全等之倍长中线与截长补短法

学 习 加 油 站 专 用 教 案

全等三角形能力提高

倍长中线

△ABC 中

延长AD 到E ，

AD 是BC 边中线

使DE=AD ，

连接BE

作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，

作BE ⊥AD 使DN=MD ，

连接BE 连接CD

例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交

AC 于F ，求证：AF=EF

提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形

例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，

且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平

分BAC ∠

提示：

方法1：倍长AE 至G ，连结DG

方法2：倍长FE 至H ，连结CH

B 第 1 题图 A B F D E C

提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）

进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）

练习

1、如图，在ABC 中，AB AC ，E 为BC 边的中点，AD 为BAC ∠的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ，求证：BF CG =

2、已知如图，ABC 中D 为BC 中点，E 为AC 上一点，AC 与BE 交于点F ，且EA EF =,求证：BF AC =

3、如图，CB ，CD 分别是钝角AEC 和锐角ABC 的中线，且AC=AB,求证：CE=2CD

截长补短

例1. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .

求证：∠BAP +∠BCP =180°.

B

A B C

D P 12N

图3-1

例2. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.

求证：AB =AC +CD . 证明：方法一（补短法）

方法二（截长法）

1、如图，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，判断AB 的长与AD ＋BC 的大小关系并证明

.

2、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

3、如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分

线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.

D

C

B

A 12

图4-1

E

D

C

B A 12

图4-2

F

D

C B A 12

图4-3

D C B

A D O E

C

B A

4、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作

60

DMN

∠=︒，射线MN与DBA

∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

5、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

N

E

B

M

A

D