高二自招专题一 函数
高一高二数学函数知识点
高一高二数学函数知识点数学函数是高中数学中的重要内容之一，也是高一、高二阶段的核心考点。
函数的概念、性质和应用都是学生在这个阶段需要深入了解和掌握的内容。
本文将从函数的定义、常见函数类型、函数的性质和函数的应用等方面进行探讨。
一、函数的定义函数是数学中的一种关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
简单地说，函数就是一个变量之间的依赖关系。
在数学中，通常用 f(x) 表示函数，其中 f 代表函数名称，x 代表自变量，f(x)代表函数的值或因变量。
二、常见函数类型1.线性函数：线性函数是一种最简单的函数类型，它的表达式可以表示为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 分别为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率 k 决定了直线的倾斜程度。
2.二次函数：二次函数是一种以 x 的平方作为自变量的函数，一般可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 都是常数。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线。
3.指数函数：指数函数是以一个常数为底数的自然指数为自变量的函数，表达式通常为 f(x) = a^x，其中 a 是底数。
指数函数的图像为渐近于 x 轴的曲线。
4.对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，表达式通常为f(x) = logₐx，其中 a 是对数的底数。
对数函数的图像为渐近于 y 轴的曲线。
5.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们是以角度为自变量的函数。
三角函数的图像是周期性的波动曲线。
三、函数的性质函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性等，这些性质可以通过函数的公式和图像来进行判断和分析。
1.奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性是指整个函数图像关于 y 轴的对称性。
若 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若 f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
2.周期性：函数 f(x) 的周期性是指函数在某一区间内图像的重复性。
例如正弦函数和余弦函数的周期都为2π，而指数函数和对数函数则没有周期性。
最新-高二数学知识点：函数基本性质总结
高二数学知识点：函数基本性质总结高二数学知识点：函数基本性质总结知识点概述关于函数的基本性质的知识点是一个系统的知识体系,需要重点掌握.知识点总结(一)函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x) x A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充2.能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零(2) 偶次方根的被开方数不小于零(3) 对数式的真数必须大于零(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6)指数为零底不可以等于零构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同②定义域一致 (两点必须同时具备)值域补充( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . ( 2 ) . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象.C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ，y) ，均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) y= f(x) , x A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1) 、直观的看出函数的性质 2) 、利用数形结合的方法分析解题的思路。
高二数学函数题型总结归纳
高二数学函数题型总结归纳数学函数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中常见的考点之一。
在高二数学学习过程中，学生会遇到各种类型的函数题目。
本文将对高二数学函数题型进行总结归纳，帮助学生更好地理解和应对这些题目。
一、一次函数一次函数是高中数学中最简单的函数类型之一。
它的函数表达式为y=ax+b，其中a和b是常数，a不等于0。
一次函数的图像是一条直线，具有以下特征：1. 斜率：斜率是一次函数的重要特征，表示函数图像在x轴上的变化速率。
斜率为正时，函数图像向上倾斜；斜率为负时，函数图像向下倾斜；斜率为零时，函数图像水平。
2. 截距：截距表示函数图像与y轴的交点，在一次函数中就是函数图像的纵截距。
截距可为正、零或负值。
二、二次函数二次函数是高中数学中较为复杂的函数类型之一。
它的函数表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线，具有以下特征：1. 开口方向：二次函数图像的开口方向由二次项系数a的正负决定。
a大于0时，开口向上；a小于0时，开口向下。
2. 顶点：二次函数图像的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下），在函数表达式中可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))求得。
3. 对称轴：二次函数图像的对称轴是通过顶点并垂直于x轴的一条直线。
三、指数函数指数函数是一种常见的数学函数，它的函数表达式为y=aˣ，其中a为常数，且a大于0且不等于1。
指数函数的图像具有以下特征：1. 增长与衰减：指数函数在定义域上具有不断增长或衰减的特点。
当a大于1时，函数图像在x轴右侧逐渐增大；当0小于a小于1时，函数图像在x轴右侧逐渐减小。
2. a的正负：当a大于1时，函数图像在x轴左侧逐渐趋近于0；当0小于a小于1时，函数图像在x轴左侧逐渐趋近于正无穷大。
3. 初始值：指数函数图像的初始值取决于a的正负。
当a大于1时，函数图像在x等于0处为正数；当0小于a小于1时，在x等于0处为正数。
关于高中函数知识点总结
关于高中函数知识点总结一、函数的概念与性质1. 函数的定义函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的对应关系。
通常表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f表示函数关系。
2. 函数的性质(1) 定义域：函数的自变量可能取值的范围。
(2) 值域：函数的因变量可能取值的范围。
(3) 单调性：函数在定义域内的变化趋势。
(4) 奇偶性：f(-x)=f(x)则为偶函数，f(-x)=-f(x)则为奇函数。
(5) 周期性：f(x+T)=f(x)，其中T为周期。
(6) 奇偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
(7) 初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
二、函数的图像1. 函数的图像与性质(1) 函数的图像：函数的自变量和因变量的对应关系在平面直角坐标系中画出的图形。
(2) 图像的性质：包括单调性、奇偶性、周期性、渐近线等。
2. 函数的对称性(1) 奇偶性：函数图像关于原点对称即为奇函数，关于y轴对称即为偶函数。
(2) 对称中心：函数图像关于某点对称。
3. 函数的渐近线(1) 水平渐近线：函数图像靠近的一条直线。
(2) 垂直渐近线：函数图像靠近的一条直线。
三、函数的运算1. 函数的运算(1) 四则运算：加法、减法、乘法、除法。
(2) 复合函数：f(g(x))。
(3) 函数的逆运算：反函数f^-1(x)。
(4) 多项式函数的运算。
2. 函数的求导(1) 导数：函数在某点的变化率。
(2) 导数的性质：可加性、可乘性、导数的求法。
(3) 函数的微分：导数的变化量。
四、函数的应用1. 函数的极值与单调性(1) 极值：函数的最大值和最小值。
(2) 单调性：函数在定义域内的增减性和单调区间。
2. 函数的最值(1) 最大值：函数的最大值。
(2) 最小值：函数的最小值。
3. 函数的应用(1) 增长与衰减：函数的变化趋势。
(2) 函数的最值问题：函数的最大值和最小值。
2024年高二数学函数基本性质知识总结（2篇）
2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结（____字）一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。
函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。
函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。
1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。
值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。
1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。
函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。
对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。
1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。
单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。
1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。
一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)。
一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)。
奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。
1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。
周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期。
周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。
1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。
界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。
二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
2.1 常函数常函数是一个常数，其函数图像是一条平行于x轴的直线。
常函数的定义域是整个实数集，值域是只有一个值的数集。
2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式，函数表达式为f(x)=ax+b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
高中函数知识点大总结
高中函数知识点大总结一、函数的概念1. 函数的基本概念函数是对两个集合之间的一种特殊关系的抽象描述。
在数学中，函数可定义为一个或多个变量的右对应于确定的唯一的另一个变量值。
它是研究自变量与因变量之间对应关系的数学对象。
2. 函数的符号表示函数通常用字母表示，如y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量，f(x)表示函数f对自变量x的函数值。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域则是函数值的取值范围。
4. 函数的图像函数的图像是指由函数的自变量与函数值确定的点所组成的图形。
5. 函数的性质函数包括奇偶性、周期性、单调性等性质，这些性质可以通过函数的定义域和函数的导数等方式确定。
二、基本初等函数1. 一次函数一次函数是函数的一种，一次函数的一般形式为y=kx+b(k≠0)，其中k和b为常数，k称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像是一条直线。
2. 二次函数二次函数是一次函数的平方函数。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c(a≠0)，其中a、b、c都是实数，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二次函数的图像是抛物线。
3. 指数函数指数函数是以自然常数e为底数的指数函数。
指数函数的一般形式为y=ae^x(a>0,a≠1)，其中a为指数，e≈2.71828。
4. 对数函数对数函数是指数函数的反函数。
对数函数的一般形式为y=log_a(x)(a>0,a≠1)，其中a为底数。
5. 幂函数幂函数是y=ax^b(a≠0)，其中a和b均为实数。
幂函数的图像随着a、b的取值不同，形状也不同。
6. 三角函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的图像呈现周期性变化。
7. 反比例函数反比例函数的一般形式为y=k/x(k≠0)，反比例函数的图像是一条不经过原点的双曲线。
三、函数的运算1. 函数的加减乘除函数的加减乘除是指对两个或多个函数进行加减乘除运算。
高中数学知识点总结——函数5篇
高中数学知识点总结——函数5篇第1篇示例：高中数学知识点总结——函数函数是数学中一个非常重要的概念，在高中数学课程中，函数是一个比较重要的知识点，也是一个比较基础的知识点。
要想在数学学科中取得优异的成绩，掌握函数的知识是至关重要的。
在这篇文章中，我们将对高中数学中的函数知识点进行总结和分析，希望能够帮助同学们更好地掌握这一部分的知识。
一、函数的概念和性质1. 函数的概念在数学中，函数是一种特殊的关系，它把一个集合的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合中的唯一元素（称为因变量）。
一般来说，用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的概念非常广泛，它不仅可以是一种数学关系，还可以是数学中的一种运算。
（1）单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。
函数可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
（2）奇偶性：函数的奇偶性是指函数图象与坐标轴的对称性质。
奇函数的图象关于原点对称，而偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周期性：函数的周期性是指函数在一定区间内具有相同的重复规律。
初等函数是高中数学中最基础的函数类型，包括常数函数、线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
这些函数在数学中起着非常重要的作用，也是数学建模和实际问题求解中经常使用的函数类型。
1. 常数函数：常数函数是最简单的函数之一，它的解析式为f(x)=c，图像是一条水平直线，斜率为0。
3. 幂函数：幂函数的解析式为f(x)=x^n，其中n为常数。
幂函数的图像形状和n的取值有关，n为偶数时，图像为开口向上的抛物线；n为奇数时，图像为关于原点对称的函数图像。
4. 指数函数和对数函数：指数函数的解析式为f(x)=a^x，对数函数的解析式为f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0。
指数函数和对数函数是互为反函数的函数关系。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的图像都是周期性的波形，具有一定的对称性和周期性。
高二数学函数知识点总结
高二数学函数知识点总结1. 函数的定义与基本概念函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合中的唯一元素（称为因变量）。
函数的定义包括定义域、值域和映射关系。
•定义域（Domain）：函数的自变量所在的集合，表示函数能够输入的值的范围。
•值域（Range）：函数的因变量所在的集合，表示函数能够输出的值的范围。
•映射关系：将自变量和因变量之间的对应关系表示为一个规则。
常用的表示方法有函数图、函数表和函数式。
2. 函数的分类函数可以根据定义域和值域的性质进行分类。
•实函数：定义域和值域都是实数集。
•复函数：定义域和值域都是复数集。
•显函数：映射关系可以用一个明确的公式表示。
•隐函数：映射关系不能直接用公式表示，常常需要方程或条件。
3. 函数的图像与性质函数的图像是函数映射关系的可视化表示，可以通过绘制函数图来观察函数的性质。
•增减性与单调性：函数在定义域上的单调性可以通过图像的上升或下降趋势判断。
•奇偶性：函数满足f(−x)=−f(x)时，称为奇函数；满足f(−x)= f(x)时，称为偶函数。
•周期性：函数的图像以某一固定的间隔重复出现的特点，称为周期函数。
•对称性：函数的图像关于某一直线对称时，称为关于该直线对称的函数。
4. 基本初等函数与常用函数高中数学中，常用到的基本初等函数包括：•幂函数：y=x a，其中a为常数。
•指数函数：y=a x，其中a为常数且a>0，a eq1。
•对数函数：$y = \\log_a x$，其中a为常数且a>0，a eq1。
•三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在实际问题中，常用到的常用函数包括：•线性函数：y=ax+b，其中a和b为常数。
•平方函数：y=ax2+bx+c，其中a、b和c为常数。
•指数衰减函数：y=ae−bx，其中a和b为常数。
•二次函数：y=ax2+bx+c，其中a、b和c为常数。
5. 函数的运算与复合函数函数之间可以进行一系列的运算以及复合。
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专题一 函数1一、函数的一些结论1.单调性：⎩⎨⎧<--⇔><>--⇔>>∈∀0)()()[()()(,0)()()[()()(,,212121212121212121x f x f x x x f x f x x x f x f x x x f x f x x D x x 减函数：增函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔≠<--⇔≠>--⇔减小（右下）增大，增大（右上）增大，y x x x x x x f x f y x x x x x x f x f )(0)()()(0)()(212121212121 2.奇偶性：⎩⎨⎧=--⇔==-∈⇔=⇔=-+⇔-=-∈⇔⇔0)()(|)(|)()(,00)()()()(,0,0x f x f x f x f x f D x x x f x f x f x f D x 任意的对称图像关于偶函数任意的）对称图像关于（奇函数 3.周期性:设定义在某一数集Ｍ上的函数)(x f ，若存在一常数Ｔ(Ｔ≠０)具有性质：（１）对任何x ，有x ∈Ｍ时x ＋Ｔ∈Ｍ；（２）对任何x ∈Ｍ，有)()(T x f x f +=，则称)(x f 是数集Ｍ上的周期函数，常数Ｔ称为)(x f 的一个周期.4.有界性定义：设A 为函数)(x f 定义域的子集，若存在常数M ，使对所有A x ∈，都有：M x f ≤)(（或M x f ≥)(），则称)(x f 在A 上有上（或下）界，M 为它的一个上（或下）界.若函数)(x f 在Ａ上既有上界又有下界，则称)(x f 为Ａ上的有界函数，对于Ａ上的有界函数)(x f ，必存在正数Ｍ，使对所有A x ∈恒有.)(M x f ≤二、问题探究探究题1若R x x f y ∈=),(满足下列条件之一：（1）)()(a x f x f +-=；（2）1)()(±=+⋅a x f x f ；（3）)()(b x f a x f --=+； （4）)()()(a x f a x f x f -++=；（5）)(x f 关于a x =和b x =)(b a >对称. 说明满足以上条件的各函数R x x f y ∈=),(都为周期函数.探究题2说明和理解下面的对称性问题：(i)轴对称：对称关于a x x f x a f x f x a f x a f =+=-⇔-=+)(),2()()()(, 一般地：2)(),()()()(b a x x f x b a f x f x b f x a f +=++=-⇔-=+关于对称.(ii)点对称：)2()(0)()()()(a x f x f x a f x a f x a f x a f +-=-⇔=-++⇔--=+,)(x f 关于)0,(a 对称；),()(,2)()(b a x f b x a f x a f 关于=-++对称.探究题3把满足对应函数的抽象函数填入表格中探究4耐克函数:形如)0()(>+=a xx x f 的函数，填充以下空格：定义域为__________;奇偶性为___________;单调性为________________;值域为___________. 三、例题选讲例1（1）定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数1)1(--=x f y 的值域为（ ）A ．[1,1]a b --B ．[,]a b C ．[1,1]a b ++ D ．无法确定（2）已知4)()(3||||++-=-x b e e a x f x x x x （a 、b ；实数）且5)10log (lg 3=f ，则)3lg (lg f 的值是（ ）A. 5-B. 3-C. 3D.随a 、b 取不同值而取不同值 (3)函数()ln(f x x x =+，对于任意的实数a 和b ，判断A ：“0a b +<”;判断B: “()()0f a f b +<”,则必然成立的是( )A ．A ⇒B 但不能A ⇐B B. A ⇐B 但不能A ⇒B C. A ⇔B D. 前面的结论都错误 (4)已知函数()sin f x x x =，则π()11f ，(1)f -，π3f -（的大小关系为（ ） A ．ππ()(1)()311f f f ->-> B ．ππ(1)()(311f f f ->->C ．ππ()(1)(113f f f >->-D ．ππ()()(1)311f f f ->>-(5)如右图所示的函数图像,则它所对应的函数解析式为（ ）A ．21()21x x f x -=+B ．()22x xf x -=+C ．()22xxf x -=- D ．21()21x x f x +=-(6)己知)(x f y =是偶函数，当0>x 时，xx x f 4)(+=，且当∈x 恒成立，则n m -的最小值是（ ） A31 B 32 C 1 D 34(7)设函数ƒ（x ）=ax 2+bx+c (a>0)满足ƒ（1-x ）=ƒ（1+x ）则ƒ（2x ）与ƒ（3x ）的大小关系是( )A .ƒ（2x ）>ƒ（3x ）B .ƒ（2x ）<ƒ（3x ） C.ƒ（2x ）≥ƒ（3x ）D.ƒ（2x ）≤ƒ（3x ） (8)定义在R 上的函数()[3,)f x +∞在上单调递减，且(3)f x +是偶函数，则下列不等式中正确的是（ ） A ．(3)(4)(1)f f f >>B ．(1)(3)(4)f f f >>C ．(3)(1)(4)f f f >>D ．(4)(3)(1)f f f >> (9)设()x f 是定义在R 上的正值函数,且满足()()()x f x f x f =-+11.若()x f 是周期函数,则它的一个周期是（ ）A. 3B. 2C. 6D.4(10)已知周期为2的偶函数f (x )在区间[0，1]上是增函数，则)0(),1(),5.6(f f f --的大小关系是（ ） A ．)1()0()5.6(-<<-f f f B ．)0()5.6()1(f f f <-<-C ．)1()5.6()0(-<-<f f fD ．)5.6()0()1(-<<-f f f(11)设函数)(x f 定义在R 上，且)1(+x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，则(11)f =( ) A.0 B.1 C. 10 D.11(12)函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 ( )A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C. ()(2)f x f x =+D. (3)f x +是奇函数 (13)若定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()2(x f x f =+ 且当]1,0[∈x 时，,)(x x f =则方程0||log )(3=-x x f 的根的个数是( )A.6B.4C.3D.2(14)若()113xf x x+=-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，则)()2(2014=-fA.17-B. 17C. 35- D.3(15)设函数f 是定义在正整数有序对的集合上，并满足：①(,),f x x x =②(,)(,),f x y f y x =③()(,)(,),x y f x y yf x x y +=+则(12,16)f +(16,12)f 的值是（ ）A ． 96B ． 64C ． 48D ． 24例2 (1)若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．（2）对任意实数x,y ，均满足f (x ＋y 2)＝f (x)＋2[f (y)]2且f (1)≠0,则f (2014)＝_______. （3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++=_______. (4)函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 ．(5)在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 . (6) 已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若01,2121=-++<a x x x x ，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 .8．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=(7)设函数f (x)对任意实数x,y ，都有f (x ＋y)＝f (x)＋f (y),若x ＞0时f(x)＜0,且f (1)＝－2,则f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为 .(8)定义在R 上的偶函数f x ()在[]1,0-上单调递增，且满足()(1)10f x f x ++-=， 给出下列5个判断：①f x ()是周期函数； ②0)2014(=f ； ③f x ()的图象关于直线1x =对称；④f x ()在[]1,2上是减函数； ⑤f x ()在0x =处取得最大值.其中正确的判断序号是 ．例3已知f (1＋sinx)＝2＋sinx ＋cos 2x.(1)求f (x)的值域；(2)如果方程a x f =)(有一个实数根，求a 的取值范围;(3) 判断方程|ln |)(x x f =有否实数根.例4设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,求满足0)54()(=++-x x f x f 的所有x 之和.例5已知)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，且1)1(=f ，若a 、∈b ]1,1[-，0≠+b a ，有0)()(>++ba b f a f .（1）判断函数)(x f 在]1,1[-上的单调性，并证明你的结论；（2）若)(x f ≤122+-am m 对所有的∈x ]1,1[-、∈a ]1,1[-恒成立，求实数m 的取值范围．例7设函数y=f(x)（x ∈R 且x ≠0），对任意实数x 1 、x 2 满足f(x 1)+ f(x 2)= f(x 1·x 2) ． (1) 求证：f(1)=f(-1)=0;(2) 求证：y=f(x)为偶函数；(3)已知y=f(x)在（0,+∞）上为增函数，解不等式f(x)+f(x-12)＜0．例8已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体, 存在非零常数T , 对任意R x ∈, 有()()f x T Tf x +=成立.(1) 函数()f x x =是否属于集合M ? 说明理由;(2) 设()f x M ∈,且2T =, 已知当12x <<时, ()ln f x x x =+, 求当32x -<<- 时, ()f x 的解析式.例9设函数)(x f 的定义域为Ｒ，对任意实数βα,有)2()2(2)()(βαβαβα-+=+f f f f ，且21)3(=πf ，0)2(=πf .(1)求证:)()()(x f x f x f --==-π;(2)若20π<≤x 时,0)(>x f , 求证: )(x f 在],0[π上单调递减;(3) 求)(x f 的一个周期并加以证明.三、课后练习 1.选择题(1)定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数(2)已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是（ ）A.0B.12C.1D.52（4）函数xe y -=的图象（ ） A ．与xe y =的图象关于y 轴对称 B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称 C ．与x ey -=的图象关于y 轴对称D ．与xey -=的图象关于坐标原点对称(5)已知定义域为R 的函数)(x f 满足),()()()(R b a b f a f b a f ∈⋅=+且0)(>x f ，21)1(=f ，则=-)2(f ( ) A. 2 B. 4 C.21 D. 41 (6)已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，,132)2(,0)1(+-=>m m f f 则m 的取值范围是（ ）A ．)23,(-∞ B ．)23,1(- C ．)23,1()1,( -∞ D ．),23()1,(+∞--∞ (7)定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ）A ．21-B ．21 C ．23- D ．23 (8)已知不恒为零的函数f (x)对任意实数x,y 都满足f (x ＋y)＋f (x －y)＝2[f (x)＋f (y)],则f (x)是（ ）A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(9)定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<(10)已知函数f(x+1)为奇函数，函数f(x-1)为偶函数，且f(0)=2，则f(4)＝ ( )A ．2B ．2-C ．4D ．4-2.填空题(1)若x≥0，y≥0，且12=+y x ，则232y x +的最小值是 ．(2)已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈(0,1)时，f(x)=2x -1，则f(log 212)的值为 .(3) 函数()f x 的值域1(,4]4，则()()g x f x =-的值域为 ．(4),,,,,)1()()(b a c b a cx xbf x af x f ≠=+且是不为零的常数其中满足函数则f (x)＝________.(5)()y f x =定义域为R ，R x ∈∀都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=________.(6)若f(x)是R 上的偶函数,R x ∈∀都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)= . (7)函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为 .(8)设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，f (x) = －21x ，则f (8.6 ) = _______.(9)对每一实数对x 、y ，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1，若f(-2)=-2．试求满足f(a)=a 的所有整数为 ． 3.解答题(1)已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅.求f （3），f （9）的值.(2)已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数f （x ）的奇偶性.(3)设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.)()(),1,1(,)(:)()1,1(4y f x f y x i x f +-∈-都有对任意满足上的函数）定义在（；)1(xy yx f ++= (ii)当x ∈(－1，0)时，有 f (x)＞0.求证：①f (x)是奇函数；②).31()551()191()111(2f n n f f f >+++++。