高三数学第一轮复习《立体几何》专题资料

第十章 立体几何

第一单元 点、线、面之间的位置关系

【考纲要求】

1． 了解平面及其基本性质公理1~4，确定平面的四种方法（公理3、推论1~3）． 2． 理解直线与平面平行、垂直的判定及性质． 3． 理解两平面平行、垂直的判定及性质．

4． 会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系． 【知识回顾】

1．公理1的内容：_________________________________________________________； 2．公理2的内容：_________________________________________________________； 3．公理3的内容：_________________________________________________________；

推论1的内容：_________________________________________________________； 推论2的内容：_________________________________________________________； 推论3的内容：_________________________________________________________； 4．平行公理及等角定理；

5．空间两条直线的位置关系：___________________________； 6．异面直线的判定：__________________________； 7．直线和平面平行的位置关系：； 8．直线与平面平行的判定定理：； 9．直线与平面平行的性质定理：.； 10．直线与平面垂直的判定定理：； 11．直线与平面垂直的性质定理：； 12．平面与平面平行的判定定理：； 13．平面与平面平行的性质定理：； 14．两个平面互相垂直的定义； 15．平面与平面垂直的判定定理：； 16．平面与平面垂直的性质定理：；

17．“线线平行（垂直）”、“线面平行（垂直）”、“面面平行（垂直）”的相互转化． 【方法回顾】

例1．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．

（1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积．

解：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB

的中点，则

11111111////EF D B

D B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫

⎪

⊂⇒⎬⎪⊄⎭

平面平面平面 C

D

B

F

E D 1

C 1

B 1

A

A 1

（2）1111111,B C AB

B C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪

⎬⊂⎪⎪=⎭

平面⇒

111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭

平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥ （3）11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面且

CF BF ==

11

2

EF BD =

=

，1B F ==

=

13B E ===，∴22211EF B F B E +

=，即190EFB ∠=

11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=11132EF B F CF ⨯⋅⋅⋅

=11

132

⨯=

例2．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，

2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.

（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值. 解：方法一：

（1）证法一：取CE 的中点G ，连FG BG 、.

∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且1

2

GF DE =

. ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB . 又1

2AB DE =

，∴GF AB =. ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，

∴//AF 平面BCE .

证法二：取DE 的中点M ，连AM FM 、.

∵F 为CD 的中点，∴//FM CE .

∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//DE AB .

又1

2

AB DE ME ==，

∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE .

∵FM AM ⊄、平面BCE ，CE BE ⊂、平面BCE ， ∴//FM 平面BCE ，//AM 平面BCE .

又FM AM M =，∴平面//AFM 平面BCE . ∵AF ⊂平面AFM ，

∴//AF 平面BCE .

（2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥.

∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥. 又CD DE D =，故AF ⊥平面CDE . ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE . ∵BG ⊂平面BCE ，

A

B

C

D

E

F

A

B

C D

E

F M

H G