网络分析与综合6-4 无源性和正实函数

即满足条件（2），性质得证。
正实函数的性质
2 正实函数之和仍为正实函数 3 正实函数的复合函数仍为正实函数 设F(s)和f(s)都是正实函数，则其复合函数F [ f(s)]也是 正实函数。 证明 当s为实数时，f(s)为实数，所以，F [ f(s)]也为实数，满 足条件（1）。
Re[ f (s)] 0，从而 Re[ F[ f (s)]] 0 ，满足条 当 Re[ s] 0 时， 件（2）。所以，复合函数 F[ f (s)] 是正实函数。
F ( s ) K1 s K K2 3 s j s j
s 3 2s 1 K 2 ( s j) F ( s) s j s j s j 2
F ( s) s2 2 K1 1 s s s 2 1 s
s 3 2s 1 K3 ( s j) F ( s) s j s j s j 2
§6-4 无源性和正实函数
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
由 R、L、C、M 等无源元件组成的网络，其驱动点函数是 有理正实函数，这是无源单口网络可以实现的充分必要条 件，是无源网络综合的基础。 如果函数F(s)满足: (1)当s为实数时，F(s)也为实数； (2)当Re[ s] 0 时， Re[ F (s)] 0 则就称其为正实函数，简记为P.r.。 如果F(s)又是有理函数，则称其为有理正实函数。
N1 ( 1)( 2 1) 2 Re[ Z1 ( s)] 2 D ( 2 1) 2 2 (2 1) 2
Z1 ( s) 是有理正实函数。
正实函数的性质
1 正实函数的倒数也是正实函数
证明 假定F(s)是正实函数，则它必满足条件(1)和(2)。因此 (1)当s为实数时，因为F(s)为实数，所以，其倒数也为实 数，即满足条件(1)。 (2)设 F (s) A(s) jB(s) ，则有
正实函数的检验
条件（c）:先看s 的右半平面是否有极点，这可以通过检查 有理函数的分母多项式是否是霍氏多项式来判断；其次看虚 轴极点是否单阶且有正留数，这可将有理函数展开成部分分 式后加以确定。
正实函数的检验
例5－5 检验 解
s 3 2s F ( s) 2 是否是正实函数。 s 1
条件(a)显然满足。 由于 N e (s) Do (s) 0，所以 P( 2 ) 0，从而 Re[ F ( j)] 0 ，因 此条件(b)也满足。 F(s)的分母显然是霍氏多项式，其根为 s j 。
三个极点的留数都是正实数，所以条件 (c) 满足。因此 F(s)是正实函数。
无源网络驱动点函数的正实性质
Z1 ( s) s 1 s2 s 1
1H 1F

Z1 ( s)
s j
1
Z1 ( s)
( j ) 1 ( 1) j ( j ) 2 ( j ) 1 ( 2 2 1) j (2 1)
1 1 A( s) Re Re A( s) jB( s) 2 2 F ( s ) A ( s ) B ( s)
0 Re[ F (s)] A(s) ，所以由上式可知， 0 因为当 Re[ s] 时有
1 Re 0 F ( s)
P( x) P( 2 ) an x n an1x n1 a1x a0 0 ( x 0)
如果 a 0、a n 为负，则一定不符合条件(b)，因此，不需再进 一步检验。而如果P(x)中的所有系数均为正，则P(x)必然 非负， F(x)符合条件(b)。 如果除 a 0 、a n 为正外，其他某些系数为负，则必须要求 P(x)在除原点外的正x 轴上不能有奇数个根才能保证对所 有 x 0都有 P( x) 0。偶数个根和复数根是允许的。
条件(b):先将分子、分母多项式的奇部和偶部分开，
F ( s) N ( s) N e ( s) N o ( s) D( s) De ( s) Do ( s)
来自百度文库
N e ( j ) De ( j ) N o ( j ) Do ( j ) P( 2 ) Re[ F ( j )] 2 2 [ De ( j )] [ Do ( j )] Q( 2 )
正实函数条件的等价条件
(a)当s为实数时，也F(s)为实数； (b) Re[ F ( j)] 0 ，即在虚轴上F(s)的实部大于等于零； (c) F(s)在s 的右半平面内解析，即:（i）极点不能在s 的 右半开平面，（ii）若虚轴上有极点，则这些极点应为单 阶且其留数为正实数。
正实函数的检验