二元一次方程组的解法(讲解+练习)

第八讲 二元一次方程组

一、知识梳理

（一）二元一次方程组的有关概念

1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。任何一个二元一次方程都有无数个解。 3．方程组和方程组的解

（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。 4．二元一次方程组和二元一次方程组的解

（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。

（二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法

二、典例剖析

专题一：代入消元法：

1、直接代入 例1 解方程组⎩⎨

⎧=--=.

134,32y x x y

跟踪训练： ⎩⎨

⎧-==+738

25x y y x

2、变形代入

例2 解方程组⎩⎨⎧=+=-.

1043,95y x y x

跟踪训练： ⎩

⎨⎧-=--=-.2354,

42y x y x

小结：代入消元法的方法（步骤）：

（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.

（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.

（4）把所求得的一个未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值，写出方程组的解.

专题二：加减消元法 例3、解方程组（1）⎩⎨

⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-3

225

43y x y x （3）⎩⎨

⎧=+=+.1034,1353y x y x

跟踪训练：（1） （2）

注意：

⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便. ⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好. [变式练习]选择适当的方法解下列方程组

（1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩

⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x

专题三：有关二元一次方程组以及解的问题： 例4、（1）已知方程2

m -1

n -8(m-2)x +(n+3)y =5是二元一次方程，求m,n 的值。

（2） 求方程x+2y=5在自然数范围内的解。

⎩⎨

⎧=+=-10

237

24y x y x

[变式练习]（1）若方程(2m －6)x |n |－1

+(n +2)y 82

-m =1是二元一次方程，

则m =_______，n =__________．

（2）二元一次方程3a +b =9在正整数范围内的解的个数是_________.

（3）已知(3x －2y +1)2

与|4x －3y －3|互为相反数，则x =__________，y =________

专题四：字母系数的二元一次方程组

例5：（1）已知关于x,y 的方程组x+y=5m

x-y=9m ⎧⎨⎩

的解满足2x-3y=9，求m 的值。

（2）的值。

求有相同的解与方程组若方程组b a by ax y x y x by ax ,,10

22

4352123⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=-

（3）若方程组⎩

⎨⎧-=-+=+1223

23m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值。

[变式练习]解关于x ，y 的方程组32165410x y k

x y k

+=⎧⎨-=-⎩，并当解满足方程4x －3y ＝21时的k 值．

例6．已知关于x ，y 的方程组21(1)22(1)3

(2)

ax y a x a y +=+⎧⎨

+-=⎩，分别求出当a 为何值时，方程

组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．

跟踪练习.（1）当a 为何值时，方程组21

33

ax y x y +=⎧⎨+=⎩有唯一的解 ？有无穷多解？

家庭作业

一、解方程组 １．)(1244用代入法解⎩⎨⎧-=+=-y x y x ２．⎩⎨

⎧-=-=-8

2540

76y x x y

3．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-.73

2,14

3n m n

m 4.

1

- = 7625(x+y) - 2(x-y) - 1 = 0

x y x y -+⎧⎪

⎨⎪⎩

二、选择题、填空题：

1. 已知⎩⎨

⎧=++=+m

y x m y x 323

53且x 、y 之和为12，则m 等于（ ）

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25 2. 方程72=+y x 在自然数范围内的解（ ）

A. 有无数对

B. 只有1对

C. 只有3对

D. 以上都不对 3. 如果5=-y x 且5=-z y 那么x z -的值是（ ）

A. 5

B. 10

C. －5

D. －10

4. 当___

___x y =⎧⎨

=⎩ 时，代数式26-+y x 与53+-y x 的和与差都是9。

5. 已知14

252

2=+=+y x y x ，则

=

+-++7

3212y x y x ________。

6. 已知二元一次方程组⎩⎨

⎧=-=+7

318

85y x y x ，则=+y x 92________ 。

7. 已知⎩⎨

⎧==3

4

y x 是关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=--=+21by x y ax 的解，则a+b= 。

8. 求出方程3x+y=9在正整数范围内的解是 。