<1,知y=0.99x在(-∞,+∞)上是减函数.而-1.01>-1.11,故0.99-1.01<0.99-1.11.③分别构造函数y=1.4x与y=0.9x.由1.4>1,0<0.9<1,知y=1.4x与y=0.9x在(-∞,+∞)上分别为增函数和减函数.由0.1>0,知1.40.1>1.40=1,由0.3>0,知0.90.3<0.90=1,而1.40.1>1>0.90.3,故1.40.1>0.90.3.【答案】(1)C【小结】(1)如果本题改为函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)过第一、三、四象限,那么参数a,b会取怎样的值呢?事实上,应满足a>1,且b<0.(2)注意③的指数式的底数和幂指数都不同,可考虑引入中间值进行比较.探究三:【解析】(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r);2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)·r=a(1+r)2;3期后的本利和为y=a(1+r)3;……x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N*.(2)将a=1000元,r=3.25%,x=5代入上式,得y=1000×(1+3.25%)5=1000×1.03255≈1173.4(元),即5期后本利和约为1173.4元.【小结】形如y=ka x(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数,它是一个常见的指数增长模型.如设原有量为N,平均增长率为P,则经过时间x后的总量为y=N(1+P)x.全新视角拓展【解析】∵g(x)=ax2-x,∴g(1)=a-1.∵f(x)=5|x|, ∴f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,∴a=1.【答案】A思维导图构建R(0,1)。
指数函数的概念指数函数的图象和性质第2课时 指数函数y=ax(0＜a＜1)的图象和性质 导学案
第2课时 指数函数y=a x (0<a<1)的图象和性质◆ 知识点一 指数函数的图象和性质函数y=a x (a>1)y=a x (0<a<1)图象性 质定义域 R值域过定点单调性 在R 上为 在R 上为 函数值 变化当x>0时,y>1 当x>0时, 当x<0时,0<y<1当x<0时,◆ 知识点二 指数函数y=a x 与y=b x (0<a<b<1)的特点如图.(1)当x<0时,a x >b x >1; (2)当x=0时,a x =b x =1; (3)当x>0时,0<a x <b x <1.【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)将函数y=(12)x的图象向右平移1个单位长度,即得到函数y=(12)x -1的图象. ()(2)(12)x <(13)x.( )(3)若a 2<a -1(a>0,且a ≠1),则y=a x 在R 上为减函数. ()◆ 探究点一 比较大小例1 (1)已知a=0.92,b=270.8,c=√243,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a<b<cB .a<c<bC .c<a<bD .b<a<c(2)比较下列各组中两个数的大小:①0.8-0.1与0.8-0.2;②(1π)2与(13)-1.3.变式 (多选题)[2024·江西赣州高一期中] 若a=20.6,b=40.4,c=0.20.8,则( )A .b>aB .a>bC .a>cD .ab>c[素养小结]对于两个相同底数的式子,要利用相应指数函数的单调性,通过自变量的大小关系直接判断相应函数值的大小;当两个式子不能化为相同底数时,我们可以找到一个中间值,将这两个数分别与中间值进行比较,常用的中间值有0,1等.拓展 (1)关于x 的不等式10·(12)x -(14)x>16的解集为 .(2)如果a -5x >a x+7(0<a<1),那么x 的取值范围为 .◆ 探究点二 指数函数图象的识别与应用例2 函数y=3x ,y=5x,y=(14)x在同一平面直角坐标系中的大致图象是 ()变式 已知y 1=(13)x,y 2=3x ,y 3=10-x ,y 4=10x ,则在同一平面直角坐标系内,它们的大致图象为( )ABCD[素养小结](1)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是:在y 轴右侧的图象从下到上相应的底数由小变大;在y 轴左侧的图象从下到上相应的底数由大变小. (2)对于指数函数y=a x (a>0,a ≠1),其图象一定出现在x 轴上方.若指数型函数的图象出现在x 轴下方或与x 轴相切,则可以通过平移变换和对称变换实现.拓展 直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a>0且a ≠1)的图象有两个公共点,则实数a 的取值范围是 .第2课时 指数函数y=a x (0<a<1)的图象和性质【课前预习】知识点一(0,+∞) (0,1) 增函数 减函数 0<y<1 y>1知识点二诊断分析(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)函数y=(12)x 的图象向右平移1个单位长度得到函数y=(12)x -1的图象.(2)当x>0时,有(12)x >(13)x ;当x=0时,有(12)x =(13)x =1;当x<0时,有(12)x <(13)x.(3)因为2>-1,a 2<a -1(a>0,且a ≠1),所以0<a<1,y=a x 在R 上为减函数. 【课中探究】探究点一例1 (1)A [解析] 因为y=3x为增函数,所以c=√243=352>32.4=270.8=b ,即b<c.又a=0.92<0.90=1=270<270.8=b ,即a<b ,所以a<b<c.故选A .(2)解:①因为0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x 在R 上是减函数,又-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.②因为(1π)2<1,(13)-1.3>1,所以(1π)2<(13)-1.3.变式 ACD [解析] 因为a=20.6>20=1,b=40.4=(22)0.4=20.8>20.6=a ,c=0.20.8<0.20=1,且c>0,所以b>a>1>c>0,且ab>c.故选ACD .拓展 (1)(-3,-1) (2)(-76,+∞) [解析] (1)由题知(14)x-10·(12)x+16<0,整理得[(12)x]2-10·(12)x+16<0,即[(12)x-8][(12)x-2]<0,可得2<(12)x<8,即(12)-1<(12)x<(12)-3,解得-3<x<-1.(2)当0<a<1时,y=a x 在R 上是减函数,∵a -5x >a x+7,∴-5x<x+7,解得x>-76,即x 的取值范围是(-76,+∞).探究点二例2 B [解析] 函数y=3x ,y=5x 是R 上的增函数,其图象都是上升的,排除C,D;在第一象限内,底数越大的指数函数的图象越靠近y 轴,排除A .故选B .变式 A [解析] y 2=3x与y 4=10x在R 上为增函数,y 1=(13)x与y 3=10-x=(110)x在R 上为减函数.在第一象限内作直线x=1,该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数,则从上到下各点的纵坐标对应的底数依次为10,3,13,110,故选A .拓展 0<a<12[解析] 当a>1时,在同一平面直角坐标系中作出直线y=2a 和函数y=|a x -1|的图象(如图①),由图象可知,直线y=2a 与函数y=|a x -1|的图象只能有一个公共点,此时不满足题意.当0<a<1时,作出直线y=2a 和函数y=|a x -1|的图象(如图②),若直线y=2a 与函数y=|a x -1|的图象有两个交点,则由图象可知0<2a<1,所以0<a<12.故实数a 的取值范围是0<a<12.。
指数函数的图像与性质学案
2.1.2 指数函数及其性质学案（一）【学习目标】1.理解指数函数的概念与意义；2.能画出具体的指数函数的图象，通过图象探究指数函数的性质；3.掌握指数函数的性质的简单应用指数函数概念问题1： 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后， 得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？问题2： 一尺之棰,日取其半,万世不竭。
（出自《庄子 天下篇》）已知一把尺子第一次截去它的一半,第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第二次剩余部分的一半,依次下去，问截的次数x 与剩余尺子长度y 之间的函数关系如何?（假设原来长度为1个单位）问题3：两个函数的解析式有何共同特征？问题4：指数函数定义中为什么规定a ＞0且a≠1呢？如果不这样规定会出现什么情况呢？例1.下列函数中，哪些是指数函数？x y 4=4x y =x y 4-=14+=x y指数函数的图象、性质 （1）列表、描点、作图象x x y 2= x y )21(= 图象 x y 2= x y )21(= 2-y O x 5.1-1-5.0-5.015.12（2）两个图象的关系函数x y 2=与x y )21(=的图象，都经过定点 ，它们的图象关于 对称.通过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数, 是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图象，总结函数性质，填写下列表格：10<<a 1>a图象定义域值域性质指数函数性质应用例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0.拓展 迁移：已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :1. 2. 3.小结归纳，拓展深化（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识 ？（2）你又掌握了哪些研究数学的学习方法？布置作业,提高升华(1)必做题 ：课本P59，A 组5、7(2)选做题： 课本P60，B 组4n m 22<n m 2.02.0>)10(≠>>a a a a n m 且。
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《指数函数的图像与性质》导学案
一、学习目标
1．理解并掌握指数函数的图像与性质.
2．会利用指数函数的图像与性质比较大小，解指数不等式。
二、教学重难点
教学重点：指数函数的图像与性质
教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质.
三、教学过程：
（一）创设情境 1.复习：
（1） 一般地，函数 叫做指数函数，其中x 是自变量，函
数的定义域为 .
（2）指数函数解析式的特征： 。
2.导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。
（二）自主探究（学生通过自主学习完成下列任务）
1.用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x
y 2=、x
y ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21的图像
3．比一比：x
y 2=与y ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21的图象有哪些相同点，哪些不同点？
4．画一画：在平面直角坐标系中画出函数3x
y =、13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图像，试分析性质。
5．议一议：通过以上四个函数的图像和性质，归纳指数函数x
a y =（
1,0≠>a a 且）的图象和性质如下：
（三）典例精讲
类型一 两个数比较大小 类型二 解指数不等式
例2.1 32 x x >（）求使不等式4成立的的集合； （四）当堂检测
1.课本第73页 练习1 1.
2.解下列不等式： （五）课堂小结
（1） 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2） 你学会了哪些数学思想方法？ （六）布置作业
必做题：课本77页，A 组.4,5,6 选做题：课本77页，B 组1，6.
四、教学反思
达标训练
1.2)2
1
(-=x y +2的定义域是_____________，值域是______________， 在定义域上，该函数单调递_________.
2.若函数31+=+-x a y 的图象恒过定点 .
3.指数函数)(x f y =的图象经过点（4,2-），求)(x f 的解析式和)3(-f 的值.
4.比较下列各组值的大小； （1）3
.02
2
,3
.0； （2）5
25
25
29
.1,8.3,1
.4-
.
5.函数x
a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，求
a
值.
6.1
()(1),1
x x
a f x a a -=>+已知函数。