2018福建省高中数学竞赛预赛试题

2018年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛

暨2018年福建省高中数学竞赛试卷

（考试时间：2018年5月20日上午9：00—11:30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上） 1.将正偶数集合2,4,6，从小到大按第n 组有32n 个数进行分组：

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24，，则2018位于第 组.

2.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2,3,2a b C A ，则cos C .

3.设复数z 满足2z i

，则 z z 的最大值为 .（i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数）

4.已知定义在R 上的奇函数f x 的图像关于直线2x 对称，当02x <≤时，1f x x ，则

100101

f f .

5.从如图所示的由9个单位小方格组成的33⨯方格表的16个顶点中任取三个顶点， 则这三个点构成直角三角形的概率为 .

6.如图，在三棱锥P

ABC 中，,PAC ABC ∆∆都是边长为6的

等边三角形，若二面角P AC B 的大小为0120，

则三棱锥P

ABC 外接球的面积为 .

7.已知12,F F 分别为双曲线2

2

:

1412

x y C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，,G I 分别为12F PF ∆的重心、内心，若//GI x 轴，则12F PF ∆的外接圆半径R

.

8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目：（见图）， 这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理. （本题不作为本次考试的试题，本次试题如下） 设,2,3,4,5,6,7,8a b

，则

1010a b

b a a b

的最大值为 .

9.已知整数系数多项式543212345f x x a x a x a x a x a ，

若20f

，130

f f 则1

f

.

10.已知函数f x 满足：对任意实数,x y ，都有6f x y f x f y xy 成立，且

()()119f f ⋅−≥，则23f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

.

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程） 11.已知数列n a 的前n 项和n S 满足2,*n n S na n n N −=∈，且23a .

（1）求数列n a 的通项公式； （2）设111

n n n n

b a a a a ，n T 为数列n b 的前n 项和，求使9

20

n

T 成立的最小正整数n 的值.

12.已知12,F F 分别为椭圆2

22

2

:10x y C a b a

b 的左、

右焦点，点26,13P ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

在椭圆C 上，且12F PF ∆的垂心为265,33P ⎛⎫

−

⎪ ⎪⎝⎭

. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于,D E 两点，记直线,AD AE 的斜率分别为12,k k ，

若12

1

2

k k ，求直线l 的方程.

13.如图，在锐角ABC ∆中，,D E 是边BC 上的点，,,ABC ABD ADC ∆∆∆的外心分别为,,O P Q . 证明：（1）APQ ∆∽ABC ∆； （2）若EO PQ ⊥，则QO PE ⊥.

14.已知()x

f x e mx =−.

（1）若0x >时，不等式()()2

220x f x mx −++>恒成立，求实数m 的取值范围；

（2）若12,x x 是函数()f x 的两个零点，求证：122x x +>.

15.设M 是由有限个正整数构成的集合，且1

22012

20M A A A B B B ==，这里,,1,2,

20i i A B i φφ≠≠=，并对任意的120i j ≤<≤，都有i j A A φ=，i

j B B φ=.

已知对任意的120,120i j ≤≤≤≤，若i j A B φ=，则18i

j A B ≥，求集合M 的元素个数的最小值.

（这里，X 表示集合X 的元素个数）