9.3密码学中的数学原理之有限域和伽罗华定理
基于CycloneⅢ构成的RS编码系统
基于CycloneⅢ构成的RS编码系统苗鑫;邓攀;殷奎喜【摘要】本文采用Ahera公司的FPGA器件CycloneIII系列EP3CIO作为核心器件构成了R-S（255，223）编码系统；利用QuartusⅡ9．0作为硬件仿真平台，用硬件描述语言Verilog_HDL实现编程，并且通过JTAG接口与EP3C10连接。
R—S（Reed—Solomon）码是一类纠错能力很强的特殊的非二进制BCH码，能应对随机性和突发性错误，广泛应用于各种通信系统中和保密系统中。
R—S （255，223）x6能够检测32字节长度和纠错16字节长度的连续数据错误信息。
%This paper uses Altera company FPGA Cyclone III series EP3C10 devices as a core component of R-S （255223） coding system;Using Quartus II 9.0 as a hardware emulation platform, using hardware description language Verilog__HDL programming, and through the JTAG interface and EP3C10 conneetion.R-S （ Reed-Solomon ） code is a kind of special non binary BCH code which＇s error correction capability is very strong, can deal with random and burst error, widely used in all kinds of communication systems and security systems.R-S （255223） code is capable of detecting and correcting the length of 32 bytes 16 byte length of continuous data error information.【期刊名称】《电子设计工程》【年(卷),期】2012(020)004【总页数】4页(P189-192)【关键词】CycloneⅢ;QuartusⅡ9．0;Verilog_HDL;R—S（255;223）．码【作者】苗鑫;邓攀;殷奎喜【作者单位】南京师范大学物理科学与技术学院,江苏南京210046;南京师范大学物理科学与技术学院,江苏南京210046;南京师范大学物理科学与技术学院,江苏南京210046【正文语种】中文【中图分类】TN911.22R-S码是用其发明人的名字Reed和Solomon命名的。
抽象代数高等数学教材
抽象代数高等数学教材抽象代数，作为数学的一个重要分支，研究的是代数结构的抽象概念及其性质。
它是现代数学的基石之一，也是高等数学中的一门重要课程。
本教材旨在全面而系统地介绍抽象代数的基本概念、理论和方法，帮助读者建立起对抽象代数的深入理解和应用能力。
第一章：群论1.1 群的定义与性质1.2 群的子群与商群1.3 幺半群与半群1.4 群同态与同构1.5 群的作用与置换群第二章：环论2.1 环的定义与性质2.2 整环与域2.3 环的同态与同构2.4 素理想与极大理想2.5 多项式环与唯一因子分解整环第三章：域论3.1 域的定义与性质3.2 代数扩域与超越扩域3.3 有限域与伽罗华理论3.4 不可约多项式与域的扩张第四章：线性代数4.1 线性空间的定义与性质4.2 线性变换与矩阵4.3 特征值与特征向量4.4 正交矩阵与对角化4.5 线性空间的直和与内积空间第五章：模论5.1 模的定义与性质5.2 子模与商模5.3 生成元与基本定理5.4 非交换环上的模5.5 自由模与有限生成模第六章：域扩张与代数闭包6.1 域扩张的概念与性质6.2 代数元与超越元6.3 代数闭包与代数簇6.4 代数闭域与代数不变量6.5 有理函数与分式域的构造第七章：范畴论与同调代数7.1 范畴的基本概念与性质7.2 范畴的构造与自然变换7.3 函子与函子范畴7.4 外代数与同调代数基础7.5 奇异同调与同调算子第八章：群表示论8.1 群表示的基本概念与性质8.2 单群与群同态8.3 群表示与欣格尔引理8.4 卷积公式与算术引理8.5 特殊群的表示与表示的构造结语：本教材通过系统而严谨的讲解，涵盖了抽象代数的核心内容，旨在培养读者对抽象代数的兴趣和学习动力，提升读者对数学的抽象思维能力和证明能力。
在学习的过程中，读者还可结合习题和实例进行巩固和应用，从而更好地掌握抽象代数的理论与方法。
希望本教材能成为读者学习抽象代数的重要参考资料，为他们在数学领域的探索和研究奠定坚实基础。
椭圆曲线密码（PDF）
内容安全研究室朱潜报告的主要内容⏹群和域的相关概念⏹椭圆曲线的定义和运算法则⏹椭圆曲线离散对数问题⏹椭圆曲线密码体制⏹椭圆曲线密码的优势⏹曲线密码体制的应用为什么要在有限域上研究椭圆曲线密码？密码学常在有限域的基础上研究椭圆密码曲线，在有限域的椭圆m基础上。
基于有限域Fp，而不是使用实数域、曲线主要是基于Fp和F2是因为实数计算时会产生截段误差，无法满足密码算法的精确性，而m是由于可以在计算机处理时大大提且实数运算的速度很慢。
基于F2高处理速度。
群和域的相关概念定义1：任意给定一个非空集合F和其上的二元运算“*”，如果满足（1）封闭性：对任意a,b∈F,存在c ∈F,使得c=a*b ∈F;（2）结合律：对于任意a,b∈F,都有(a*b)*c=a*b*c;（3）单位元e存在：即存在e ∈F,对于任意a ∈F,都有a*e=e*a;（4）逆元存在：对于任意a ∈F,存在b ∈F,使得a*b=b*a=e;则称集合F关于二元运算“*”构成群，记为（F，*）。
在群（F，*）中，如果对于任意a ,b∈F,都有a*b=b*a,则称群（F，*）是交换群，也称为阿贝尔（Abel）群。
定义2：设“+”，“*”是G上的二元运算，如果满足：（1）（G，+）是一个交换群，其单位元记为0；（2）（G-{0}，*）是交换群，其单位元记为1；（3）运算“*”对“+”可分配，即对任意a ,b,c∈G,都有a*(b+c)=a*b+a*c(a+b)*c=a*c+b*c则称（G,+,*）是域。
群和域的相关概念定义3：有限域，如果域F中的元素个数有限，则称F为有限域或伽罗华域，其中F中的元素个数称为有限域F的阶，记为∣F ∣。
对有限域而言，其元素的个数必为一素数的方幂。
即存在一个q阶有限域F，当且仅当q是一个素数的幂，即q=p m,其中，p是一个素数，并称为域F的特征，m是一个正整数。
若m=1,则域F就称为素域。
定义4：设p是一个素数，以p为模，则模p的全体余数的集合{0，1，2，……，p-1}关于模p的加法和乘法构成一个p阶有限域，简称素域，并且用符号Fp表示。
关于科技界的小众人物事例
关于科技界的小众人物事例1. 弗朗索瓦·盖尔弗朗索瓦·盖尔（Évariste Galois，1811年 - 1832年）是一位法国数学家，被认为是现代抽象代数的奠基人之一。
他在短暂的生命中创造了重要的数学理论，被誉为“天才中的天才”。
盖尔在数学方面的早期成就令人瞩目。
16岁时，他发现了可解方程的判别法，并在同一年中创立了一个新的分支——有限域的理论。
这一理论后来成为了现代代数学的基石之一；然而，在盖尔的时代，他的成就并未得到广泛承认。
盖尔热衷于政治，他积极参与当时正在进行的巴黎政治运动，但最终却因为政治斗争而被监禁。
在狱中，他专注于数学研究，并在几个星期内发表了数篇重要的论文。
虽然盖尔的贡献在当时并未引起广泛关注，但他的工作最终影响到了整个数学界。
他的研究对群论、域论和伽罗华理论的发展产生了巨大影响，并为后来其他数学家的突破提供了重要的理论基础。
尽管只活到21岁，盖尔留下了一部分未完成的工作，被许多数学家称为“盖尔理论”。
这一理论在后来的数学发展中得到了认可，并被广泛应用于密码学、编码理论和计算机科学等领域。
2. 古斯塔夫·洛巴奇夫斯基古斯塔夫·洛巴奇夫斯基（Gustav Ludwig Kirchhoff，1824年 - 1887年）是一位德国物理学家，被誉为“电磁学之父”。
洛巴奇夫斯基的主要研究领域是电动力学和热力学。
他与罗伯特·布劳恩一起提出了著名的“洛巴奇夫斯基定律”，该定律描述了电路中电流和电压的关系。
这一定律对于电子工程和电路设计产生了重要影响，被广泛地应用于工程实践中。
此外，洛巴奇夫斯基还对热辐射现象进行了深入研究，并发现了黑体辐射的基本原理。
他的研究成果为后来的量子力学和热力学研究奠定了基础。
洛巴奇夫斯基的工作在当时并未受到足够的重视，但在他逝世后不久，他的贡献被广泛赞誉。
他被誉为19世纪最伟大的物理学家之一，他的理论成果对于现代科学的发展产生了深远影响。
二进制比特流的伽罗华域乘法
二进制比特流的伽罗华域乘法简介在计算机科学和通信领域，二进制比特流的伽罗华域乘法是一种常见的运算方式，它在数据处理和编码中起着重要的作用。
本文将介绍伽罗华域乘法的基本概念和应用，以及如何进行二进制比特流的伽罗华域乘法运算。
伽罗华域的基本概念伽罗华域是数学中的一个概念，它是一种特殊的有限域。
在计算机科学中，常用的伽罗华域是二进制有限域，也称为伽罗华域G F(2^k)，其中k是一个正整数。
二进制有限域中的元素可以表示为二进制比特流，每个比特位表示一个系数。
例如，在GF(2^3)中，可以表示的元素有{000,001,010,011,100,101,110,111}，其中每个元素都是一个三位的二进制比特流。
伽罗华域乘法的定义伽罗华域乘法是指在伽罗华域中进行的乘法运算。
在G F(2^k)中，乘法运算可以通过多项式乘法的方式进行。
例如，在GF(2^3)中，我们有两个元素a和b，它们分别表示为a=101和b=110。
要计算它们的乘积a*b，在伽罗华域中，我们可以将它们看作是多项式的系数，即a=1*x^2+0*x^1+1*x^0，b=1*x^2+1*x^1+0*x^0。
然后，我们将这两个多项式相乘，并对结果进行模2运算，得到a*b的结果。
伽罗华域乘法的应用伽罗华域乘法在编码和解码中有广泛的应用。
其中一个重要的应用是在纠错编码中的使用。
纠错编码是一种通过在数据中添加冗余信息来检测和纠正错误的编码方法。
伽罗华域乘法可以用来设计纠错编码中的编码器和译码器。
在编码中，我们将待发送的数据看作是一个多项式，通过将其乘以一个特定的生成多项式，在数据中添加冗余信息。
在译码中，我们使用伽罗华域乘法来检测和纠正接收到的数据中的错误。
伽罗华域乘法的性质伽罗华域乘法具有以下几个重要的性质：1.乘法交换律：对于任意的a和b，有a*b=b*a。
2.乘法结合律：对于任意的a、b和c，有(a*b)*c=a*(b*c)。
3.加法和乘法的分配律：对于任意的a、b和c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c)。
AES算法加解密原理及安全性分析(DOC)
AES算法加解密原理及安全性分析刘帅卿一、AES算法简介AES算法是高级加密标准算法的简称，其英文名称为Advanced Encryption Standard。
该加密标准的出现是因为随着对称密码的发展,以前使用的DES（Data Encryption Standard数据加密标准）算法由于密钥长度较小(56位),已经不适应当今数据加密安全性的要求，因此后来由Joan Daeman和Vincent Rijmen提交的Rijndael算法被提议为AES的最终算法。
AES是一个迭代的、对称密钥分组的密码，它可以使用128、192和256位密钥，并且用128位(16字节)分组加密和解密数据。
与公共密钥密码使用密钥对不同，对称密钥密码使用相同的密钥加密和解密数据。
通过分组密码返回的加密数据的位数与输入数据相同。
迭代加密使用一个循环结构，在该循环中重复置换(permutations)和替换(substitutions)输入数据。
加之算法本身复杂的加密过程使得该算法成为数据加密领域的主流。
二、AES算法的基本概念1、有限域（GF）由于AES算法中的所有运算都是在有限域当中进行的，所以在理解和实现该算法之前先得打好有限域这一基石才行。
通常的数学运算都是在实数域中进行，而AES算法则是在有限域中进行，我们可以将有限域看成是有确定边界范围的正整数集合，在该集合当中，任意两个元素之间的运算结果都仍然落在该集合当中，也即满足运算封闭性。
那么如何才能保证这样的“有限性”（也即封闭性）呢？GF（2w）被称之为伽罗华域，是有限域的典型代表。
随着w（=4,8,16,…）的取值不同所形成的有限域范围也不同。
AES算法中引入了GF域当中对数学运算的基本定义：将两数的加减法定义为两者的异或运算；将两数的乘法定义为多项式间的相乘并求余运算，其中被用于求余运算的除数被称为不可约多项式（或者称为求余多项式），它是固定的一个多项式：m(x) =8431x x x x ++++（数值为十六进制的11B ，这里是假定w=8时的情形）。
第七章 信道编码
5.3.2 码距与纠、检错能力
1.
关于随机编码的论述中
当传输无误时，接收到的N重矢量一定是码字，在矢量空间中一定对 应到该子集相应的点上。 当出现差错时，接收的N重矢量有两种可能： a. b. 不再对应到该子集，而是对应到与子集点相邻的另一个空间点上； 仍然对应到该子集，却对应到该子集的另一点上。
增大E(R)的途径
可采取以下措施减小差错概率。
(1) 增大信道容量C ① 扩展带宽。 ② 加大功率。 ③ 降低噪声。
5.3.1 差错控制的途径
①
(2) 减小码率R
q，N不变而减小K，这意味着降低信息源速率，每秒少传一些信息。 q，K不变而增大N，这意味着提高符号速率（波特率），占用更大带宽。 N，K不变而减小q，这意味着减小信道的输入、输出符号集，在发送功率固 定时提高信号间的区分度，从而提高可靠性。
有限域:通常称为伽罗华域,由有限个元素构成的域,用 GF(q)来表示.
ab 1
5.4.1 线性分组码基本概念
例如GF(5)是由元素｛0,1,2,3,4｝构成的5元域，该域中 的加法和乘法运算举例如下：
3 4 2(mod5),3 2 0(mod5),3 4 2(mod5),3 2 1(mod5)
5.3.1 差错控制的途径
噪声均化的方法 ① 增加码长N 码长越大，具体每个码字中误码元的比例就越接近统计平均值,换言 之，噪声按平均数被均摊到各码字上. ② 卷积 卷积码在一定约束长度内的若干码字之间也加进了相关性，译码时 不是根据单个码字、而是一串码字来作判决。 ③ 交错（或称交织）
带交错器的传输系统 信道噪声造成的符号流中的突发差错，有可能被均化而转换为码流上随 机的、可纠正的差错。
gf2运算规则
gf2运算规则【原创版】目录1.GF2 运算规则的概述2.GF2 运算规则的定义和性质3.GF2 运算规则的运算方法4.GF2 运算规则的应用领域正文【1.GF2 运算规则的概述】GF2 运算规则，全称为 Galois Field 2 运算规则，是一种基于伽罗华理论的数学运算规则。
GF2 运算规则是在有限域上的一种运算方式，其有限域的元素个数为 2，即只有两个元素：0 和 1。
这种规则在密码学、编码理论等领域具有广泛的应用。
【2.GF2 运算规则的定义和性质】GF2 运算规则的定义是基于伽罗华理论的，其基本运算包括加法、乘法和乘法逆元。
GF2 运算规则的性质包括：1）封闭性，即 GF2 域中的加法、乘法运算结果仍属于 GF2 域；2）结合律，即对于 GF2 域中的任意元素 a、b、c，有 (a+b)+c=a+(b+c)；3）交换律，即对于 GF2 域中的任意元素 a、b，有 a*b=b*a；4）分配律，即对于 GF2 域中的任意元素 a、b、c，有 a*(b+c)=a*b+a*c。
【3.GF2 运算规则的运算方法】GF2 运算规则的运算方法主要包括加法、乘法和乘法逆元。
其中，加法运算直接将两个元素相加即可；乘法运算是将两个元素通过异或（XOR）操作得到结果；乘法逆元运算是在 GF2 域中寻找一个元素，使得该元素与另一个元素相乘的结果为 1。
GF2 运算规则的运算方法在硬件实现上具有较高的效率。
【4.GF2 运算规则的应用领域】GF2 运算规则在多个领域具有广泛的应用。
在密码学领域，GF2 运算规则被用于基于格的密码体制（如 NTRU 加密算法）中，这种密码体制具有较高的安全性和效率；在编码理论领域，GF2 运算规则被用于低密度奇偶校验码（LDPC 码）的编码和解码，这种编码方式具有较高的纠错性能。
ECC-BCH算法研究
12概述BCH(Bose一Chaudhuri一Hocquenghem)码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem),1960年由博斯(Bose)和雷·查德胡里(Ray Chaudhuri)提出的纠正多个随机错误的循环码，可以用生成多项式g(x)的根来描述。
它是具有严格的代数结构，纠错能力强、构造简单、编码较其它码容易等特点的线性分组码。
定义：给定任一有限域GF(q)及其扩域GF（q m），其中q是素数或素数的幂，m为某一正整数。
若码元取自GF(q)上的一循环码，它的生成多项式g(x)的根集合R中含有以下δ-1个连续根：{αM0，αM0+1，…，αM0+δ-2}时，则由g(x)生成的循环码称为q进制BCH码。
在实际应用中用得最多的是码元取自有限域GF(2)中的二进制BCH码，对于一个正整数m0则有:取m0=1, δ=2t十1，设α是伽罗华域GF(2m)的本原域元素，则码以α，α2，…，α2t为根生成多项式:g(x)= LCM(m1(x) m2(x)…m2t(x)),式中m i(x)是αi(1≤i≤2t)相应的最小多项式，t为纠正错误个数。
由于在特征为2的G(2m)域上，α2i的最小多项式与αi的相同，所以生成多项式简化为: g(x)= m1(x) m3(x)…m2t-1(x).相应地，二进制BCH码以α,α3,α5,…, α2t-1为根，码长n=LCM(φ1，φ3，…,φ1t-1)，码的校验矩阵就为其中φ1，φ3，…,φ2t-1分别是α,α3,α5,…, α2t-1对应元素的级，所以二进制BCH码的码长是n≤2m-1，当n=2m-1时，称为本原长码，当n＜2m-1时则称为缩短码(shortenedc ode)。
校验位数目至多为ð0g(x)=mt个，设计最短距离d min=2t十1，可纠正≤t个随机错误。
3编码设输入信息多项式I(x)=I0+I1x+…+I k-1x k-1，校验多项式P(x)=P0+P1x+P2x2+P n-k-1x n-k-1,则x2t I(x)对生成多项式g(x)求模得到的余式就是校验多项式P(x)，即P(x)= x2t I(x)(modg(x))，那么生成码子的多项式为C(x)= x2t I(x)+ P(x)。
01 集合与映射
一般的，任取一个正整数 m ，都能将 Z 分解成 m 个两两不相交的非空子集的并， ，使得每个子集恰好是由除以 m 余数相同 的整数组成的。特别地，取 m 2, Z 则被 分解成偶数子集和奇数子集的并。
设 M 2 ( R)
(a ) a
ij
ij
R; i , j 1, 2
是 R 上一切二阶矩阵组成的集合，令 A0 (aij ) 秩(aij ) 0 A1 (aij ) 秩(aij ) 1
例 A集合表示三个学生，B集合表示两门课,三个学 生 的某种选课法的集合表示可以： A {a, b, c}, B {1 2} ，
用A B的子集表示R {(a,1), (b,1), (b, 2)}
属于子集R表明：第一个分量与第二个分量有关系 不属于R表明：第一个分量与第二个分量无关系
二元关系
有序对集合中元素的个数
二元关系
定义 设A，B是两个集合， A B的子集R称为A，B 间的一个二元关系．当(a，b)∈R时，称a与b具有关 系R，记作aRb；当(a，b) R时，称a与b不具有关 系Ｒ，记作aＲ’b．
二元关系
例 A集合表示三个学生，B集合表示两门课。三个 A 学生选课的所有选法的数学表示可以： B
通过以上2个例子，可概括集合分类的定义.
设 A 为任一个集合，而 是 A 的一些 子集组成的集合， {Ai A i I }
定义
其中 I 是指标集，如果 iI （1） Ai （2） Ai A j i, j I且i j
历史上（困扰人们很久）的著名问题：
⑴二倍立方体问题：作一个立方体使其体积 为一已知立方体体积的两倍。 ⑵三等分任意角问题：给定一个任意角，将 其三等分。 ⑶圆化方问题：给定一个圆（已知半径为 r ），作一个正方形使其面积等于已知圆的面 积。 ⑷n等分一个圆周。 这些问题直到近世代数理论出现后才得到完 全的解决。
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3.有限域的结构和伽罗华定理
子域的乘法群是扩域的乘法群的子群 由此得到有限域的子域结构
3.有限域的结构和伽罗华定理
3.有限域的结构和伽罗华定理
重点回顾
有限域的三大基本定理 有限域的构造，多项式和根的表示法 有限域的加法结构和乘法结构 有限域上的伽罗华定理
密码学原理
密码学中的数学原理之 有限域和伽罗华定理
1 有限域基本定理
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2 有限域的构造和表示
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3 有限域的结构和伽罗华定理
1.有限域基本定理
2.有限域的构造和表示
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2.有限域的构造和表示
2.有限域的构造和表示
2.有限域的构造和表示
3.有限域的结构和伽罗华定理
3.有限域的结构和伽罗华定理