宋怀波第5讲： 图像变换
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精品课件-计算机图形学-第5章 图形变换
4. 规格化设备坐标系(NDCS-Normalized Device Coordinate System)
在早期的图形系统中, 图形程序(或软件包) 大多是在用户坐标系(WCS)中画图, 然后直接映射到设备 坐标空间(DCS)显示输出带来不方便。 为此, 在WCS和DCS之间定义了一个与设备无关的规格化 设备坐标系, 考虑到且坐标系与设备坐标系， 它常被取 为三维或二维左手直角坐标系, 取值范围约定为(0.0, 0.0, 0.0)到(1.0, 1.0, 1.0)或者(0.0, 0.0)到(1.0, 1.0), 如图5.7所示。 用户的绘图数据经过转换成NDCS 中的值, 使得图形有了统一的设备空间。 这对图形的统 一处理, 带来很大的方便, 从而提高图形程序的可移植 性。
第 5 章 图形变换
5.1.2 坐标系 1. 世 界 坐 标 系 (WCS-World Coordinate
System) 世界坐标系一般是三维右手直角坐标系, 它
的单位根据所描述的实际对象的大小来确定, 通常使用 实数, 取值范围并无限制。 它是一般用户绘图时所取的 坐标系, 有时也称为用户坐标系或物体坐标系。 通常表 示为图5.4(a), 它也可以是二维的, 表示为图5.4(b)。
x1
Hx1 H
,
x2
Hx2 H
,,
xn
Hxn H
第 5 章 图形变换
现设点P(x,y)进行平移后移到P*(x*,y*), 其
中x方向的平移量为l, y方向的平移量为m。 那么, 点
P*(x*,y*)x的 坐x标 l为 5.2所示。 y y m
, 如图
第 5 章 图形变换 y
P(x*, y*)
第 5 章 图形变换
＋y
在早期的图形系统中, 图形程序(或软件包) 大多是在用户坐标系(WCS)中画图, 然后直接映射到设备 坐标空间(DCS)显示输出带来不方便。 为此, 在WCS和DCS之间定义了一个与设备无关的规格化 设备坐标系, 考虑到且坐标系与设备坐标系， 它常被取 为三维或二维左手直角坐标系, 取值范围约定为(0.0, 0.0, 0.0)到(1.0, 1.0, 1.0)或者(0.0, 0.0)到(1.0, 1.0), 如图5.7所示。 用户的绘图数据经过转换成NDCS 中的值, 使得图形有了统一的设备空间。 这对图形的统 一处理, 带来很大的方便, 从而提高图形程序的可移植 性。
第 5 章 图形变换
5.1.2 坐标系 1. 世 界 坐 标 系 (WCS-World Coordinate
System) 世界坐标系一般是三维右手直角坐标系, 它
的单位根据所描述的实际对象的大小来确定, 通常使用 实数, 取值范围并无限制。 它是一般用户绘图时所取的 坐标系, 有时也称为用户坐标系或物体坐标系。 通常表 示为图5.4(a), 它也可以是二维的, 表示为图5.4(b)。
x1
Hx1 H
,
x2
Hx2 H
,,
xn
Hxn H
第 5 章 图形变换
现设点P(x,y)进行平移后移到P*(x*,y*), 其
中x方向的平移量为l, y方向的平移量为m。 那么, 点
P*(x*,y*)x的 坐x标 l为 5.2所示。 y y m
, 如图
第 5 章 图形变换 y
P(x*, y*)
第 5 章 图形变换
＋y
第5章 图像变换技术 MATLAB 数字图像处理课件
5.6.2 Hough变换的MATLAB实现
hough函数用于实现Hough变换。其调用格式为： （1）[H, theta, rho]=hough(BW) （2）[H, theta, rho]=hough(BW, param1,
val1, param2, val2)
【例5-15】用hough函数检测图像中的直线。
【例5-18】利用radon函数和iradon函数构造一个 简单图像的投影并重建图像。
5.8 Fan-Beam变换
5.8.1 计算Fan-Beam投影
在使用fanbeam函数计算图像Fan-Beam投影时，需 要指定一些参数，如图像、Fan-Beam投影光束源 点距离和旋转中心（图像中心像素点）。
【例5-16】针对方形图像，从0°～180°每隔1° 计算一次Radon变换。
x'
70 -60
60 -40
50 -20
40 0
30 20
20 40
10 60
0
50
100
150
(degrees)
【例5-17】利用Radon函数实现边缘检测。
x
R (x) -100
-50 0
50 100
0 20 40 60 80 100 120 140 160 (degrees)
F(u,v)f(x,y)A(x,y;u,v) x0y0
逆变换:
N1N1
f(x,y)F(u,v)B(x,y;u,v) u0v0
5.3 傅里叶变换
傅里叶变换应用十分广泛，如图像特征提取、空 间频域滤波、图像恢复和纹理分析等。
5.3.1 一维连续傅里叶变换
复数的模和实部、虚部的关系、复数在实平面上 的向量角度与实部、虚部的关系:
第五讲 图像复原
这种方法要求知道成像系统的表达式H。
输出退化图像g
复原输出图像f
从理论上分析,由于无约束复原的处理方法仅涉及代数运算,因 此该方法简单易行.但由于该方法依赖于矩阵H的逆矩阵,因此 该方法有一定的局限性.若H矩阵奇异,则H-1不存在,这时就无 法通过 对图像进行复原.H矩阵不 存在时这种现象称为无约束复原方法的奇异性.
（2）光学散焦
J ( d ) 1 H (u , v )
d
(u 2 v 2 )1/ 2
d 是散焦点扩展函数的直径 ,J1(•) 是第一类
贝塞尔函数。
（3）照相机与景物相对运动
设T为快门时间，x0(t)，y0(t)是位移的x分量 和y分量
H (u, v) exp j 2 (ux0 (t ) vy0 (t )dt
3. 什么是图像复原？
所谓图像复原就是在研究图像退化原因的基 础上,以退化图像为依据,根据一定的先验知识设 计一种算法,补偿退化过程造成的失真, 以便获 得未经干扰退化的原始图像或原始图像的最优估 值，从而改善图像质量的一种方法。 图像复原是图像退化的逆过程。 典型的图像复原方法是根据图像退化的先验 知识建立一个退化模型，并以此模型为基础，采 用滤波等手段进行处理，使得复原后的图像符合 一定的准则，达到改善图像质量的目的。
根据上述模型，在不考虑噪声情况下，图像退化过 程可表示为：
g ( x, y) H f ( x, y)
考虑系统噪声的影响时，退化模型为：
g ( x, y) H f ( x, y) n( x, y)
为了刻画成像系统的特征，通常将成像系统看成是一个线 性系统，据此推导出物体输入和图像输出之间的数学表达式， 从而建立成像系统的退化模型，并在此基础上研究图像复原技 术。
python图像变换，根据仿射或单应性变换实现图像扭曲、映射、融合
python图像变换，根据仿射或单应性变换实现图像扭曲、映射、融合⼀、最⼩⼆乘法求解单应性变换矩阵1、单应性： 在计算机视觉中：对单应性最感兴趣的部分只是其他意义的⼀个⼦集。
平⾯的单应性被定义为从⼀个平⾯到另⼀个平⾯的投影映射。
⽐如，⼀个⼆维平⾯上的点映射到摄像机成像仪上的映射就是平⾯单应性的例⼦。
考虑图1中所⽰的平⾯的两个图像（书的顶部）。
红点表⽰两个图像中的相同物理点。
在计算机视觉术语中，我们称这些对应点。
图1.⽤四种不同的颜⾊（红⾊，绿⾊，黄⾊和橙⾊）显⽰了四个对应的点。
甲单应的是，在⼀个图像中的点映射到另⼀图像中的对应点的变换（3×3矩阵）。
图1：3D平⾯的两幅图像（本书顶部）通过同形图法进⾏关联 现在，由于单应性是⼀个3×3矩阵，我们可以将其写为 让我们考虑第⼀组对应点- 在第⼀张图⽚中在第⼆张图⽚中。
然后，同形异义词按照以下⽅式映射它们 使⽤单应影像进⾏图像对齐 对于所有对应点集，只要它们位于现实世界中的同⼀平⾯上，上述⽅程式就是正确的。
换句话说，您可以将单应性应⽤于第⼀个图像，第⼀个图像中的书将与第⼆个图像中的书对齐！ 图2：使⽤Homography可以将3D平⾯的⼀幅图像与同⼀平⾯的另⼀幅图像对齐2、算法代码：H_from_points(fp,tp)函数 直接使⽤cv2中的Homography函数：import cv2from matplotlib.pyplot import *if__name__ == '__main__':# Read source image.im_src = cv2.imread('IMG_03.jpg')# Four corners of the book in source imagepts_src = np.array([[141, 131], [480, 159], [493, 630], [64, 601]])# Read destination image.im_dst = cv2.imread('IMG_04.jpg')# Four corners of the book in destination image.pts_dst = np.array([[318, 256], [534, 372], [316, 670], [73, 473]])# Calculate Homographyh, status = cv2.findHomography(pts_src, pts_dst)# Warp source image to destination based on homographyim_out = cv2.warpPerspective(im_src, h, (im_dst.shape[1], im_dst.shape[0]))# Display imagesfigure()subplot(1, 3, 1)axis('off')title(u'Source Image')imshow(im_src)subplot(1, 3, 2)axis('off')title(u'Destination Image')imshow(im_dst)subplot(1, 3, 3)axis('off')title(u'Warped Source Image')imshow(im_out)show()3、运⾏结果⼆、最⼩⼆乘法求仿射变换矩阵1、仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map） 是指在⼏何中，⼀个向量空间进⾏⼀次线性变换并接上⼀个平移，变换为另⼀个向量空间。
数字图像处理 03图像变换(DCT&DWT变换)
3.3.1 一维离散余弦变换
正变换： f (x)为一维离散函数， x = 0，1，"，N −1
∑ F (0) =
1
N −1
f (x) ,
N x=0
u=0
∑ F (u) =
2 N
N −1 x=0
f
(
x)
cos
⎡ ⎢⎣
π
2N
(2x
+
1)u
⎤ ⎥⎦
,
u = 1,2,", N −1
反变换：
∑ f (x) =
+ 1)u
⎤ ⎥⎦
∑ +
2 N
N −1 v=1
F
(0,
v)
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2 y +1)v⎥⎦⎤
∑ ∑ +
2 N
N −1 u =1
N −1 v=1
F
(u,
v)
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2x
+ 1)u ⎥⎦⎤
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2 y
+ 1)v ⎥⎦⎤
6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.3离散余弦变换（DCT）
23
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.4 小波变换简介
S
滤波器组
低通
高通
A
D
图3-19 小波分解示意图
24
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.4 小波变换简介
在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信 号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号 的高频分量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而 高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样， 把高频 分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内 容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。
数字图像处理 03图像变换(沃尔什变换)
6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.2.2 Walsh函数
WW (0,t) = 1 WW (1, t ) = R (1, t ) WW (2, t ) = R (2, t ) ⋅ R (1, t ) WW (3, t) = R (2, t)
W W ( 0 , t ) +1
-1 W W (1, t ) +1
t 1
WaWlsWh(序7,的t ) W= Ral(s3h,函t ) 数的特点: R(数1(1)的,是t )是完+-11偶备函的数正,交序函号数为,奇序数号1的为t是偶
WW (4,t) WW (5, t)
t 1 1t
R奇( 2函, t )数+1;可用于正交变换。 t
-1
1
WW (6,t)
1t
R(2(3),一t ) 个+1周期内,过零点数与序号
WW (0, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t ) 0 = 1
5 101 111
WW (1, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t )1 = R (1, t )
6 110 101 7 111 100
WW ( 2, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t )1 ⋅ R (1, t )1 = R ( 2, t ) ⋅ R (1, t )
WW (0,t) =1 WW (1,t) = R(1,t) WW (2,t) = R(2,t)⋅ R(1,t) WW (3,t) = R(2,t) WW (4,t) = R(3,t)⋅ R(2,t) WW (5,t) = R(3,t)⋅ R(2,t)⋅ R(1,t) WW (6,t) = R(3,t)⋅ R(1,t) WW (7,t) = R(3,t)
第4章图像变换(Image Transform)
例4.1一个简单二维函数的中心谱。 图4.1（a）显示了在 512 512 像素尺寸的黑色 背 景 上 叠 加 一 个 20 40 像 素 尺 寸 的 白 色 矩 形 。
图4.1（a）
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier
Transform）
此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以 1x y ，从
d xd y
（4.8）
F
1
F (u, v)
f ( x, y )
F (u, v) e
j2 ux vy
dudv
（4.9） 式中 u、v是频率变量。与一维的情况一样， 二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:
4.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)
每1列求变换再乘以 N
e
x 0
N 1
j 2ux / N
y 0
N 1
f x, y e j 2vy / N
1 N 1 j2 vy / N F ( x, v) N f x, y e N y 0
v 0,1,, N 1
再对 F
数字图像处理
武汉理工大学 信息学院
第4章图像变换(Image Transform)
4.1 连续傅里叶变换 4.2 离散傅里叶变换 4.3 快速傅里叶变换 4.4 傅里叶变换的性质 4.5 图像傅里叶变换实例 4.6 其他离散变换
一、 图象变换的引入 1. 方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。 2. 目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声)， 加强/提取感兴趣的部分或特征]。 二、 方法分类 可分离、正交变换: 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-DHT, 2D-DWT 。
数字图像处理—基于Python 第5讲 空域图像增强-直方图处理
rk
nk p (rk) sk 量化sk
映射
0
790
0.19
0.19 1/7(0.14)
1/7
1023
0.25
0.44 3/7(0.428)
2/7
850
0.21
0.65 5/7(0.714)
3/7
656
0.16
0.81 6/7(0.857)
4/7
329
0.08
0.89 6/7(0.857)
5/7
245
11
3.3.1 直方图均衡化
直方图均衡化通常使用离散的累积分布函 数（CDF)做变换函数
令pr
(rj
)
nj n
0 rj L
k
sk T (rk ) pr (rj )
j0
s0 pr (r0 ) s1 pr (r0 ) pr (r1) s2 pr (r0 ) pr (r1) pr (r2 )
✓ 对数变换 ✓ 幂次变换 ✓ Gamma 校正
4
回顾
灰度变换是一种点处理，点处理的特点？ 线性灰度变换的斜率小于1时？大小1时？ 位平面切片技术有什么应用？如何用? 对数变换常用于什么地方？
5
图像增强技术的分类
方法
空间域
点运算
灰度变换 均衡化
直方图修正法 规定化
邻域运算 图像平滑 图像锐化
7
直方图分析
图像与其直方图的关系 高对比度图像的直方图分
布最均匀
8
3.3.1 直方图均衡化
直方图均衡化的目标：
已知：原图像的直方图Pr(r) ，目标是寻找一 个变换函数s=T(r)，让目标直方图趋向平
均。也就是Ps(s)=1/L
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傅立叶变换
B=fft2(I)：计算图像I的二维傅立叶变换
B=fftshift(I)：将变换后的图像频谱中心从矩阵的原 点移到矩阵的中心 Y=abs(X)：对复数求模
Y = log(X)：计算自然对数。以e为底数的对数。
B=ifft2(I)：计算图像I的二维傅立叶变换的反变换
第3章 图像变换 第32页
f ( x, y )
M 1 N 1 u 0 v 0
j2 ( ux / M vy / N ) F ( u , v ) e
x, u : 0,1,2,, M 1; y, v : 0,1,2,, N 1
频谱（幅度） (u, v ) arctan[I (u, v ) R(u, v )] 相位角 功率谱（能量谱）P(u, v) F (u, v) 2 R 2 (u, v) I 2 (u, v)
第34页
图像变换在图像滤波中的应用
Fourier变换的频率特性
第3章 图像变换
第35页
低通滤波
第3章 图像变换
第36页
高通滤波
第3章 图像变换
第37页
图像变换在图像压缩中的应用
压缩率为： 压缩率为： 10.77 8.1 16.1 ： ： ： 11 1
第3章 图像变换 第38页
第3章 图像变换
（1）对 f(x, y) 在空间尺度方面的放缩导致对其傅立叶变换 F(u, v)在频域尺度方面的相反放缩。
（2）对f(x, y)的收缩(对应a>1, b>1)不仅导致F(u, v)的膨胀
，还使F(u, v)的幅度减小。
第3章 图像变换
第29页
3.2.2 傅立叶变换性质
例3.7 ：傅立叶变换尺度变化性质示例
一维傅立叶变换及其逆变换
（1）连续函数 正变换：
j2ux F f ( x) F (u) f ( x)e dx
逆（反）变换：
f ( x) F (u)e
j2ux
du
第3章 图像变换
第14页
傅里叶变换
时间
x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号 f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信号中加入白噪声
辛克函数，记为Sinc(u)
第3章 图像变换 第18页
3.2.1 傅立叶变换定义
二维傅立叶变换及其逆变换
（1）连续函数 正变换：
F f ( x, y) F (u, v)
逆（反）变换：
f ( x, y)e j2 ux vy) dx dy
f ( x, y)
MatLab函数
傅立叶变换
例：傅立叶正反变换
>> I=imread('lena.tif');
>> J=fft2(I);
>> K=ifft2(J); >> subplot(2,2,1),imshow(I); >> subplot(2,2,2),imshow(log(abs(J)),[]); >> subplot(2,2,3),imshow(log(abs(fftshift(J))),[]); >> subplot(2,2,4),imshow(uint8(abs(K)));
对1个连续函数 f (x) 等间隔采样
1 2 3 4 5 6 7
第3章 图像变换
第16页
3.2.1 傅立叶变换定义
1-D反变换
F 1F (u ) f ( x) F (u )e j2ux / N
u 0 N 1
x 0,1,2,, N 1
变换表达 频谱（幅度） 相位角
F (u) R(u) jI (u) F (u) e-j (u )
3.1 背景
3.2 傅立（里）叶变换和频率域
3.3 离散余弦变换
第3章 图像变换
第 4页
第3章 图像变换
每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换 傅里叶变换 余弦变换 正弦变换
图像变换 哈达玛变换
沃尔什变换 K-L变换
小波变换
第3章 图像变换 第 5页
3.1 傅里叶变换
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 一维傅里叶变换 二维离散傅里叶变换 二维离散傅里叶变换的性质 快速傅里叶变换 傅里叶变换在图像处理中的应用
3.1 背景
3.2 傅立（里）叶变换和频率域
3.3 离散余弦变换
3.4 沃尔什变换
3.5 MatLab函数
第3章 图像变换
第 9页
3.1 背景
傅立叶变换提出
– 1822年出版“热分析理论”，1878年翻译成英文。提出傅 立叶级数 – 傅立叶级数：周期函数表示为不同频率的正弦和/或余弦和 – 傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和/或余弦乘以加权函 数的积分 – 逆变换可以重建原函数
（1）变化最慢的频率成分(u=0, v=0)对应一幅图像的平均灰度 （2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素 （3）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素
第3章 图像变换
第23页
3.2.2 傅立叶变换性质
变换对：
1、平移性质
f ( x, y) F (u, v),
f ( x c, y d ) F (u, v)e
3.2.2 傅立叶变换性质
例3.6： 傅立叶变换旋转性质示例
第3章 图像变换
第28页
3.2.2 傅立叶变换性质
3、尺度定理（相似定理：similarity theorem）
af ( x, y ) aF (u, v ) 1 u v f ( ax, by) F( , ) | ab | a b
第3章 图像变换
第 6页
Fourier简介
Fourier于1768年3月出生在法国，8岁时成了孤儿，被 收养在一个宗教界主办的军事学校。21岁时论述了有 关数值方程解的著名论作，轰动一时。 1798年，拿破仑侵略埃及，Fourier负责组织修建第一 条从格勒诺布尔到都灵的道路。 回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官 ，就是在此期间，Fourier完成了其经典之作《热能数 学原理》。在该著作中，他证明了任一周期函数都可 以表示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为 频率的整数倍。
例如：
交流电频率为50～60Hz（交流电压） 中波某电台1026kHz（无线电波）
第3章 图像变换
第 3页
第3章 图像变换
图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴， 图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。 图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量， 称为空间频率（Spatial Frequency）。
3.5 MatLab函数
第3章 图像变换
第12页
3.2 傅立叶变换和频率域
傅立叶变换FT（Fourier Transformation）
3.2.1 傅立叶变换定义 3.2.2 傅立叶变换性质
3.2.3 快速傅立叶变换*
3.2.4 傅立叶变换在图像处理中的应用
第3章 图像变换
第13页
3.2.1 傅立叶变换定义
第3章 图像变换 第20页
F ( u, v ) R ( u, v ) I ( u, v )
2
2
12
3.2.1 傅立叶变换定义
例3.3
第3章 图像变换
第21页
3.2.1 傅立叶变换定义
例3.4
第3章 图像变换
第22页
3.2.1 傅立叶变换定义间 – 基本性质(中心点平移后)
原始图像
频谱 （无平移）
频谱（平移） 逆变换图像
第3章 图像变换
第33页
3.2 傅立叶变换和频率域
傅立叶变换FT（Fourier Transformation ）
3.2.1 傅立叶变换定义
3.2.2 傅立叶变换性质
3.2.3 快速傅立叶变换*
3.2.4 傅立叶变换在图像处理中的应用
第3章 图像变换
应用
– 一维信号处理等（快速傅立叶变换FFT算法出现） – 二维及高维信号处理等
第3章 图像变换
第10页
3.1 背景
例3.1:函数分解
函数系数具有重要意义 分解和合并的过程可逆
第3章 图像变换
第11页
第3章 图像变换
3.1 背景 3.2 傅立（里）叶变换和频率域
3.3 离散余弦变换
3.4 沃尔什变换
2
f(t)
E
E j 2ux e j 2u
2 2
E ju e e ju j 2u
-/2
/2
t
E e ju e ju j 2u E sin u u sin u E u
旁瓣 主瓣
第3章 图像变换 第 7页
3.1 傅里叶变换
傅里叶变换
–利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进 行处理（例如低通、高通或带通），然后再反变换成时间信 号，即可完成对信号的滤波。
低通滤波：在频率域中抑制高频信号 高通滤波：在频率域中抑制低频信号
第3章 图像变换
第 8页
第3章 图像变换
第3章 图像变换 第15页
3.2.1 傅立叶变换定义
（2）离散函数：N个数据组成的序列 1-D正变换
1 N 1 F f ( x) F (u ) f ( x)e j2ux / N N x 0 u 0,1,2,, N 1
B=fft2(I)：计算图像I的二维傅立叶变换
B=fftshift(I)：将变换后的图像频谱中心从矩阵的原 点移到矩阵的中心 Y=abs(X)：对复数求模
Y = log(X)：计算自然对数。以e为底数的对数。
B=ifft2(I)：计算图像I的二维傅立叶变换的反变换
第3章 图像变换 第32页
f ( x, y )
M 1 N 1 u 0 v 0
j2 ( ux / M vy / N ) F ( u , v ) e
x, u : 0,1,2,, M 1; y, v : 0,1,2,, N 1
频谱（幅度） (u, v ) arctan[I (u, v ) R(u, v )] 相位角 功率谱（能量谱）P(u, v) F (u, v) 2 R 2 (u, v) I 2 (u, v)
第34页
图像变换在图像滤波中的应用
Fourier变换的频率特性
第3章 图像变换
第35页
低通滤波
第3章 图像变换
第36页
高通滤波
第3章 图像变换
第37页
图像变换在图像压缩中的应用
压缩率为： 压缩率为： 10.77 8.1 16.1 ： ： ： 11 1
第3章 图像变换 第38页
第3章 图像变换
（1）对 f(x, y) 在空间尺度方面的放缩导致对其傅立叶变换 F(u, v)在频域尺度方面的相反放缩。
（2）对f(x, y)的收缩(对应a>1, b>1)不仅导致F(u, v)的膨胀
，还使F(u, v)的幅度减小。
第3章 图像变换
第29页
3.2.2 傅立叶变换性质
例3.7 ：傅立叶变换尺度变化性质示例
一维傅立叶变换及其逆变换
（1）连续函数 正变换：
j2ux F f ( x) F (u) f ( x)e dx
逆（反）变换：
f ( x) F (u)e
j2ux
du
第3章 图像变换
第14页
傅里叶变换
时间
x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号 f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信号中加入白噪声
辛克函数，记为Sinc(u)
第3章 图像变换 第18页
3.2.1 傅立叶变换定义
二维傅立叶变换及其逆变换
（1）连续函数 正变换：
F f ( x, y) F (u, v)
逆（反）变换：
f ( x, y)e j2 ux vy) dx dy
f ( x, y)
MatLab函数
傅立叶变换
例：傅立叶正反变换
>> I=imread('lena.tif');
>> J=fft2(I);
>> K=ifft2(J); >> subplot(2,2,1),imshow(I); >> subplot(2,2,2),imshow(log(abs(J)),[]); >> subplot(2,2,3),imshow(log(abs(fftshift(J))),[]); >> subplot(2,2,4),imshow(uint8(abs(K)));
对1个连续函数 f (x) 等间隔采样
1 2 3 4 5 6 7
第3章 图像变换
第16页
3.2.1 傅立叶变换定义
1-D反变换
F 1F (u ) f ( x) F (u )e j2ux / N
u 0 N 1
x 0,1,2,, N 1
变换表达 频谱（幅度） 相位角
F (u) R(u) jI (u) F (u) e-j (u )
3.1 背景
3.2 傅立（里）叶变换和频率域
3.3 离散余弦变换
第3章 图像变换
第 4页
第3章 图像变换
每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换 傅里叶变换 余弦变换 正弦变换
图像变换 哈达玛变换
沃尔什变换 K-L变换
小波变换
第3章 图像变换 第 5页
3.1 傅里叶变换
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 一维傅里叶变换 二维离散傅里叶变换 二维离散傅里叶变换的性质 快速傅里叶变换 傅里叶变换在图像处理中的应用
3.1 背景
3.2 傅立（里）叶变换和频率域
3.3 离散余弦变换
3.4 沃尔什变换
3.5 MatLab函数
第3章 图像变换
第 9页
3.1 背景
傅立叶变换提出
– 1822年出版“热分析理论”，1878年翻译成英文。提出傅 立叶级数 – 傅立叶级数：周期函数表示为不同频率的正弦和/或余弦和 – 傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和/或余弦乘以加权函 数的积分 – 逆变换可以重建原函数
（1）变化最慢的频率成分(u=0, v=0)对应一幅图像的平均灰度 （2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素 （3）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素
第3章 图像变换
第23页
3.2.2 傅立叶变换性质
变换对：
1、平移性质
f ( x, y) F (u, v),
f ( x c, y d ) F (u, v)e
3.2.2 傅立叶变换性质
例3.6： 傅立叶变换旋转性质示例
第3章 图像变换
第28页
3.2.2 傅立叶变换性质
3、尺度定理（相似定理：similarity theorem）
af ( x, y ) aF (u, v ) 1 u v f ( ax, by) F( , ) | ab | a b
第3章 图像变换
第 6页
Fourier简介
Fourier于1768年3月出生在法国，8岁时成了孤儿，被 收养在一个宗教界主办的军事学校。21岁时论述了有 关数值方程解的著名论作，轰动一时。 1798年，拿破仑侵略埃及，Fourier负责组织修建第一 条从格勒诺布尔到都灵的道路。 回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官 ，就是在此期间，Fourier完成了其经典之作《热能数 学原理》。在该著作中，他证明了任一周期函数都可 以表示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为 频率的整数倍。
例如：
交流电频率为50～60Hz（交流电压） 中波某电台1026kHz（无线电波）
第3章 图像变换
第 3页
第3章 图像变换
图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴， 图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。 图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量， 称为空间频率（Spatial Frequency）。
3.5 MatLab函数
第3章 图像变换
第12页
3.2 傅立叶变换和频率域
傅立叶变换FT（Fourier Transformation）
3.2.1 傅立叶变换定义 3.2.2 傅立叶变换性质
3.2.3 快速傅立叶变换*
3.2.4 傅立叶变换在图像处理中的应用
第3章 图像变换
第13页
3.2.1 傅立叶变换定义
第3章 图像变换 第20页
F ( u, v ) R ( u, v ) I ( u, v )
2
2
12
3.2.1 傅立叶变换定义
例3.3
第3章 图像变换
第21页
3.2.1 傅立叶变换定义
例3.4
第3章 图像变换
第22页
3.2.1 傅立叶变换定义间 – 基本性质(中心点平移后)
原始图像
频谱 （无平移）
频谱（平移） 逆变换图像
第3章 图像变换
第33页
3.2 傅立叶变换和频率域
傅立叶变换FT（Fourier Transformation ）
3.2.1 傅立叶变换定义
3.2.2 傅立叶变换性质
3.2.3 快速傅立叶变换*
3.2.4 傅立叶变换在图像处理中的应用
第3章 图像变换
应用
– 一维信号处理等（快速傅立叶变换FFT算法出现） – 二维及高维信号处理等
第3章 图像变换
第10页
3.1 背景
例3.1:函数分解
函数系数具有重要意义 分解和合并的过程可逆
第3章 图像变换
第11页
第3章 图像变换
3.1 背景 3.2 傅立（里）叶变换和频率域
3.3 离散余弦变换
3.4 沃尔什变换
2
f(t)
E
E j 2ux e j 2u
2 2
E ju e e ju j 2u
-/2
/2
t
E e ju e ju j 2u E sin u u sin u E u
旁瓣 主瓣
第3章 图像变换 第 7页
3.1 傅里叶变换
傅里叶变换
–利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进 行处理（例如低通、高通或带通），然后再反变换成时间信 号，即可完成对信号的滤波。
低通滤波：在频率域中抑制高频信号 高通滤波：在频率域中抑制低频信号
第3章 图像变换
第 8页
第3章 图像变换
第3章 图像变换 第15页
3.2.1 傅立叶变换定义
（2）离散函数：N个数据组成的序列 1-D正变换
1 N 1 F f ( x) F (u ) f ( x)e j2ux / N N x 0 u 0,1,2,, N 1