一元一次方程(知识点完整版)

第三章：一元一次方程

本章板块 知识梳理

【知识点一：方程的定义】

方程：含有未知数的等式就叫做方程。

注意未知数的理解，n m x ,,等，都可以作为未知数。 题型：判断给出的代数式、等式是否为方程 方法：定义法

例1、判定下列式子中，哪些是方程？

（1）4=+y x （2）2>x （3）642=+（4）92

=x （5）2

11=x 【知识点二：一元一次方程的定义】

一元一次方程：①只含有一个未知数(元)；

②并且未知数的次数都是1(次)；

③这样的整式方程叫做一元一次方程。 题型一：判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程 方法：定义法

例2、判定下列哪些是一元一次方程？

0)(22=+-x x x ，

712

=+x π

，0=x ，1=+y x ，31

=+

x

x ，x x 3+，3=a 题型二：形如一元一次方程，求参数的值

方法：2

x 的系数为0；x 的次数等于1；x 的系数不能为0。 例3、如果()051=+-m

x

m 是关于x 的一元一次方程，求m 的值

例4、若方程()05122

=+--ax x a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值

【知识点三：等式的基本性质】

等式的性质1：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。即：若a=b ，则a ±c=b ±c

等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：若b a =，则bc ac =；若b a =，0≠c 且

c

b c a = 例5、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）

A 、如果a=b ，那么a-c=b-c

B 、如果a=b ，那么a+c=b+c

C 、如果a=b ，那么

c

b

c a = D 、如果a=b ，那么ac=bc 【知识点四：解方程】

方程的一般式是：()00≠=+a b ax 题型一：不含参数，求一元一次方程的解

例7、解方程

2

84=- 练习1、()()()35123452+--=-+-x x x x

练习2、

14.01.05.06.01.02.0=+--x x 练习3、x =+⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+221413223

题型二：解方程的题中，有相同的含x 的代数式

方法：利用整体思想解方程，将相同的代数式用另一个字母来表示，从而先将方程化简，并求值。再将得到的值与该代数式相等，求解原未知数。

例8、

()()046

1253122212=++++++x x x 思路点拨：因为含有x 的项均在“12+x ”中，所以我们可以将作为“12+x ”一个整体，先求出整体的值，进而再求x 的值。

题型三：方程含参数，分析方程解的情况

方法：分情况讨论，①0≠a 时，方程有唯一解a

b x =； ②0,

0==b a 时，方程有无穷解； ③0,

0≠=b a 时，方程无解。

例9、探讨关于x 的方程03=-++x b ax 解的情况 【知识点五：方程的解】

方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解。 题型一：问x 的值是否是方程的解

方法：将x 的值代入方程的左、右两边，看等式是否成立。

⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=)

0()0(0

)0(||a a a a a a 例10、检验5=x 和5-=x 是不是方程

23

1

2-=-x x 的解 题型二：给出的方程含参数，已知解，求参数

方法：将解代入原方程，从而得到关于参数的方程，解方程求参数 例11、若3-=x 是方程()524=--+x k x k 的解，求k 的值

题型三：方程中含参数，但在解方程过程中将式子中某一项看错了，从而得到错误的解，求参数的值

方法：将错误的解代入错误的方程中，等式仍然成立，从而得到关于参数的正确方程，解方程求参数

例12、小张在解关于x 的方程1523=-x a 时，误将x 2-看成x 2得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解。 题型四：给出的两个方程中，其中一个方程含参数，并且题目写出“方程有相同解”或者“这个方程的解同时也满足另一个方程”。要求参数的值或者含参数代数式的值

方法：求出其中一个不含参的方程的解，并将这个解代入到另一个方程中，从而得到关于参数的方程，解方程求参数即可

例13、若方程()x x 32123-=-和关于x 的方程1226-=-x k 有相同的解，求k 的值 题型五：解方程的题中，方程含绝对值

方法：根据绝对值的代数意义：分情况讨论。 例14、62=+x x

题型六：方程中含绝对值，探讨方程解的个数

方法：根据绝对值的代数意义去绝对值，再根据一元一次方程的步骤解方程。 例15、求423=-+x x 的解的个数

【知识点六：实际应用与一元一次方程】 列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系； （2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，有时也可间接设未知数；

（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程； （4）解方程

（5）检验，看方程的解是否符合题意； （6）作答。

题型一：和、差、倍、分问题

例15、小明暑期读了一本名著，这本名著一共有950页，已知他读了的是没读过的三倍，问小明还有多少页书没读？ 题型二：调配问题

例16、有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？ 题型三：行程问题（四种） 1.相遇问题

路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 快行距＋慢行距＝原距