高中数学 第三章 第1讲 导数的概念与运算

第三章
导数及其应用
第1讲 导数的概念与运算

分层训练A级 基础达标演练
(时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．
解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，f′(x)
＝2x－4，故f′(0)＝－4.
答案 －4
2．(2012·扬州检测)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互

相垂直，则ab为________．

解析 y′＝(x3)′＝3x2，k＝3，由题意，3×ab＝－1，所以ab＝－13.
答案 －13
3．(2012·辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，
－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为
________．

解析 由y＝x22，得y′＝x，k1＝f′(4)＝4，k2＝f′(－2)＝－2，所以P(4,8)，
Q(－2,2)．
点P处切线方程为y－8＝4(x－4)，
即y＝4x－8.①
点Q处切线方程为y－2＝－2(x＋2)，
即y＝－2x－2.②
①②联立，解得A(1，－4)．
答案 －4
4．(2013·菏泽模拟)若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的
倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)．
解析 f′(x)＝excos x－exsin x，因为函数图象在点(1，f(1))处的切线斜率k＝
f′(1)＝e(cos 1－sin 1)＜0，所以切线的倾斜角是钝角．
答案 钝角
5．(2012·南通、泰州、扬州三市调研(二))已知各项均为正数的等比数列{an}；满
足a1a7＝4，a6＝8，函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的导数为f′(x)，

则f′12＝________.

解析 设{an}公比为q，则由 a1a7＝a21q6＝4，a6＝a1q5＝8，得q＝2，a1＝14，所以an＝2
n
－
3，f′12＝a1＋2a2×12＋3a3×122＋…＋10a10×129
＝14＋2×14＋3×14＋…＋

10×14＝(1＋2＋3＋…＋10)×14＝554.
答案 554
6．(2013·青岛模拟)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x
－2的距离的最小值是________．

解析 设P(t，t2－ln t)，由y′＝2x－1x，得k＝2t－1t＝1(t＞0)，解得t＝1.所

以过点P(1,1)的切线方程为y＝x，它与y＝x－2的距离d＝22＝2即为所求．
答案 2
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．(2010·陕西卷)已知函数f(x)＝x，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y
＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解 f′(x)＝12x，g′(x)＝ax(x＞0)，
由已知得 x＝aln x，12x＝ax，解得a＝e2，x＝e2.
因为两曲线交点坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝12e，所以切线方程
为y－e＝12e(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.
8．已知函数y＝f(x)＝ln xx.
(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1e处的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)的最大值．
解 (1)因为f′(x)＝1－ln xx2，
所以k＝f′1e＝2e2.又f1e＝－e，
所以y＝f(x)在x＝1e处的切线方程为
y＋e＝2e2x－1e，即2e2x－y－3e＝0.
(2)令f′(x)＝0，得x＝e.
因为当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，

所以f(x)max＝f(e)＝1e.
分层训练B级 创新能力提升

1．(2012·苏北四市调研(三))若曲线y＝x＋1x－2在x＝1处的切线与直线x＋by＋1＝0
垂直，则实数b的值为________．
解析 因为y＝x＋1x－2，所以y′＝－3x－22，k＝f′(1)＝－3.又切线与x＋by
＋1＝0垂直，所以－1b＝13，解得b＝－3.
答案 －3
2．(2012·镇江市第一学期期末考试)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．
解析 由y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，得f′(2)＝2，f(2)
＝3，
于是由g(x)＝x2＋f(x)，得g′(x)＝2x＋f′(x)，
从而g(2)＝22＋f(2)＝7，g′(2)＝2×2＋f′(2)＝6，
所以y＝g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.
答案 6x－y－5＝0
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导函数为f′(x)，且f′(0)＞0，对于

任意实数x，有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．
解析 f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＞0，
又 Δ＝b2－4ac≤0，a＞0，所以ac≥b24，所以c＞0，

所以f1f′0＝a＋b＋cb≥b＋2acb≥2bb＝2.
答案 2

4．(2013·南京模拟)已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝ 2－12x，x≤0，12x2＋1，x＞0的图
象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．
解析 如图，可求得直线y＝2x与y＝12x2＋1(x＞0)的图象相切时恰有两个不
同的公共点，当m＞2时，直线y＝mx与y＝f(x)的图象恰有三个不同的公共
点．
答案 (2，＋∞)

5．已知函数f(x)＝13x3＋2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C，试问：是否存在一条直
线与曲线C同时切于两点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存
在，说明理由．
解 设存在过切点A(x1，y1)的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2，

y2)(x2≠x1)，则切线方程为y－13x31＋2x21＋3x1＝(x21＋4x1＋3)(x－x1)，
即为y＝(x21＋4x1＋3)x－23x31＋2x21.
同理，过点B(x2，y2)的切线方程是
y＝(x22＋4x2＋3)x－23x32＋2x22.
由于两切线是同一切线，所以有






x21＋4x1＋3＝x22＋4x2＋3，
23x31＋2x21＝2
3
x32＋2x22，

即 x1－x2x1＋x2＝－4x1－x2，x1－x2x21＋x1x2＋x22＝－3x1－x2x1＋x2.
又x1≠x2，所以 x1＋x2＝－4，x21＋x1x2＋x22＝12，
解得x1＝x2＝－2，这与x1≠x2矛盾，所以不存在一条直线与曲线C同时切于
两点．
6．(2013·盐城检测)已知在函数f(x)＝mx3－x的图象上，以N(1，n)为切点的切线

的倾斜角为π4.
(1)求m，n的值；
(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－2 013对于x∈[－1,3]恒成
立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．

解 (1)依题意，得f′(1)＝tanπ4，即3m－1＝1，m＝23.

因为f(1)＝n，所以n＝－13.
(2)令f′(x)＝2x2－1＝0，得x＝±22.
当－1＜x＜－22时，f′(x)＝2x2－1＞0；
当－22＜x＜22时，f′(x)＝2x2－1＜0；
当22＜x＜3时，f′(x)＝2x2－1＞0.
又f(－1)＝13，f－22＝23，f22＝－23，f(3)＝15，
因此，当x∈[－1,3]时，－23≤f(x)≤15.
要使得不等式f(x)≤k－2 013对于x∈[－1,3]恒成立，则k≥15＋2 013＝2 028.
所以，存在最小的正整数k＝2 028，使得不等式f(x)≤k－2 013对于x∈[－1,3]
恒成立.
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