【北师大版理科】2019年高考数学一轮复习学案 坐标系与参数方程 第1节 坐标系

第一节 坐标系

[考纲传真] (教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

(对应学生用书第198页)

[基础知识填充]

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ′＝λ

x ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0

的

作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换． 2．极坐标与极坐标系的概念

图1

在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．

当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值． 3．极坐标与直角坐标的互化

4.

5.(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．

(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝

⎛⎭

⎪⎫－π

2

＜θ＜π2.

(3)直线过M ⎝

⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b (0＜θ＜

π)．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“³”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )

(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )

(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)³ (2)√ (3)√ (4)³

2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

2

B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4

C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

2

D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4

A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，

∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝

1sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0≤θ≤π2.]

3．(2017²北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2

－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．

1 [由ρ2

－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，

即(x －1)2

＋(y －2)2

＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外．

又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.]

4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝

⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点

A 到直线l 的距离为______．

522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得

2ρ⎝

⎛⎭

⎪⎫

22sin θ－22cos θ＝2，

∴y －x ＝1.

由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)． ∴点A 到直线l 的距离d ＝

|2＋2＋1|2

＝52

2.]

5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2

＋22ρ²sin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．

[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程可化为 ρ2

＋22ρ⎝

⎛⎭

⎪⎫

22sin θ－22cos θ－4＝0，

化简，得ρ2

＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为

x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，

即(x －1)2

＋(y ＋1)2

＝6， 所以圆C 的半径为 6.

(对应学生用书第199页)

在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨

⎪⎧

x ′＝3x ，

2y ′＝y .

(1)求点A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；

(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换

φ：⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ′＝3x ，

2y ′＝y ，得⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ′＝3x ，y ′＝y 2，

∴x ′＝13³3＝1，y ′＝－2

2＝－1.

∴点A ′的坐标为(1，－1)．

(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点． 由伸缩变换φ：⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ′＝3x ，2y ′＝y ，

得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x ′3，y ＝2y ′，

代入y ＝6x ，得2y ′＝6²

x ′

3

＝2x ′，

∴y ＝x 即为所求直线l ′的方程．