2018版浙江数学-知识清单与冲A训练：17 正弦定理、余弦定理 全国通用
正弦定理和余弦定理-高考数学一轮复习基础练习试题训练
4.7 正弦定理和余弦定理A 组 基础题组1.在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,若a,b,c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为32,则b=( )A.1+√32B.1+√3C.2+√32D.2+√3答案 B 由条件知12acsin B=32,得ac=6,又a+c=2b,则由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accos B=(a+c)2-2ac-√3ac,即b 2=4b 2-12-6√3,解得b 1=b 2=1+√3.2.如图,正三棱锥P-ABC 的所有棱长都为4.点D,E,F 分别在棱PA,PB,PC 上,则满足DE=EF=3,DF=2的△DEF 的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C 令PD=x,PE=y,PF=z,则{x 2+x 2-xy =9,x 2+x 2-zy =9,x 2+x 2-xz =4,当x=z 时,{x =x =2,x =1+√6,当x≠z 时,有两解.3.(2017浙江镇海中学模拟)在△ABC 中,BC=2,AC=2√2,则A 的最大值是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 B 由余弦定理,知cos A=x 2+8-42x ×2√2=14√2(x +4x )≥√22(当且仅当c=2时,取等号),故A 的最大值为45°,故选B.4.(2017浙江台州调研)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-√3c=2acos C,sin C=√32,则△ABC 的面积为( ) A.√32 B.√34 C.√32或√34 D.√3或√32答案 C 由正弦定理知,2sin B-√3sin C=2sin Acos C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以cos A=√32,故A=30°.因为sin C=√32,所以C=60°或C=120°.当C=60°时,B=90°,由x sin x =xsin x,得c=√3,故S=12×√3×1×1=√32;当C=120°时,B=30°,此时b=a=1,故S=12×1×1×sin 120°=√34.故选C.5.(2018杭州高三期末)设点P 在△ABC 的BC 边所在的直线上从左到右运动,设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ,当点P 不与B,C 重合时( )A.λ先变小再变大B.当M 为线段BC 中点时,λ最大C.λ先变大再变小D.λ是一个定值答案 D 设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为r 1,r 2,则2r 1=xx sin∠xxx ,2r 2=xxsin∠xxx ,因为∠APB+∠APC=180°,所以sin∠APB=sin∠APC,所以x 1x 2=xxxx ,所以λ=x 12x 22=xx 2xx 2.故选D.6.已知a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 所对的边,其面积满足S △ABC =14a 2,则xx 的最大值为( ) A.√2-1 B.√2C.√2+1D.√2+2答案 C 根据题意,有S △ABC =14a 2=12bcsin A,应用余弦定理,可得b 2+c 2-2bccos A=2bcsin A,令t=xx ,于是t 2+1-2tcos A=2tsin A.于是2tsin A+2tcos A=t 2+1,所以2√2sin (x +π4)=t+1x ,从而t+1x ≤2√2,解得t的最大值为√2+1.7.(2017浙江测试)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若a=2√3,C=π3,tan A=34,则sinA= ,b= . 答案 35;4+√3解析 由tan A=34得sin A=35,cos A=45,由正弦定理,得c=sin xsin x a=5,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,∴b=acos C+ccos A=4+√3.8.(2017浙江名校协作体)已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,S 为△ABC 的面积.若a=4,b=5,C=2A,则c= ,S= . 答案 6;15√74解析 由题意可知,x sin x =x sin x =x sin(π-3x )=xsin3x , 所以asin 3A=bsin A, 即4(3sin A-4sin 3A)=5sin A, 整理得7=16sin 2A, 从而cos 2A=916,即cos A=34.由正弦定理得,c=sin xsin x ·a=2cos A·a=6. ∴S=12bcsin A=12×5×6×√74=15√74. 9.(2018杭州七校高三联考)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c,若△ABC 的面积为S,且S=a 2-(b-c)2,则sin x1-cos x = . 答案 4解析 因为△ABC 的面积为S,且S=a 2-(b-c)2=a 2-b 2-c 2+2bc=12bc·sin A, 所以由余弦定理可得-2bc·cos A+2bc=12bc·sin A, 所以4-4cos A=sin A, 所以sin x1-cos x =4-4cos x1-cos x =4.10.(2017浙江稽阳联谊学校联考)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知csin A=√3acos C,则C= ;若c=√31,△ABC 的面积为3√32,则a+b= .答案π3;7解析 由正弦定理可得sin Csin A=√3sin Acos C, 因为sin A≠0,所以tan C=√3,所以C=π3. 由12absin C=3√32,得ab=6.又由余弦定理得(√31)2=a 2+b 2-2abcos C=(a+b)2-3ab, 所以a+b=7.11.(2017浙江台州质量评估)已知在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b=√2a,√3cos B=√2cos A,c=√3+1,则△ABC 的面积为 . 答案√3+12解析 由√3cos B=√2cos A,得 √3·x 2+x 2-x 22xx =√2·x 2+x 2-x 22xx, 又b=√2a,c=√3+1,所以上式可化简为a 2=√3-√3+1c 2=2, 所以a=√2,b=2. 所以cos B=x 2+x 2-x 22xx=√22,所以sin B=√1-cos 2B =√22.故△ABC 的面积S=12acsin B=12×√2×(√3+1)×√22=√3+12. 12.(2017浙江宁波期末)已知△ABC 的三边分别为a,b,c,且a 2+c 2=b 2+ac,则边b 所对的角B 为 ;此时,若b=2√3,则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 答案π3;6+4√3解析 由余弦定理得cos B=x 2+x 2-x 22xx =12,∴B=π3,由正弦定理得c=x sin xsin x=4sin C. ∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bccos A=8√3sin Ccos A,又C=2π3-A,∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8√3(√32cos x +12sin x )cos A=12cos 2A+4√3·sin Acos A=6(1+cos 2A)+2√3sin 2A=6+4√3sin (2x +π3).∵0<A<2π3,∴π3<2A+π3<5π3,故当2A+π3=π2,即A=π12时,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值,最大值为6+4√3.13.(2017浙江金华十校调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若2cos 2B=4cos B-3. (1)求角B 的大小;(2)若S △ABC =√3,asin A+csin C=5sin B,求b.解析 (1)2cos 2B-4cos B=-3⇒4cos 2B-4cos B+1=0,所以cos B=12,故B=π3.(2)S △ABC =√3=12acsin B ⇒ac=4. 由asin A+csin C=5sin B 得a 2+c 2=5b,由b 2=a 2+c 2-2accos B 得b 2-5b+4=0,解得b=1或4. 又a 2+c 2=5b≥2ac=8,所以b≥85,所以b=4.14.(2017湖州期末)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知sin Asin C=34,b 2=ac. (1)求角B 的值;(2)若b=√3,求△ABC 的周长.解析 (1)由b 2=ac 得,sin 2B=sin Asin C, 因为sin Asin C=34,所以sin 2B=34,因为sin B>0, 所以sin B=√32,因为三角形ABC 为锐角三角形,所以B=π3. (2)已知b=√3,则3=a 2+c 2-2accos π3 =a 2+c 2-ac=(a+c)2-3ac, 所以a+c=2√3,所以三角形ABC 的周长为3√3.15.已知f(x)=sin x·(cos x+sin x)-1,x∈R. (1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知f(A)=0,a=1,求a 2+b 2+c 2的取值范围. 解析 (1)f(x)=sin xcos x+sin 2x-1=12sin 2x+1-cos2x2-1=√22sin (2x -π4)-12.令π2+2kπ≤2x -π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得3π8+kπ≤x≤kπ+7π8(k∈Z).故函数f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ](k∈Z).(2)由f(A)=0得sin (2x -π4)=√22.∵A∈(0,π2),∴2A -π4∈(-π4,3π4),∴2A -π4=π4,∴A=π4. 易得bc=(x sin x )2sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)-cos(π-A)=√22+cos(B-C),又在锐角△ABC 中,A=π4,故B-C∈(-π4,π4),bc∈(√2,1+√22], 又cos A=x 2+x 2-x 22xx,∴b 2+c 2-a 2=√2bc, ∴a 2+b 2+c 2=√2bc+2∈(4,3+√2].B 组 提升题组1.(2018金华东阳二中高三调研)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,则tan A 的值是( )A.-2√2B.-√2C.2√2D.√2 答案 C 在△ABC 中,由余弦定理得ccos A+acos C=c×x 2+x 2-x 22xx +a×x 2+x 2-x 22xx=b.所以3bcos A=ccos A+acos C=b, 两边约去b,得3cos A=1,所以cos A=13>0,所以A 为锐角,且sin A=√1-cos 2A =2√23,因此,tan A=sin xcos x =2√2.2.若满足条件AB=√3,C=π3的三角形ABC 有两个,则边BC 的长的取值范围是( ) A.(1,√2) B.(√2,√3) C.(√3,2)D.(√2,2)答案 C 设BC=a,∵C=π3,AB=√3, 由正弦定理得xx sin x =xx sin x ,即√3√32=x sin x ,∴sin A=x 2. 由题意得,当A∈(π3,2π3)且A≠π2时,满足条件的△ABC 有两个,∴√32<x2<1,解得√3<a<2,即BC 的取值范围是(√3,2).3.(2017浙江镇海中学模拟)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且acos B+bcos A=c 2,C=π3,则a+b 的取值范围是( ) A.[1,2] B.(1,2]C.[√3,2]D.(√3,2]答案 D 由正弦定理,知sin Acos B+sin Bcos A=sin C·c,即sin(A+B)=csin C,所以c=1. 又x sin x =x sin x =xsin x ,所以a+b=(sin xsin x +sin xsin x )·c=√3sin x +sin (23π-x )]=√3(32sin x +√32cos x )=2sin (x +π6).因为{0<x <π2,0<23π-x <π2,所以π6<A<π2, 所以π3<A+π6<2π3,所以a+b∈(√3,2],故选D.4.(2017浙江绍兴质量检测)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知A=π4,b=√6,△ABC 的面积为3+√32,则c= ,B= .答案 1+√3;π3解析 由三角形的面积公式,知3+√32=12×√6×√22×c,所以c=1+√3.由正弦定理得,sin x sin x =xx ,即sin (34π-x )sin x=x x ,所以√6·(√22cos x +√22sin x )=(1+√3)sin B, 所以√3cos B=sin B,即tan B=√3,所以B=π3.5.(2017浙江杭州二模)设a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 的对边,且S △ABC =12c 2.若ab=√2,则a 2+b 2+c 2的最大值是 . 答案 4解析 由S △ABC =12c 2,知12absin C=12c 2,所以c 2=√2sin C;由c 2=a 2+b 2-2abcos C,可知a 2+b 2=c 2+2abcos C=√2sin C+2√2cos C. 所以a 2+b 2+c 2=2√2(sin C+cos C)=4sin (x +π4)≤4,当且仅当C=π4时,取等号.故a 2+b 2+c 2的最大值为4.6.已知在△ABC 中,M,N 分别为AC,AB 的中点,|AB|∶|AC|=2∶3,当△ABC 在上述条件下变化时,若|BM|≤λ|CN|恒成立,则λ的最小值为 . 答案 78解析 设角A,B,C 的对边分别为a,b,c,不妨设c=2,b=3,a=x(1<x<5).易求得|BM|2=x 22+x 22-x 24,从而|BM|=√2x 2-12.同理,|CN|=√2x 2+142,∴λ≥√2x 2-12x 2+14(1<x<5),从而λ≥78.7.已知△ABC 的面积为1,∠A 的平分线交对边BC 于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k= 时,边BC 的长度最短. 答案2√105解析 由题可设在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,则c=2b,AD=kb.由角平分线定理知,S △ACD =13=12sin x2·kb 2,又1=12b·2b·sin A,两式联立,消去b 2,得cos x 2=34k.又a 2=b 2+(2b)2-2×b×2bcos A=b 2(5-4cos A)=5-4cos x sin x,所以a 2sin A+4cos A=5,利用辅助角公式,知√x 4+16sin(A+φ)=5(tan x =4x 2),所以a 4+16≥25,即a 2≥3(当sin x =35,cos x =45时,取等号),此时cos x2=√1+cos x 2=3√1010,故k=43cosx 2=25√10.8.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案√217;3 解析 本题考查正弦定理、余弦定理. 由x sin x =x sin x 得sin B=xx sin A=√217, 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得c 2-2c-3=0,解得c=3(舍负).9.(2017杭州四校期中)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+32=2cos A.(1)求角A 的大小;(2)若a=1,求△ABC 的周长l 的取值范围. 解析 (1)由题意得2cos 2A+12=2cos A, 即4cos 2A-4cos A+1=0, ∴(2cos A -1)2=0,∴cos A=12.又∵0<A<π, ∴A=π3.(2)根据正弦定理x sin x =x sin x =xsin x ,得b=√3sin B,c=√3sin C,∴l=1+b+c=1+√3(sin B+sinC),∵A=π3,∴B+C=2π3,∴l=1+√3sin x +sin (2π3-B )]=1+2sin (x +π6),∵0<B<2π3,∴π6<B+π6<5π6,∴l∈(2,3].10.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知c=2,C=π3. (1)若△ABC 的面积等于√3,求a,b;(2)若sin C+sin(B-A)=3sin 2A,求△ABC 的面积. 解析 (1)在△ABC 中,由余弦定理及三角形面积公式得 {4=x 2+x 2-ab,√3=12ab ×√32,即{4=x 2+x 2-ab,xx =4,解得a=b=2. (2)3sin 2A=sin C+sin(B-A) =sin(B+A)+sin(B-A),化简得6sin Acos A=2sin Bcos A,又A 为△ABC 的内角,所以cos A≠0,所以sin B=3sin A, 即b=3a,由余弦定理可得a 2=47,故△ABC 的面积S=12absin C=3a 2×√34=3√37. 11.(2017温州中学月考)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且 a=2,2cos 2x +x2+sin A=45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个,求b 的取值范围; (2)当△ABC 的周长取最大值时,求b 的值. 解析 由2cos2x +x2+sin A=45,得1+cos(B+C)+sin A=45,所以sin A-cos A=-15,又0<A<π,且sin 2A+cos 2A=1,所以{sin x =35,cos x =45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个,则有a=bsin A 或a≥b, 则b 的取值范围为(0,2]∪{103}. (2)设△ABC 的周长为l,则l=a+b+c. 由正弦定理得l=a+xsin x(sin B+sin C) =2+103[sin B+sin(A+B)]=2+103(sin B+sin Acos B+cos Asin B) =2+2(3sin B+cos B) =2+2√10sin(B+θ),其中θ为锐角,且sin θ=√1010,cos θ=3√1010,所以l max =2+2√10,且当cos B=√1010,sin B=3√1010时取到. 此时b=xsin x sin B=√10.。
2018版浙江《学业水平考试》数学-知识清单与冲A训练7 空间点、直线、平面之间的位置关系 全国通用 Word版含
知识点一平面．平面的概念()平面是没有厚度的．()平面是的．．平面的表示通常用希腊字母α，β，γ表示，如平面α；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面.知识点二点、直线、平面的位置关系的符号表示．点与平面的关系(\\(点在平面α内，记作,点不在平面α内，记作))．点与直线的关系(\\(点在直线上，记作,点在直线外，记作))．直线与平面的关系(\\(直线在平面α内，记作,直线不在平面α内，记作))知识点三平面的基本性质公理：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理：过的三点，有且只有一个平面．推论：一条直线与该直线外一点确定一个平面；两相交直线确定一个平面；两平行直线确定一个平面．公理：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．公理：平行于的两条直线互相平行．知识点四直线与直线的位置关系．位置关系的分类错误!．异面直线所成的角()定义：设，是两条异面直线，经过空间任一点作直线′∥，′∥，把′与′所成的叫做异面直线，所成的角(或夹角)．()范围：.知识点五直线与平面的位置关系()直线在平面内(有无数个公共点)．()直线和平面相交(有且只有一个公共点)．()直线与平面平行(没有公共点)．知识点六平面与平面之间的位置关系()平行(没有公共点)：α∥β.()相交(有一条公共直线)：α∩β＝.知识点七等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角．例(年月学考)在空间中，下列命题正确的是( )．经过三个点有且只有一个平面．经过一个点和一条直线有且只有一个平面．经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个．经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个例设，，，是空间四个不同的点，则下列命题不正确的是( )．若与共面，则与共面．若与是异面直线，则与是异面直线．若＝，＝，则＝．若＝，＝，则⊥例对两条不相交的空间直线与，必存在平面α，使得( )．⊂α，⊂α．⊂α，∥α．⊥α，⊥α．⊂α，⊥α例(年月学考)如图，在菱形中，∠＝°，线段，的中点分别为，，现将△沿对角线翻折，则异面直线与所成角的取值范围是( )．(，) ．(，]．(，] ．(，)例如图所示，正方体—中，、分别是和的中点．求证：()、、、四点共面；()、、三线共点．。
数学新教材高一下人教A版必修第二册6.4.3 余弦定理、正弦定理第一课时 余弦定理
∴c＝5 7.
∴cos
B＝a2＋2ca2c－b2＝120×2＋1107×5－5 1752＝
7 14 .
5.若△ABC 的三边长分别为 AB＝7，BC＝5，CA＝6，则A→B·B→C的值为( D )
A.19
B.14
C.－18
D.－19
解析 设三角形的三边BC，AC，AB分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7. ∴A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|·cos(π－B)＝－ac·cos B. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B， ∴－ac·cos B＝12(b2－a2－c2)＝21(62－52－72)＝－19， ∴A→B·B→C＝－19.
则 B＝___1_5_0_°__.
解析
由余弦定理，得
cos
B＝a2＋2ca2c－b2＝21×＋13×－73＝－
3 2.
又0°<B<180°，∴B＝150°.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 已知两边及一角解三角形
【例 1】 在△ABC 中，a＝3 3，b＝3，B＝30°，解这个三角形.
解 由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，即c2－9c＋18＝0，
则 a＝____4____.
解析 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 因为 B＝60°，c＝2，b＝2 3， 所以(2 3)2＝a2＋22－2a×2cos 60°， 整理得a2－2a－8＝0， 解得a＝－2(舍去)或a＝4.
4.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，
所以b2＋c2－a2＝2b2，即c2＝a2＋b2，
D.等腰三角形
正余弦定理
正余弦定理第一篇：正余弦定理正弦、余弦定理一.填空1．在∆ABC中，BC=a，AC=b，S∆ABC=ab，则BC、AC两边的夹角等于____．2.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b=,c=,∠C=3.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a=,c=,∠C=.4．在∆ABC中，a=8，B=60ο，C=75ο，则b=________．5.在∆ABC中，a2+b2=c2,则∆ABC是6.在∆ABC中，a2+b2>c2, a2+c2>b2，c2+b2>a2则∆ABC是三角形。
7.在∆ABC中，a2+b28.在∆ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则∆ABC是9．在∆ABC中，sin2A+sin2B=sin2C，则∠C=___________．10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则∠ABC的余弦值为___________．11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b6，B＝120°，则a＝________________.12．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知A=π46,a=3，b=4则角二.选择题1．在∆ABC中，b=10，c=15，C=30ο，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．无解D．无法确定2．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．300或600B．450或600C．1200或600D．300或15003．在∆ABC中，a=6，B=30ο，C=120ο，则∆ABC的面积是（）A．9B．18C．9D．18 4．在∆ABC中，若sinAcosBa=b，则B的值为（）A．30οB．45οC．60οD．90ο5．在∆ABC中，AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（）A．(0,π]B．(0,π]C．(π,ππ6362]D．[6,π)6．在∆ABC中，a=，b=1，B=30ο，则∆ABC的面积为是（）A．32B．34C．32或3D．32或47．在∆ABC中，下列命题中正确的是（）A．若sinA=112，则A=30οB若cosA=ο，则A=60C．a=80，b=100，A=45ο的三角形有一解D．a=18，b=20，A=150ο的三角形一定存在8．如果满足∠ABC=60ο，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（）A．k=8B．0<k≤12C．k≥12D．0<k≤12或k=83 9．在∆ABC中，(sinA+sinB+sinC)2=3(sin2A+sin2B+sin2C)，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形三解答题1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2-b2=ac.求cosB的值；2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，又A=60°，sinB:sinC=2:3.（1）求bc的值；（2）若△ABC的AB边上的高为33，求a的值.第二篇：正余弦定理正余弦定理1、正弦定理：在∆AB C中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为∆AB C的外接圆的半径，则有abc===2R．sin A sin B sinC2、正弦定理的变形公式：①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2RsinC； abc，sin B=，sinC=；③a:b:c=sin A:sin B:sinC； 2R2R2Ra+b+cabc===④．sin A+sin B+sinCsin A sin B sinC②sin A=（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2018版浙江《学业水平考试》数学-知识清单与冲A训练：21 二元一次不等式(组)与简单的线性规. 全国通用
知识点一二元一次不等式表示的平面区域1．一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域________边界，把边界画成________．2．由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，因此只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________就可以断定Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C ＝0哪一侧的平面区域．知识点二线性规划相关概念知识点三 线性规划的应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.例1 下图中阴影部分表示的区域的二元一次不等式组为( )A.⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 B.⎩⎨⎧ x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0 C.⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0 D.⎩⎨⎧ x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0 例2 (2016年10月学考)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6>0，x －y ＋2≤0表示的平面区域(阴影部分)是( )例3 (2016年4月学考)在平面直角坐标系xOy 中，设a ∈R ，若不等式组⎩⎨⎧y ≤a ，x －y ＋1≤0，x ＋y －1≥0所表示平面区域的边界为三角形，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)例4(2015年10月学考)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧3x －y ≥0，x －2y ≤0，(x －1)2＋y 2≤1，则y 的最大值为( )A.3B ．1C.32D.45例5不等式组⎩⎨⎧x ≤1，x －y ＋1≥0，2x ＋y ＋2≥0，表示的平面区域的面积是________．例6若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．例7已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx 的取值范围是________．例8 某加工厂的甲车间用某原料加工出A 产品，乙车间用同一原料加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料________箱，乙车间加工原料________箱．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 2．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2≤0表示的平面区域是( )3．若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a <5 B ．a ≥7 C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥74．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，且x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．195．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( ) A ．7,23] B ．8,23] C ．7,8]D ．7,25]6．已知x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10B ．22C ．8D ．107．实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a <1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a的值是( ) A.211B.18C.14D.1128.如图所示，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)，若C (23，45)是该目标函数z ＝ax －y 的唯一的最优解，则a 的取值范围是( )A ．(－103，－512) B ．(－125，－310) C ．(310，125) D ．(－125，310)二、填空题9．若原点O (0,0)和点P (1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z 的最大值是________．11．设实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值为______________．三、解答题12．某高中准备租用甲、乙两种型号的客车安排900名学生去冰雪大世界游玩．甲、乙两种车辆的载客量分别为36人/辆和60人/辆，租金分别为400元/辆和600元/辆，学校要求租车总数不超过21辆，且乙型车不多于甲型车7辆，则学校如何租车才能使所花租金最少，最少为多少元？答案精析知识条目排查 知识点一1．平面区域 不包括 包括 实线 2．相同 符号 知识点二一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 题型分类示例例1 A 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0， 而阴影部分表示的区域不包含原点，排除B 、D ， 点O (0,0)满足x －2y ＋2≥0.排除C ，故选A.] 例2 B例3 A 如图所示，可知a >1.]例4 B 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由题意易得点A (12，32)，B (85，45)，所以y 的最大值为1，故选B.]例5 6解析 如图，不等式组所表示的区域为△ABC (包括边界)，其中A (1,2)，B (－1,0)，C (1，－4)，|AC |＝2－(－4)＝6，|BD |＝2， ∴S △ABC ＝12×6×2＝6.例6 2 解析作出不等式组⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3所表示的可行域，如图中的△ABM 及其内部，且△ABM 的三个顶点的坐标分别为A (2,3)，B (0,1)，M (1,0)． 平行移动直线2x ＋3y ＝0，易知当直线经过点M (1,0)时， 目标函数z ＝2x ＋3y 有最小值2. 例7 95，6] 解析作出可行域如图中阴影部分所示(包括边界)，设P (x ，y )是可行域内任意一点，由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －7＝0， 得A (52，92)， 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y －7＝0，得B (1,6)，则k OA ＝95，k OB ＝6，yx 的几何意义为原点O 与点P 连线的斜率，显然k OA ≤k OP ≤k OB .故y x 的取值范围为95，6]． 例8 15 55解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，则⎩⎨⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ，y ∈N ，目标函数z ＝280x ＋200y ，结合图象可知，当x ＝15，y ＝55时z 最大．考点专项训练1．B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.] 2．C 3．C不等式表示的平面区域如图所示．当y ＝a 过A (0,5)时，表示的平面区域为△ABC . 当5<a <7时表示的平面区域为三角形． 综上，当5≤a <7时表示三角形．] 4．B作出可行域，如图中阴影部分所示，点A (3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x ＋4y 的最小值是3×4＋4×1＝16.]5．A画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值， 解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，2x －y ＝3得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1， 所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7， 在点A 处目标函数取到最大值， 解方程组⎩⎨⎧ x －y ＝－1，2x －y ＝3得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23，故选A.] 6．D画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3，0)与可行域上点P (x ，y )间距离的平方． 又∵C (0,1)，显然|AC |长度最小， ∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10.] 7．C作出不等式组对应的平面区域如图．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的截距最大， 此时z 最大，由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)，此时z ＝2×1＋1＝3，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的截距最小， 此时z 最小，由⎩⎨⎧ x ＝a ，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝a ，即B (a ，a )，此时z ＝2×a ＋a ＝3a ，∵目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ，即a ＝14.]8．B 若C 点是目标函数z ＝ax －y 的唯一最优解， 则一定是z 的最小值点， ∴－125<a <－310.] 9．(0,2)解析 因为原点O 和点P 在直线x ＋y －a ＝0的两侧，所以(－a )·(1＋1－a )<0，解得0<a <2. 10．3解析画出满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x的平面区域，如图所示．由⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，解得A (1,1)， ∵数列4x ，z,2y 为等差数列，∴z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，显然直线过A (1,1)时，z 最大，z 的最大值是3. 11.32解析 y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，32)处取到最大值．12．解 由题意，设租用甲型车x 辆，乙型车y 辆， 学校所花租金为z 元，则可得不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≤21，36x ＋60y ≥900，y －7≤x ，目标函数z ＝400x ＋600y ，作平面区域如下．z ＝400x ＋600y 可化为y ＝－23x ＋z 600，平移直线y ＝－23x ，易知当直线经过点A 时，z 有最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝15－35x ，x ＝y －7解得x ＝5，y ＝12，即当甲型车5辆，乙型车12辆时，总费用最少， 最少费用为z ＝400×5＋12×600＝9200(元)．。
精品解析：2018年全国普通高等学校招生统一考试数学(浙江卷)(解析版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则U A =ð（ ）A. ∅B. {}1,3C. {}2,4,5D. {}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义可得结果.【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U A =ð，故选C. 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2.双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A. ()，)B. ()2,0-，()2,0C. (0,，(D. ()0,2-，()0,2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)?，选B.【点睛】由双曲线方程22221(0,0)x y a b a b-=>>可得焦点坐标为(,0)(c c ±=，顶点坐标为(,0)a ±，渐近线方程为b y x a=±.3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】 【分析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1、2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()1122262⨯+⨯⨯=，选C. 【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等. 4.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选：B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．5.函数y =2x sin2x 的图象可能是 A. B. C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m n P ”是“m αP ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．7.设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）A. ()D ξ减小B. ()D ξ增大C. ()D ξ先减小后增大D. ()D ξ先增大后减小【答案】D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++，1(0,1)2∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().n nni iii i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑8.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ） A. 123θθθ≤≤ B. 321θθθ≤≤C. 132θθθ≤≤D. 231θθθ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9.已知a r 、b r 、e r 是平面向量，e r 是单位向量．若非零向量a r 与e r的夹角为3π，向量b r 满足2430b e b -⋅+=r r r ，则a b -r r的最小值是（ ）A.1B.1C. 2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先确定向量a r 、b r所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ， 由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A. 1324,a a a a << B. 1324,a a a a >< C. 1324,a a a a <> D. 1324,a a a a >>【答案】B 【解析】 【分析】先证不等式ln 1x x +≥，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令()ln 1,f x x x =--则1()1f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()(1)0,ln 1f x f x x ≥=∴≥+，若公比0q >，则1234123123ln()a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则212341(1)(1)0,a a a a a q q +++=++≤ 但212311ln()ln[(1)]ln 0a a a a q q a ++=++>>，即12341230ln()a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此210,(0,1)q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如ln 1,x x ≥+2e 1,e 1(0).x x x x x ≥+≥+≥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2018版浙江《学业水平考试》数学-知识清单与冲A训练23 命题及其关系 充要条件 全国通用 Word版含解析
知识点一命题的概念一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以的叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．知识点二命题的结构命题“若，则”的形式，其中的叫做命题的条件，叫做命题的结论．知识点三四种命题知识点四四种命题的关系知识点五四种命题的真假性关系结论：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点六充分条件与必要条件()若⇒，则是的充分条件，是的必要条件．()若⇒，且⇐，则是的充要条件；若⇒，且−，则是的充分不必要条件；若↵，且⇐，则是的必要不充分条件；若↵，且−，则是的既不充分也不必要条件．例下列语句中，属于命题的是( )．周期函数的和是周期函数吗？．°＝．＋－>．把门关上例()已知，命题：已知≠，若>，则>，则其否命题为( )．已知＝，若>，则>．已知≠，若≤，则>．已知≠，若>，则≤．已知≠，若≤，则≤()“若，∈，＋＝，则，全为零”的逆否命题是( )．若，∈，，全不为零，则＋≠．若，∈，，不全为零，则＋＝．若，∈，，不全为零，则＋≠．若，∈，，全为零，则＋≠例下列命题：①“若≤，则<”的否命题；②“若＝，则－＋≥的解集为”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若为有理数，则为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为( )．②④．①②③．②③④．①②③④例()设∈，则“＝”是“直线：＋－＝与直线：＋－＝平行”的( ) ．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件()设、∈，则>是>的( )．充分不必要条件．必要不充分条件。
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
高优指导2018高三数学(浙江)参考练习考点规范练18两角和与差的正弦、余弦和正切公式含解析
考点规范练18两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点规范练第21页基础巩固组1。
计算cos 42°cos 18°—cos 48°sin 18°的结果等于（）.A B C D答案：A解析:原式=sin48°cos18°-cos48°sin18°=sin（48°—18°)=sin30°=2.已知,且cos α=-,则tan等于（)。
A.7 B C。
—D。
-7答案：B解析:因为,且cosα=-，所以sinα〈0，即sinα=-,所以tanα=所以tan=3。
设角θ为第二象限角，若tan,则sin θ+cos θ=（).A B C.-D。
-答案:D解析：由tan，得tanθ=-因为角θ为第二象限角,利用tanθ=，sin2θ+cos2θ=1可求得sinθ=，cosθ=—,所以sinθ+cosθ=-4.已知cos+sin α=，则sin的值为()。
A B C。
-D。
—答案：C解析：∵cos+sinα=cosα+sinα=，cosα+sinα=∴sin=—sin=-=-5.(2014课标全国高考Ⅰ）设，，且tan α=，则（).A。
3α—β=B.3α+β=C。
2α-β=D。
2α+β=答案：C解析:由已知，得,∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ。
∴sinαcosβ—cosαsinβ=cosα.∴sin（α-β）=cosα，∴sin（α—β)=sin,,∴-〈α-β〈，0<-α〈,∴α—β=—α，∴2α-β=故选C.6.（2015四川高考）sin 15°+sin 75°的值是。
答案：解析:sin15°+sin75°=sin（45°—30°）+sin（45°+30°) =sin45°cos30°—cos45°sin30°+sin45°cos30°+cos45°sin30°=2sin45°cos30°=27。
3.7正弦定理和余弦定理
2
3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(
6 6 D. 3 3 15 10 【解析】选D.因为 a ＝ b ， 所以 ＝ ， sin 60 sin B sin A sin B 所以sin B＝ 2 3 ＝ 3 . 3 2 3 A．－ B. C．－ 2 2 3 2 2 3
)
又因为a＞b，A＝60°，所以B＜60°， 所以cos B＝ 1 为角A，B，C所对的边，若a＝ 2bcos C，则此三角形一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 )
B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选C.因为a＝2bcos C，所以由余弦定理得：a＝
A. 3 B. 2 3 C. 3 4 D. 5 6
)
【解题视点】(1)根据锐角三角形三边关系,并结合余弦定理求 解. (2)将条件统一为边，然后把三边用一个量表示，最后根据余 弦定理求解.
1 3 a 2 2 2 【规范解答】(1)选B.若a是最大边，则 1 3 a , a＞3, 所以3＜a＜ 10 ； 1 a 3 2 2 2 若3是最大边，则 1 a 3 1＜a＜3, 所以2 2 <a<3；
2
解得c＝2.
答案：2
6.(2014·长沙模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a,b,c,若b2+c2-a2-bc=0,则A= 【解析】由b2+c2-a2－bc =0得 b2+c2-a2=bc,所以 所以A=60°. 答案：60°
b2 c2 a 2 1 cos A ， 2bc 2
当a=3时符合题意，综上2 2 ＜a＜ 10 ，故选B.
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知识点一 正弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则特别关注：利用正弦定理可以解决的两类三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 知识点二 余弦定理特别关注：利用余弦定理可以解决的两类三角形问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．知识点三三角形面积公式S△ABC＝________________＝________________＝________________.知识点四实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线________叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从________方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．例1(2015年10月学考)任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是()A．c2＝a2＋b2＋2ab cos CB．c2＝a2＋b2－2ab cos CC．c2＝a2＋b2＋2ab sin CD．c2＝a2＋b2－2ab sin C例2在△ABC中，c＝3，A＝75°，B＝60°，则b等于()A.322 B.322C.32D.62例3已知△ABC的面积为32，AC＝3，∠ABC＝π3，则△ABC的周长等于()A.332B．3 3C．2＋ 3 D．3＋ 3例4(2016年4月学考)在△ABC中，已知A＝30°，AB＝3，BC＝2，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定例5已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a，则ba＝________.例6△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．例7一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为______海里/时．例8(2016年10月学考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C＝3cos C，C为锐角．(1)求角C的大小；(2)若a＝1，b＝4，求边c的长．一、选择题1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B等于()A.33B.63C.22D.322．在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是()A.1213B.513C ．0D.233．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.π3或2π34．△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( ) A ．206B ．25C ．55D ．495．如图所示，为测一树的高度，在地面选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m6．在△ABC 中，已知sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形7．在△ABC 中，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( ) A ．－12B ．12C ．－1D ．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( ) A ．1＋ 3 B ．1＋32C ．2＋32D ．2＋ 3二、填空题9．在△ABC 中，已知b ＝503，c ＝150，B ＝30°，则边长a ＝________.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，C 为钝角，则x 的取值范围是________．12．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度是________m.答案精析知识条目排查知识点一b sin Bcsin C2R sin B2R sin Cb2Rc2R sin A∶sin B∶sin C知识点二b2＋c2－2bc cos A c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22aca2＋b2－c22ab知识点三12ab sin C 12bc sin A12ac sin B知识点四(1)上方下方(3)正北题型分类示例例1B式子c2＝a2＋b2－2ab cos C符合余弦定理，正确，故选B.]例2A∵A＝75°，B＝60°，∴C＝180°－75°－60°＝45°，∵c＝3，根据正弦定理bsin B＝csin C，∴b＝c sin Bsin C＝3×3222＝322.]例3D由题意，可得12AB·BC·sin∠ABC＝32，即12AB·BC·32＝32，所以AB·BC＝2.再由余弦定理可得3＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos π3＝AB2＋BC2－2，即AB2＋BC2＝5，得(AB＋BC)2＝AB2＋BC2＋2AB·BC＝5＋4＝9，所以AB＋BC＝3.所以△ABC 的周长等于AB ＋BC ＋AC ＝3＋3， 故选D.]例4 A 由正弦定理BC sin A ＝ABsin C ，得 sin C ＝AB ·sin A BC ＝3sin30°2＝34， cos C ＝±1－(34)2＝±74，当cos C ＝－74时，C 为钝角， 则△ABC 为钝角三角形． 当cos C ＝74时， cos B ＝cos180°－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C －sin A sin C ] ＝－(32×74－12×34) ＝－21－38<0， ∴B 为钝角．故△ABC 为钝角三角形．] 例52解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即(sin 2A ＋cos 2A )sin B ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A, ∴b a ＝sin Bsin A ＝ 2. 例6928解析 设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13， 则a 2＝22＋32－2×2×3×13＝9， ∴a ＝3，又sin A ＝1－cos 2A ＝1－(13)2＝223，∴外接圆的半径R ＝a 2sin A ＝3423＝928.例71762解析 如图所示，在△PNM 中，PM sin45°＝MNsin120°， 所以MN ＝68×3222＝346，速度v ＝MN 4＝1762(海里/时)．例8 解 (1)由sin2C ＝3cos C ， 得2sin C cos C ＝3cos C ， 因为C 为锐角，所以cos C ≠0， 从而sin C ＝32. 故角C 的大小是π3.(2)由a ＝1，b ＝4，根据余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝13，所以边c 的长为13.考点专项训练 1．A 2.C3．C 由a 2＝b 2＋bc ＋c 2， 得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.] 4．D5．A 由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PBsin30°，PB ＝60×12sin15°＝30sin15°， h ＝PB ·sin45°＝30sin15°·sin45° ＝(30＋303)(m)．] 6．B 因为sin 2A 2＝c －b 2c ， 所以1－cos A 2＝c －b 2c .利用正弦定理知1－cos A 2＝sin C －sin B2sin C ， 化简得sin C －sin C cos A ＝sin C －sin B ， 所以sin C cos A ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝0.又因为sin A ≠0，所以cos C ＝0， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π2， 所以△ABC 为直角三角形．] 7．D8．A 由12ac ·sin30°＝32，得ac ＝6， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos30° ＝(a ＋c )2－2ac －3ac＝4b 2－12－63，∴b ＝3＋1.] 9．1003或50 3 解析 由余弦定理得， a 2＋c 2－2ac cos30°＝b 2， ∴a 2－1503a ＋15000＝0， 解得a ＝1003或50 3. 10.π6解析 由sin B ＋cos B ＝2，B ∈(0，π)， 可得sin(B ＋π4)＝1，B ＝π4，由正弦定理，得sin A＝a sin Bb＝12.又∵a<b，∴A<B，∴A＝π6.11．(5,7)解析由已知条件可知x<3＋4且32＋42<x2，∴5<x<7.12．60解析如图，作CD⊥AB于点D，tan30°＝CDAD，tan75°＝CDDB，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝603，故CD＝60.。