Del算符及其运算公式
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➢ 再利用算符的矢量性质，将其视为普通的常矢量，有：C C C
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边
4
f
➢ 先利用 算符的微分性质，函数乘积的微分可分为两项： 1. 对 微分作用， fv视为常量，记为 2. 对 fv微分作用， 视为常量，记为 v
f
f f f f
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边，即有
f
f g g f f
gf
f
g f g f g g f g g
f g g f g f f g f g
wk.baidu.com
f f f f 2 f
7
gv
gv
v
v f
f
v f
gv gv
gv
v f
v
f
gv
f g f f gg f g
➢ 再利用算符的矢量性质，将其视为普通的常矢量，有：
C f g Cg f C f g
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边，即有
f f g f g f f f g g f f g f f
g f g g g f g f g f g g f g g
f g g f g f f g f g 6
f g f f gg f g
➢ 再利用算符的矢量性质，将其视为普通的常矢量，利用：
f C g f gC f Cg C f g f Cg gC f g f C g C f Cg f g C f
gv视为常量，记为 v f
2. 对 gv微分作用， fv视为常量，记为gv
5
f g f f gg f g
➢ 再利用算符的矢量性质，将其视为普通的常矢量，有：
C f g g C f f gC f C g
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边
v f
（9）函数乘积的运算公式：
f f g f g f g
利用算符的矢量微分性质，将作用在两函数乘积上的形式转化为 仅作用在单 个函数上
➢ 先利用 算符的微分性质，函数乘积的微分可分为两项： 1. 对 微分作用，视为常量，记为 2. 对微分作用， 视为常量，记为
2
2 算符运算公式
设c 为常数，cv为常矢量，
、
为标量函数，
v f
、gv为
矢量函数
(1) c c
(5) f g f g
(2) cf c f (3) cf c f
(6) f g f g
(7) c c
(4) (8) c c
3
算符及其运算公式
1 算符 算符为矢量微分算符，既具有矢量的性质又具有 微分的性质，读作“del”或“nabla” 算符本身没有实际意义，只是一种运算符号
➢
在直角坐标系中，
evx
x
evy
y
evz
z
➢
拉普拉斯算符，2
2 x2
2 y 2
2 z 2
1
➢
梯度
ex
x
ey
y
ez
z
注意：
➢ 散度
A ex
x
ey
y
ez
z
ex Ax
ey Ay
ez Az
Ax Ay Az x y z
ex ey ez
➢ 旋度 A
x y z
Ax Ay Az
➢
A
ex Ax ey Ay ez Az
ex
x
ey
y
ez
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
显然： A A
➢ 再利用算符的矢量性质，将其视为普通的常矢量，有：C f f C C f
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边
f f f f f
f g f f gg f g
➢ 先利用 算符的微分性质，函数乘积的微分可分为两项：
1.
对
fv微分作用，
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边
4
f
➢ 先利用 算符的微分性质，函数乘积的微分可分为两项： 1. 对 微分作用， fv视为常量，记为 2. 对 fv微分作用， 视为常量，记为 v
f
f f f f
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边，即有
f
f g g f f
gf
f
g f g f g g f g g
f g g f g f f g f g
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f f f f 2 f
7
gv
gv
v
v f
f
v f
gv gv
gv
v f
v
f
gv
f g f f gg f g
➢ 再利用算符的矢量性质，将其视为普通的常矢量，有：
C f g Cg f C f g
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边，即有
f f g f g f f f g g f f g f f
g f g g g f g f g f g g f g g
f g g f g f f g f g 6
f g f f gg f g
➢ 再利用算符的矢量性质，将其视为普通的常矢量，利用：
f C g f gC f Cg C f g f Cg gC f g f C g C f Cg f g C f
gv视为常量，记为 v f
2. 对 gv微分作用， fv视为常量，记为gv
5
f g f f gg f g
➢ 再利用算符的矢量性质，将其视为普通的常矢量，有：
C f g g C f f gC f C g
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边
v f
（9）函数乘积的运算公式：
f f g f g f g
利用算符的矢量微分性质，将作用在两函数乘积上的形式转化为 仅作用在单 个函数上
➢ 先利用 算符的微分性质，函数乘积的微分可分为两项： 1. 对 微分作用，视为常量，记为 2. 对微分作用， 视为常量，记为
2
2 算符运算公式
设c 为常数，cv为常矢量，
、
为标量函数，
v f
、gv为
矢量函数
(1) c c
(5) f g f g
(2) cf c f (3) cf c f
(6) f g f g
(7) c c
(4) (8) c c
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算符及其运算公式
1 算符 算符为矢量微分算符，既具有矢量的性质又具有 微分的性质，读作“del”或“nabla” 算符本身没有实际意义，只是一种运算符号
➢
在直角坐标系中，
evx
x
evy
y
evz
z
➢
拉普拉斯算符，2
2 x2
2 y 2
2 z 2
1
➢
梯度
ex
x
ey
y
ez
z
注意：
➢ 散度
A ex
x
ey
y
ez
z
ex Ax
ey Ay
ez Az
Ax Ay Az x y z
ex ey ez
➢ 旋度 A
x y z
Ax Ay Az
➢
A
ex Ax ey Ay ez Az
ex
x
ey
y
ez
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
显然： A A
➢ 再利用算符的矢量性质，将其视为普通的常矢量，有：C f f C C f
同时将受作用的函数移到 的右边，将不受 作用的函数移到的左边
f f f f f
f g f f gg f g
➢ 先利用 算符的微分性质，函数乘积的微分可分为两项：
1.
对
fv微分作用，