几何光学中的矩阵分析方法

几何光学中的矩阵分析方法

俞宽新 王鹏 陈雪 何士雅 胡曙阳

（北京工业大学应用数理学院，北京100022）

摘要：本文介绍了一种光线变换矩阵，给出直线传播、球界面折射、薄透镜折射的光线变换矩阵。并使用这些矩阵讨论了几何光学中的一些问题，包括薄透镜焦距计算公式、薄透镜成像公式等。 关键词：光线变换矩阵，几何光学，透镜焦距，透镜成像

在几何光学中，许多规律如薄透镜焦距计算公式、薄透镜成像公式等都是利用几何方法得到的，本文介绍的光学变换矩阵法，是利用矩阵代数来分析推导这些结论，该方法简单明了，可以用于更复杂的光学系统。

1. 光线变换矩阵

一条近轴光线在通过某一个光线系统时，总会发生变化，我们用光线在平面上的坐标来描述这种变化。如图1所示为一条光线向右上方传播，定义r 为光线的位置坐标，大小等于光线与平面CD 的交点P 到系统轴线AB 的距离，当交点在轴线上方时取正，

反之取负。定义θ为光线的方向坐标，大小等于光线传播方向与

系统轴线方向所夹的锐角，当光线向上传播时取正、反之取负。

如图1中的r 与θ就都是正的。将两个坐标放在一起，定义一个

2×1阶矩阵为坐标矩阵：

图1 光线的坐标矩阵

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=θr X （1）

若光线在光学系统的输入平面与输出平面上的坐标矩阵分别为X 1和X 2，则满足X 2=TX 1关系的矩阵T 称为光线变换矩阵，是一个2×2阶的矩阵。下面我们来讨论几种基本光线变换矩阵。

1.1 直线传播

图2 直线传播的光线变换矩阵 设任意传播方向的一条近轴光线在系统的轴线方向上传

播了L 距离，如图2所示。显然在输入、输出两个面上的方向

坐标没有发生变化，即θ2=θ1；但位置坐标发生了变化，有

r 2=r 1+L θ1，故可以写出光线变换矩阵为

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛=101L T （2） 1.2 球界面折射

图3 球面折射的光线变换矩阵

假设两种不同介质的界面为球面，光线从介质1入射到

界面上，发生折射后进入介质2，如图3所示。介质1、2

的折射率分别为n 1、n 2，球界面的曲率半径为R 。我们称曲

率中心在入射区的球界面为凹面、曲率中心在折射区的曲界

面为凸面，图3所示为凹面。O 点为界面的曲率中心，A 为

入射点，C 为界面中点，i 1、i 2分别为入射角和折射角，α为

AC 弧所对圆心角。这时的输入面与输出面重合，故入射光

线与折射光线的位置坐标一样，即r 2=r 1。入射光线与折射光

线的方向坐标分别为θ1和θ2，按照图示的方向，它们的符号

都是正的。从图中不难得到α与上述角的关系有：

2211θθα+=+=i i （3） 在近轴光线的条件下，α角所对的圆弧近似等于r 1，因此它又可以表示为：

R

r 1=α （4） 由折射定律有n 1sini 1=n 2sini 2，而近轴光线条件下，i 1、i 2都很小，故折射定律可写成：

2211i n i n = （5） 根据上述角度关系（3）-（5）式，不难证明，折射光线的方向坐标为：

12

112122θθn n r R n n n +−= （6） 从而得到光线变换矩阵为

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=2121201

n n R n n n T （7） 由于以上是以凹面为例证明的，因此规定凹面曲率半径为正、凸面曲率半径为负。如果两介质的界面为平面，则R=∞，光线变换矩阵简化为

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛=21001

n n T （8） 1.3薄透镜折射

以薄凸透镜为例，由几何光学知，任意一条光线经过凸透镜聚焦后，在焦平面处所交的点为平行于此光线的副光轴与焦平面的交点。这一规则如图4所示，F 为透镜焦点，f 为焦距。A 点为入射光线在透镜上的入射点，B 点为折射光线与焦平面的交点。由于输

入面与输出面重合，入射光线与折射光线的位置坐标一样，即

r 2=r 1。

入射光线与折射光线的方向坐标分别为θ1和θ2，前者为正、后者为负。两个角度大小之和等于r 1/f 。因此折射光线的方向坐

标θ2可以表示为

图4 薄透镜折射的光线变换矩阵 112θθ+−=f r （9） 从而得到光线变换矩阵为

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=1101

f T （10）

图5 薄双凸透镜

由于以上是以凸透镜为例证明的，因此规定凸透镜焦距为正、凹透镜

焦距为负。

2. 薄透镜焦距公式

我们用上述光线变换矩阵来证明薄透镜的焦距计算公式。图5为

薄双凸透镜的结构，包括两个曲界面，左界面为凸面、右界面为凹面，

两个界面的曲面半径分别为R 1和R 2，透镜材料的折射率为n 。利用两

次球界面折射的光线变换矩阵（7）式，其中第一次左界面使用变换矩阵时，令n 1=1、n 2=n 。故光线变换矩阵为

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=n nR n T 1101

11 （11） 第二次右界面使用变换矩阵时，令n 1= n 、n 2=1。故光线变换矩阵为

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=n R n T 22101

（12） 对于薄透镜，可以不考虑光线在透镜内的传播，整个透镜的光线变换矩阵为

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−+−==111011212R n R n T T T （13） 将此式与薄透镜折射的变换矩阵（10）式比较，令两个矩阵的第二行第一列元素相等，便可得到薄透镜的焦距计算公式为：

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=12

11)1(1R R n f （14） 对于双凸透镜，R 1<0、R 2>0，故有f>0，对于双凹透镜，左界面为凹面，R 1>0、右界面为凸面，R 2<0，故有f<0。此式也可以用于平凸、平凹、凸凹、凹凸等透镜。

3．薄透镜成像公式

我们用光线变换矩阵来证明薄透镜的成像计算公式。图

6所示为焦距是f 的薄凸透镜成像过程，其中，AA ′为物体、

BB ′为像，物体和像都垂直于系统主轴，A ′、B ′点在主轴上。由物点A 发出的所有光线，经透镜折射后都交于像点B ，图中只画出任意两条。O 点为透镜中点，A ′O 是物距u ，B ′O 是像距v 。物面AA ′为系统输入面、像面BB ′为系统输出面。整

个系统是由3部分组成，总光线变换矩阵T 等于三个光线变

换矩阵的乘积T 3T 2T 1，其中T 1为直线传播距离u 、T 2为焦距

是f 的凸透镜折射、T 3为直线传播距离v ，由（2）

、（10）式可以算出总光线变换矩阵为：

⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−+−=f u f f uv v u f v T 111 （15） 则输出面的光线位置坐标应为：

1121θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=f uv v u r f v r （16） 从图中可以看出，输入面上的光线位置坐标r 1即物体AA ′的长度，输出面上的光线位置坐标r 2即像BB ′的长度。式中的θ1为物点A 发出的任意一条光线的方向坐标，r 2的大小应该与θ1无关，故令θ1的系数