二倍角的三角函数

一、选择题

1．(文)若sin2θ＝14，则tan θ＋cos θ

sin θ的值是( )

A ．－8

B ．8

C ．±8

D ．2

[答案] B

[解析] tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θ

sin θ

＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝112sin2θ＝21

4＝8，故选B.

(理)已知sin α＝2

3，则cos(π－2α)＝( )

A ．－53

B ．－1

9

C.19

D.53 [答案] B

[解析] 本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用． 由诱导公式得cos(π－2α)＝－cos2α， ∴cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×49＝1

9，

∴cos(π－2α)＝－1

9

.

2．已知sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，则sin2α

cos 2α的值为( )

A ．－3

4

B ．－32

C.34

D.32

[答案] B

[解析] ∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2×3

5－45＝－3

2

. 3.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4

[答案] C [解析]

2＋2cos8＋2

1－sin8 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|， ∵π<4<5π

4

，∴cos4

∴原式＝－2cos4＋2(sin4－cos4)＝2sin4－4cos4.故选C. 4．(文)已知sin α＝5

5，则sin 4α－cos 4α的值为( )

A ．－35

B ．－15

C.15

D.35

[答案] A

[解析] sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1 ＝2×15－1＝－3

5

，故选A.

(理)设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ

4等于( )

A.1＋a 2

B.1－a

2

C ．－

1＋a

2

D ．－

1－a

2

[答案] D

[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ

4<0，

∵a ＝cos θ2＝1－2sin 2θ4，∴sin θ4

＝－

1－a

2

. 5．函数f (x )＝sin 2

x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π

2]上的最大值是( )

A ．1 B.1＋3

2

C.32 D ．1＋ 3

[答案] C

[解析] f (x )＝1－cos2x 2＋3

2sin2x ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π3，5π6，

f (x )max ＝1＋12＝3

2

，故选C.

6．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π

2

，则

2cos 2α

2

－sin α－1

2sin ⎝ ⎛⎭⎪

⎫π4＋α 的值为( )

A. 2 B ．－ 2 C ．－3＋2 2 D ．3－2 2

[答案] C

[解析] 2cos 2α

2

－sin α－12sin (π4＋α)＝cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan α

tan α＋1.

又tan2α＝－22＝2tan α

1－tan 2

α

∴22tan 2α－2tan α－22＝0.解得tan α＝－2

2

或 2. 又π4<α<π

2

，∴tan α＝ 2. 原式＝1－22＋1＝－3＋2 2.故选C.

二、填空题

7．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°

1＋tan 213°，c ＝

1－cos50°

2，则a 、b 、c 的大小关系为______(由小到大排列)．

[答案] a

[解析] a ＝sin24°，b ＝sin26°，c ＝sin25°， ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单增，∴a

2

<α<π，化简

12－12

12－1

2

cos2α＝______.

[答案] sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

α2－π4

[解析] 原式＝

12－1

2

|sin α| ＝12－1

2

sin α＝(sin α2－cos α2

)2

2

＝

22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α

2－cos α2＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α2－π4.

三、解答题

9．(2011·天津理，15)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π

4)，

(1)求f (x )的定义域与最小正周期；

(2)设α∈(0，π4)，若f (α

2)＝2cos2α，求α的大小．

[解析] (1)由2x ＋π4≠π

2＋kπ，k ∈Z ，得

x ≠π8＋kπ

2

，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪

x ≠π8＋kπ2，k ∈Z .

f (x )的最小正周期为π

2

.

(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，

整理得sin α＋cos α

cos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．

因为α∈⎝

⎛

⎭

⎪⎫0，π4，